整体把握教学思路建构合理有效探究*<br/>——以“正弦定理”为例

整体把握教学思路建构合理有效探究*
——以“正弦定理”为例

2019-02-15

中学教研(数学) 2019年2期

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(暨阳高级中学,江苏张家港 215600)

1 教学现状分析

“正弦定理”是苏教版《数学(必修5)》第一章第一节的内容，本节内容是在学生对三角形3个角之间关系以及3条边之间关系认识的基础上，进一步对三角形边角关系的再构建.教材中是以呈现的形式把正弦定理的几种常见证明方法罗列出来，这就使得部分教师在课堂上也采用罗列的方法，逐一列举每种证法.这样的教授方法难免会出现以下3点不足之处.

1.1 单纯以书论教，缺乏对教材中多种证法的再认识

教材是编者对所教授知识的呈现，教师在教学中，要把“教教材”变成“创造性地用教材教”，把知识的内在联系呈现给学生.正弦定理体现了三角形6个基本量(即3条边和3个角)之间的数量关系，形式简约，内涵丰富.这个形式给它的发现和证明带来了众多不同的切入点.教材中用了两种不同的证法证明正弦定理，并在第7页中提出“思考：尝试用其他方法证明正弦定理”，即要求至少用3种不同的方法予以证明.有的教师在处理这几种证法时，让每一种证法孤立存在，不能形成知识和思维的发展体系.另外，按照我们对定理的认知过程，在发现正弦定理并用一种方法进行证明以后，接下来就应该进行定理初步应用的教学内容，为什么还要提出另外两种证明方法？有提出这两种证明方法的必要性吗？这些都是教师在教学过程中需要解决的问题[1].

1.2 脱离学生的认知，导致引出向量证明的僵硬

向量法证明正弦定理是向量作为数学工具的一种重要体现.这种证明方法的提出，也为后来用向量法证明余弦定理埋下了伏笔，是教材编写者对教授的知识进行有效螺旋上升的体现.有的教师在讲解这种证明方法时，直接给出作高(或垂直向量)构建向量法，这样的教学不禁让学生产生疑问：如何想到构建向量来证明？这个作高(或垂直向量)是如何想到的？教师如果在教学中不引导学生去思考这两个问题，那么在没有向量的情境中，学生会对引出向量进行证明感到无助，从而对向量作为工具会敬而远之.

1.3 缺少对数学发展史的认识，使得对外接圆引入突兀

正弦定理最先提出和证明的是阿拉伯学者瓦法，他提出的是球面三角形的正弦定理，随后，图西在此基础上证明了平面三角形的正弦定理.此后，数学家们对正弦定理的证明不断地研究，但都没有脱离圆.直到1748年，欧拉在其代表作《无穷小分析引论》中指出：“三角函数是一种函数线与圆半径的比值”这样的三角函数定义，让三角函数脱离了圆中的弧，而直接变成了两个线段的比值，从而大大简化了正弦定理的证明，同时，它也脱离了三角形的外接圆[2].我们在感受正弦定理简洁美的同时，也失去了正弦定理的完整形式，即无法感受三角形的边长与对角正弦值之比与外接圆之间的关系.

这样的数学发展史，给教师的教学带来了挑战，有的教师在教学中，直接给出三角形的外接圆，教学过程显得突兀.如何正确、有效地在教学中提出三角形的外接圆，让学生感受、理解三角形的外接圆在正弦定理中的作用，运用三角形的外接圆来证明三角形的正弦定理等都是本节课需要解决的教学难题.

2 实践

笔者根据以上教学现状分析的不足之处，仔细研究教材，推敲同行对于这节课内容的研究成果，本着“以学生的认知为基础，注重知识的内在联系”的原则，精心设计了“正弦定理”这节内容，供读者讨论.

图1

2.1 创设情景，激发动机

例1如图1所示，一艘船从港口B航行到港口C，航行前用测距仪测得BC的距离是600 m，船在港口C卸货后继续向港口A航行.因为需要，必须测量AB之间的距离，但出发时，只携带了测角仪，没有携带测距仪，测得∠BAC=75°，∠ACB=45°，我们能不能算出A,B两点间的距离[3].

首先，由题意可抽象为一个解三角形问题，即：在△ABC中，已知BC=600，∠BAC=75°，∠ACB=45°，求AB的长.

问题1由已知条件，能不能唯一确定三角形(提出三角形的6个基本量)？

问题2如何求出AB的长.

引导学生从量的角度来观察三角形.

师：我们以前学习过三角形哪些量之间的关系？边角之间“量的关系”有哪些？除了这些关系还有哪些呢？

(引导学生学会一种解决问题的基本思路，即从特殊的直角三角形出发，从特殊到一般来探究问题.)

