埃及斋月十日城铁路工程独立坐标系分析与建立

汤 曦

(中铁二院工程集团有限责任公司，四川成都 610031)

1 概述

埃及斋月十日城铁路项目若采用埃及通用的ETM(Egyptian Transverse Mercator)坐标系统[1，2]，投影长度变形最大值将达38mm/km，不能满足工程设计、施工需要。若采用分段计算缩放系数[3]抵消投影长度变形，会造成各段缩放系数不一致，施工放样较为麻烦，容易出错。为了解决埃及斋月十日城铁路投影长度超限的难题，研究了基于工程独立坐标系的投影方法。从投影方式与投影面高度两个方面分析了投影长度变形的原因，构建了满足铁路设计与施工放样要求的工程独立坐标系。选择最小投影变形值对应的中央经线为工程独立坐标系的中央经线；在该中央经线下，获取不同高程投影面的投影变形值，选择最小投影变形值对应的高程作为工程独立坐标系的投影面高程。

2 工程独立坐标系构建方法

为减小高差和投影方式导致的边长变形对工程建设的影响，通常是在国家坐标系椭球基本参数的基础上，运用变动中央子午线和抵偿投影面的方法来建立工程独立坐标系[4-8]。首先对投影长度变形产生的原因进行分析，然后提出建立工程独立坐标系的流程。

2.1 投影长度变形分析

投影长度变形由投影变形和高程归化变形两部分组成。

(1)椭球面上的边长经过某种投影方式投影到相应平面上会引起长度变形，称为相应投影方式的投影变形[9-12]。针对TM投影，可按照公式(1)近似计算TM投影引起的投影变形值(ΔS)

其中，Ym为测距边两端点横坐标的平均值/m；Rm为测距边终点的平均曲率半径/m。TM投影引起的投影变形变化趋势如图1所示。

图1 TM投影变形示意

(2)实测边长平均高程面的水平距离沿法线方向投影到相应椭球面上会引起长度变形，称为高程归化变形[9-12]，可按照公式(2)近似计算高程归化变形值(ΔD)

其中，Hp为现有坐标系统投影面高程(大地高)/m；Hm为测距边两端点的平均高程(大地高)/m；Ra为参考椭球体在测距边方向法截弧的曲率半径/m。高程归化变形随投影面高度呈线性变化，投影面高度引起的长度变形对角度没有影响[10]，如图2所示。

图2 高程归化变形变化趋势

投影方式引起的投影变形与高程归化变形之和，为投影长度变形Δl，按照公式(3)计算

若测区距所设定坐标系统的中央子午线较远或平均高程较大时，会导致变形较大，不能满足测量和工程放样的需要。应建立合适的工程独立坐标系，使变形控制在一个微小的范围内。

国内城市轨道交通工程测量项目要求投影长度变形不超过±25 mm/km[12]。若超过规定要求，可根据工程实际，建立工程独立坐标系来减小投影长度变形。

2.2 工程独立坐标系建立流程

以“投影长度变形最大值”最小为原则建立工程独立坐标系，为了达到该原则，公式(3)可变化为

将公式(4)简化，可变化为

其中:Ym为测距边两端点横坐标的平均值/m；R为地理椭球长轴/m；Hp为现有坐标系统投影面高程(大地高)/m；Hm为测距边两端点的平均高程(大地高)/m。

结合图1、图2和公式(5)分析可知:TM投影方式下的投影长度变形中，高程归化变形影响较大。故在确定工程独立坐标系时，应首先确定中央经线，然后再确定投影面高程[13-14]。

3 实验及分析

3.1 工程概况

埃及斋月十日城铁路项目正线长71.40 km，为双线电气化城市轨道交通线，设计速度120 km/h。线路从开罗国际机场附近的Adly Mansour站出发，由西往东，止于Badr站(为线路A段)。之后由Badr站分岔往南北敷设:往南，止于New Administrative Capital站(为线路B段)，A、B段里程贯通；往北，止于Ramadan1站(为线路C段)。线路位于31°24′E至31°48′E、30°01′N至30°14′N范围内，呈卧“T”字形，东西向长约30 km，南北向长约41 km。测区高程范围约为60～320 m。线路设计高程最低点64.21 m，最高点296.66 m。测区内高程异常值约16 m(见图3)。

