基于IGPSO算法的状态反馈鲁棒极点配置优化

王皓

摘 要 线性反馈控制系统的性能主要由闭环极点决定，通过极点配置可以提高系统的鲁棒性。本文提出通过应用改进的IGPSO化算法进行线性系统鲁棒极点配置，对于条件数可以直接进行非凸问题优化计算，避免拟凸转化。通过仿真实验验证了算法的有效性。

关键词 优化算法 鲁棒极点配置 粒子群算法

中图分类号：O241.8文献标识码：A

1介绍

粒子群优化算法（PSO）是Kennedy和Eberhart于1995年提出的一种模拟鸟群社会行为的群体搜索算法。然而，PSO存在容易陷入局部最優的不足，为了较好的平衡PSO算法的开采能力和搜索能力，利用改进的IGPSO算法进行问题优化。针对鲁棒极点配置问题，文献[1]提出通过极小化特征向量矩阵谱条件数的方法实现状态反馈鲁棒极点配置问题。文献[2]中分别采用线性矩阵不等式（LMI）方法优化条件数。由于条件数具有非凸性，以上方法不能保证达到全局最优。本文使用IGPSO进行线性系统鲁棒极点配置， 避免拟凸转化。

2 IGPSO算法

IGPSO算法针对粒子群算法容易陷入局部最优和收敛速度慢的不足进行改进。全局最优个体的邻域中随机个体相对于确定的全局最优个体更有益于PSO算法跳出局部极值。全局邻域搜索策略：

其中：c1和c2被分别定义为认知因子和社会学习因子， 为扰动因子，r1、r2、rand和U（0，1）都为区间（0，1）上的均匀分布随机数。g表示当前迭代次数，G表示最大迭代次数。 （g）=a·exp（b·g2）·rand。对于大多数粒子群算法的改进都是针对当前种群进行的，考虑到全局邻域搜索策略中粒子历史最优和全局最优粒子的邻域的引导作用，为了增强粒子历史最优种群的指导作用，进行全局邻域扰动。

3状态反馈鲁棒极点配置优化

状态反馈极点配置问题是指，针对线性时不变系统和一组任意给定的期望极点（特征值）1， 2，…， n，其中 i（i=1，2，…n）可以是实数或共轭复数，寻找非奇特征向量矩阵X∈Rn譶和状态反馈增益矩阵K∈Rm譶，使式（A+BK）X=X 成立。鲁棒极点配置问题，可以转化为下面的优化问题：

鲁棒极点配置的具体操作步骤如下：步骤1：输入--输入系统矩阵A、B和期望极点 1， 2，…， n。步骤2：矩阵分解--对控制矩阵B做QR分解，确定U0、U1和Z。步骤3：计算极点 i（i=1，2，…n）对应的标准正交基。步骤4：初始化种群和问题变量参数。步骤5：优化求解--根据IGPSO算法优化求解minJ。步骤6 ：输出--输出优化目标函数J、特征向量矩阵X和状态反馈增益矩阵K。

4实验

将本文方法与文献[1]中method1方法、文献[2]的线性矩阵不等式（LMI）方法作对比仿真实验。优化对象为文献[1，2]中采用的化学反应模型。系统的极点为（1.911，6.351？0-2，-5.057，-8.666），显然系统是不稳定的。现将系统的期望极点配置为（-0.2，-0.5，-5.0566，-0.232）与文献[1，2]相同。采用本文提出的IGPSO算法，算法迭代5000次，算法独立运行30次。得到的最有结果为条件数等于3.1565。 本文提出的IGPSO方法与其它文献经典优化方法得到的条件数结果对比，文献[1]的条件数为3.32，文献[2]的条件数为3.2665。可以看出，采用本文方法得到的条件数最小，明显优于文献中的结果。

5结束语

本文将IGPSO算法应用于线性系统鲁棒极点配置问题中，解决了以往条件数优化计算中需要凸转化处理的不足。仿真实验表明本章方法所得到的条件数优于Method1， LMI方法，同时反馈后的闭环系统具有更好的鲁棒性。

参考文献

[1] Kautsky，J.&N.K.Nichols&P.Van Dooren.Robust pole assignment in linear state feedback[J].International Journal of Control， 1985， 41（05）： 1129-1155.

[2] Rami，M.A.&S.El Faiz&A.Benzaouia，et al. Robust exact pole placement via an LMI-based algorithm[J].IEEE Transactions on Automatic Control， 2009， 54（02）：394-398.