师：这两个式子有什么样的联系呢？

在任意三角形中，是否仍有这样的关系成立呢？如果有，如何进行证明呢？

2.2 数学实验,激发求知欲

师：我们可以利用几何画板软件对任意三角形中的结果进行演示(过程略).

2.3 证明猜想，得到定理

(把学生分成学习小组进行讨论，再请小组代表进行发言.)

师：我们请一个小组的代表进行发言.

图2 图3

AD=AB·sinB，

AD=AC·sinC,

从而

AB·sinB=AC·sinC，

亦即

csinB=bsinC，

(1)

再选择另一顶点B，作其边AC上的高，可得

asinC=csinA，

(2)

由式(1)和式(2)可得

师：很好！我们在任意三角形中构建了直角三角形，在两个直角三角形中寻找数量关系.是不是所有的情况都讨论到了呢？

生2(思考一会儿)：还有钝角三角形没有讨论.

师：钝角三角形的情况是怎样的呢？试试看.

图4

学生在教师的鼓励下，迅速动手解决问题.

AD=AB·sinB，

AD=AC·sin(π-C)，

亦即

AD=AC·sinC,

故

AB·sinB=AC·sinC，

亦即

csinB=bsinC,

接下来的证明，同锐角三角形的情形.

综上所述，在任意△ABC中，都有

师：非常好!这正是三角形6个基本量之间的一个关系，也是三角形的一个代数描述.

设计立意从真实问题情境中引出数学问题.为了解决任意三角形的边角关系问题，引导学生从直角三角形入手进行探究，把直角三角形的边角关系结论进行合理迁移，作为任意三角形可能出现的结论.在证明正弦定理的过程中，让学生感受从特殊到一般、分类讨论等重要的数学思想方法，锻炼了学生的数学思维能力.

师：如何证明这个猜想呢？

图5 图6 图7

教学实施

师：对于圆的研究，不能脱离圆心和半径.既然要寻找直径与三角形的关系，是不是可以考虑画出一条直径？这条直径怎样画？

学生在教师的引导下，易得到图5.

在教师的引导下，很快得到了图6.

亦即

又∠BB′A=∠C，故对于锐角△ABC，有

即

故

师：证明到此结束了吗？

引导学生再继续思考钝角三角形的情形(过程略).

师：可见，有了三角形的外接圆以后，证明变得容易上手.其实，在知识的发生、发展过程中，正弦、三角形一直和圆有着密不可分的关系.

(此时，教师PPT展示有关正弦及正弦定理历史上的几次发展节点，让学生感受圆对于三角函数及三角形的重要性.)

师：以后我们再考虑证明相关内容时，也可以考虑直接添加三角形的外接圆作为解决问题的辅助圆.

设计立意三角形外接圆的引入是本节课的一个难点.学生在学习这部分内容之前，接触过一些三角形与三角形外接圆的关系，但是没有两者紧密联系解决问题的体验.教师通过引导把复杂问题追根溯源，退到熟悉的情境中解决问题，再考虑把解决方法进行类比，体现了数学中的“化归”思想.在解决问题的过程中，让学生感受到圆对于解决三角形问题的重要性，再通过数学史的介绍，让学生再次感受、明确了两者之间的重要关系.给学生解决此类问题指明了一个思考方向，即“化斜为直”、构建“外接圆”.

师：我们在研究过程中，用了两种方法证明了正弦定理.还有没有其他方法呢？通过观察正弦定理的形式，发现正弦定理其实是实数与正弦之间的关系式，那我们刚学过的实数与三角函数的关系形式是什么呢？

生4：向量的数量积.

图8

故

师(教师板书)：请同学们写一写证明的过程.

图9

师：钝角三角形中又如何解决呢？

生6：如图9，不妨设C为钝角，作边BC上的高AD，则

即

于是

bcos∠CAD=ccos∠BAD，

即

故

bsinC=csinB，

即

师：向量法证明正弦定理的切入视角即为定理式子的结构特点，它让我们联想到了向量的数量积.

图10

生7：三角形的高.

师：怎么说？

生8：以锐角三角形为例，在证法1中，AD=csinB，同时AD=bsinC，即csinB=bsinC，从而

同理可得

于是

证法3其实是分别把三角形各边上的高“算两次”并化简整理的结果.

师：也就是说，把三角形的边角关系转化成了三角形的高.那么，三角形的高让我们想到了三角形的什么？

生9：三角形的面积.

师：那我们能不能从三角形面积的角度来证明这个定理呢？

在教师的引导下，学生分别讨论了直角三角形、锐角三角形、钝角三角形中的情况(过程略).