图3 线路示意

3.2 ETM坐标系统存在的问题

依照埃及法律规定，在开罗地区，工程坐标系需采用埃及国家坐标系统ETM。其具体参数为:Helmert 1906椭球，长半轴为6 378 200.0 m，扁率倒数为298.300 01；Transverse Mercator投影；中央经线31E；纬度原点30N；东偏615 km，北偏810 km。

埃及斋月十日城铁路项目测量工作依据《铁路工程测量规范》(TB 10101—2009)[12]实施，要求投影长度变形不超过±25 mm/km。按照ETM坐标系计算设计线位上平曲线特征点(五大桩、桥隧出入端、车站出入端)和纵曲线特征点(变坡点)的投影长度变形值，分别绘制AB段和C段特征点的“里程-投影长度变形值”曲线，如图4所示。

由图4可知:

(1)AB段和C段都有部分区域投影长度变形值超过了25 mm/km的限差，最大值达38 mm/km。

(2)AB段特征点投影长度变形值随线路里程增加而增大，这与线路方案东西走向、离中央经线距离越来越远有关。投影长度变形值受投影方式引起的投影变形影响较大。

(3)C段各特征点投影长度变形值基本相同，这与线路方案南北走向、各点离中央经线距离较近有关。投影长度变形值受高程归化变形影响较大。

图4 “里程-变形值”曲线

3.3 工程独立坐标系的建立

根据TM投影长度变形的特性，可以通过改变中央经线、增大/减小投影面高的方法建立工程独立坐标系，降低投影长度的变形值。AB段和C段投影长度变形值分别受投影方式引起的投影变形和高程归化变形影响较大，故分开建立工程独立坐标系。

(1)中央经线的确定

为了初步确定工程独立坐标系中央经线所在的区间，保持投影面高H=0不变，结合测区实际范围，以6′和15′为间隔，在[31°00′E，32°00′E]区间内选取中央经线，建立工程独立坐标系。分别计算各特征点在各工程独立坐标系中的“投影长度变形最大值”和“最大值与最小值之间的差值”，如表1所示。

由表1可知:

(1)中央经线从31°00′E递增至31°30′E时，AB段各点投影长度变形最大值及最大值与最小值的差值先递减，后递增。

(2)C段“里程-投影长度变形值”曲线与横轴近似平行，即各特征点投影长度变形值近乎一致，几乎不受中央经线的影响。

(3)当中央经线为31°18′E时，AB段特征点的投影长度变形最大值与最小值的差值最优。

表1 特征点投影长度变形值统计

故确定工程独立坐标系的中央经线为31°18′E。

(2)投影面高程的确定

在选择中央经线为31°18′E的情况下，为了优化工程独立坐标系，可以通过改变投影面高来减小投影长度的变形值，即通过特征点的投影长度变形最大值与最小值的差值近似确定。

由公式(2)推算可知:“高程归化变形值变化量/投影面高程变化量”为1 mm/6.3 m。故:AB段需要将投影面高程增高≈155 m；C段需要将投影面高程增高

为了进一步优化投影面高，在[0，200]区间内以5 m为间隔选择投影面高，建立工程独立坐标系。分别计算各特征点在各工程独立坐标系中的投影长度变形最大值。绘制“投影面高-投影长度变形最大值的绝对值”曲线，如图5所示。

经过分析，当中央经线为31°18′E时:

(1)投影面高为155 m时，AB段的投影长度变形最大值最小，为-18.77 mm，最优。当投影面高相对155 m增加或者减少时，投影长度变形最大值变大；C段投影长度变形值为18.03 mm。

(2)投影面高为70 m时，C段的投影长度变形最大值最小，为-5.46 mm，最优。当投影面高相对70 m增加或者减少时，投影长度变形最大值变大；AB段投影长度变形值为32.09 mm。

考虑到设计、施工的便利性，在保证精度的前提下，所选取的工程独立坐标系应尽量相同，故选择中央经线为31°18′E、投影面高为155 m建立埃及斋月十日城铁路项目工程独立坐标系。

图5 “投影面高-投影长度变形值最大值”曲线

4 结束语

介绍了TM投影长度变形值产生的原因和控制方法，结合埃及斋月十日城铁路项目，提出以投影长度变形最大值最小为判断依据，得到了最优的中央子午线经度31°18′E及投影面高程155 m，全线的投影长度变形值:AB段为-18.77 mm/km～18.26 mm/km，C段为7.86 mm/km～18.03 mm/km，满足工程设计和施工放样的需要。