设计立意利用等面积法证明正弦定理，方法简单，体现了数学中的简洁美，但是“证明方法是怎么想到的，与前面的证明方法有什么样的关系，如何才能让学生在举一反三的解题活动中自觉使用面积法证明相关问题”是教学中的难点.同时，这种方法的提出也是对本节课所授证明方法的一个全面回顾，在发现“高”的作用后，进行再思考、再探究的结果，也让学生感受到了解后反思的重要性.

2.4 利用定理,解决例题

师：现在我们可以用正弦定理解决情境中的问题了吗？

学生自主得到：在△ABC中

B=180°-A-C=60°，

2.5 对正弦定理的再认识

师：一般情况下，我们把三角形的3个角A,B,C以及它们的对边a,b,c叫做三角形的元素；已知三角形的几个元素，求其他元素的过程，叫做解三角形.那么正弦定理可以解决哪些解三角形的问题呢？请举例说明.

在教师的鼓励下，学生根据定理中量与量的关系，有针对性地命制解三角形的问题，并能用正弦定理得到解决.

教师引导学生从解方程的视角来看正弦定理的解题功能.

学生主动总结正弦定理的适用范围：1)已知两角与任一边，求其他两边和一角；2)已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).

设计立意对于正弦定理的适用范围，教师并没有把例题直接呈现到学生面前，而是发挥学生的主观能动性，通过“正弦定理可以解决哪些解三角形的问题呢”这样一个问题，让学生根据对定理的理解，主动出题，并解决问题，进一步提高了学生对正弦定理的认识，让学生在学习中体验了愉悦，获得了动力，并取得了研究的成果.

2.6 课堂回顾与小结(略)

3 关于这节课的几点思考

3.1 以教材为重要参考，以学生以主体，重新构建探究过程

教材是按照国家课程实施的基本理念和要求进行编写的，是教师实现课程目标以及实施教学的重要参考.教师在课前必须认真钻研教材，体会教材设计的特点和编写者的编写意图.但教材不是“剧本”，教师要在理解数学、理解学生和理解教学的基础上对教材进行重组，这就要求教师对教材有全局把握，思考教材要教给学生什么，并在教学中理清教学思路，从而有针对性地选取最优的教学方案.

3.2 以体系为依托，通过对正弦定理证明的探究，进一步实现“前后一致、逻辑连贯”的探究基本思路

对三角形的研究，学生经历了“从小学的认识什么是三角形，到初中对三角形角与角的数量关系、边与边的数量关系以及三角形边角之间关系的研究”这样一个过程.其中“如何把这些实例呈现给学生，如何把零散的性质变成体系的存在，以什么样的视角来研究三角形”都需要学生有一定的发现规律的眼光.

本节课中，教师沿着学生的基本认知，遵从学生的基本活动经验，从生活中发现并抽象出数学问题以后，能主动回到直角三角形中，对直角三角形进行再认识，研究的思想仍然是沿袭了初中研究三角形的基本思想.可以说，本节课不仅仅是正弦定理证明方法的探究，更是研究三角形方法的再应用、再探究、再发展，从而实现了数学的生态教学.

3.3 以知识的发生、发展过程为依据，加强对数学史的教学力度，从而增加探究的新视角

任何事物的发生与发展都离不开历史，只有了解历史，才能了解其来龙去脉，才能抓住其根本.华罗庚教授也说过：复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窃.三角函数素有圆函数之称，在正弦定理的证明过程中，学生为什么无法添加外接圆，原因就是在以往的教学中，教师更注重知识的教授，忽视了三角函数发展史的教学，使得学生对构建三角形的外接圆的认知产生了困难.

3.4 利用正弦定理的多种证法，使学生感受从不同的角度观察问题的重要性，凸显定理探究的教学价值

数学学习的过程，不仅仅是学习前的准备、学习中的思考，还有学习后的反思.在本节内容中，教材呈现了多种方法对正弦定理进行证明，而我们知道正弦定理的证明方法远远不止教材所列举的这几种，那么教材为什么会选取这几种呢？这都是教师在备课过程中所必须要考虑的.

数学教学是数学活动的教学.在本节课的教学过程中，教师牢牢抓住一个核心(即“转化为直角或构造直角”).把任意三角形问题化归到直角三角形的过程中，锻炼了学生严密的逻辑推理能力；引导学生添加三角形的外接圆，使学生的直观想象能力得到了提高；而在利用向量法的证明过程中，教师对定理的形式进行再认知，逐步推演出向量法证明的可行性，使学生再一次切身感受到了数学运算与数据分析对于数学的重要性[5].