畅谈数学美

张程超

摘 要：本文主要从数学的语言美、简洁美、对称美、残缺美、统一美、和谐美六方面来阐述，揭示数学不但有智育功能，也有美育功能。

关键词：数学美；欣赏；教育

众所周知，数学在我们的基础教育中占有很大的份量，是我们的文化中极为重要的组成部分。她不但有智育的功能，也有其美育的功能。数学美深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏。下面从几个方面来欣赏数学美。

1 语言美

数学有着自身特有的语言———数学语言，其中包括：

1.1 数的语言——符号语言

关于“π”，《九章算术》里说：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”；“√2”差点被无理的行为淹没的无理数，还有sin?、∞等等，一个又一个数的语言，无不将数的完美与精致表现得淋漓尽致。

1.2 形的语言——视角语言

从形的角度来看——对称性；比例性；和谐性；鲜明性和新颖性等等。

2 简洁美

爱因斯坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因斯坦的这种美学理论，在数学界，也被多数人所认同。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。

欧拉给出的公式：V-E+F=2，堪稱“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数V、棱数E、面数F，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？由她还可派生出许多同样美妙的东西。如：平面图的点数V、边数E、区域数F满足V-E+F=2，这个公式成了近代数学两个重要分支——拓扑学与图论的基本公式[1]。由这个公式可以得到许多深刻的结论，对拓扑学与图论的发展起了很大的作用。

在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如：圆的周长公式：C=2πR

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。

正弦定理：ΔABC的外接圆半径R，则

数学的这种简洁美，用几个定理是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。正如伟大的希尔伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。

3 对称美

在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”。事实上，译自希腊语的这个词，原义是“在一些物品的布置时出现的般配与和谐”。毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形――圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图形――任何一条直径都是它的对称轴。

梯形的面积公式：S=，等差数列的前n项和公式：

，其中a是上底边长，b是下底边长，其中a1是首项，

an是第n项，这两个等式中，a与a1是对称的，b与an是对称的。h与n是对称的。对称美的形式很多，对称的这种美也不只是数学家独自欣赏的，人们对于对称美的追求是自然的、朴素的。如格点对称，十四世纪在西班牙的格拉那达的阿尔汉姆拉宫，存在所有的格点对称，而1924年才证明出格点对称的种类。此外，还有格度对称，如我们喜爱的对数螺线、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。李政道、杨振宁也正是由对称的研究而发现了宇称不守恒定律。从中我们体会到了对称的美与成功。

4 残缺美

康德说过：“美并不等于完善。”三种（严格地讲是九种）几何的建立，也正是人们追求数学完美（或修补数学缺憾）的产物，这也是人们对数学美的另一种扭曲与偏离。

半径不同的五个球放在桌面上，通常人们会认为规则的摆放更合乎人们的审美情结，但不规则的摆放所占据的桌面长度却是最小！在给定圆的内接四边形中，以内接正方形的面积为最大。但是若加以推广，结论便不成立了——内接于球的六面体中，体积最大的不是正六面体（正方体），1963年借助于计算机人们找到一种内接于球的六面体，它的同一顶点的三条棱不等长（形式上不美），但它的体积却比内接该球的正方体大12%左右。令人不解的是：对于正多面体来讲，除正六面体外，其它四种：正四面体、正八面体、正十二面体、正二十面体分别是球的内接最大体积的正多面体！

“光行最速原理”，“局部最优≠整体最优”，“贪小失大”，“最短路线问题”——平面上给定n个点，通过增加斯坦纳点的最小树长（最短线路）最我可比原来不增加新点时的最小树长13.4%。（1990年我国数学家堵丁柱和旅美学者黄光明博士证明了更一般的情形：去掉了平面的限制。）

缺憾带来希望，有希望才有追求，有追求才有创生。

5 统一美

数的概念从自然数、分数、负数、无理数，扩大到复数，经历了无数次坎坷，范围不断扩大了，在数学及其他学科的作用也不断地增大。那么，人们自然想到能否再把复数的概念继续推广。

英国数学家哈密顿苦苦思索了15年，没能获得成功。后来，他“被迫作出妥协”，牺牲了复数集中的一条性质，终于发现了四元数[2]。四元数的研究推动了线性代数的研究，并在此基础上形成了线性结合代数理论。物理学家麦克斯韦利用四元数理论建立了电磁理论。

数学的发展是逐步统一的过程。统一的目的也正如希尔伯特所说的：“追求更有力的工具和更简单的方法”。

爱因斯坦一生的梦想就是追求宇宙统一的理论。他用简洁的表达式E=mc2揭示了自然界中质能关系，这不能不说是一件统一的艺术品。但他还是没有完成统一的梦想。人类在不断探寻着纷繁复杂的世界，又在不断地用统一的观点认识世界，宇宙没有尽头，统一美也需要永远的追求。

6 和谐美

欧拉公式：，曾获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。与欧拉公式有关的棣美弗-欧拉公式是。这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函

数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹――确是“天作之合”。

和谐的美，在数学中多得不可勝数。如著名的黄金分割，即0.61803398…。在正五边形中，边长与对角线长的比

是黄金分割比。建筑物的窗口，宽与高度的比一般为λ；人们的膝盖骨是大腿与小腿的黄金分割点，人的肘关节是手臂的黄金分割点，肚脐是人身高的黄金分割点；当气温为23摄氏度时，人感到最舒服，此时23：37（体温）约为0.618；名画的主题，大都画在画面的0.618处，弦乐器的声码放在琴弦的0.618处，会使声音更甜美。建筑设计的精巧、人体科学的奥秘、美术作品的高雅风格，音乐作品的优美节奏，交融于数的对称美与和谐美之中。

维纳斯的美被所有人所公认，她的身材比也恰恰是黄金分割比。

黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。达·芬奇称黄金分割为“神圣比例”.他认为“美感完全

建立在各部分之间神圣的比例关系上”[3]。

数学的和谐美还表现为它能够为自然界的和谐、生命现象的和谐、人自身的和谐等找到最佳论证。

事物的发展规律是“螺线式”的。螺线不仅是生命的曲线，也是生活的曲线[4]！

生命的丰富多彩，数学的优雅美妙，一旦二者揉合，必定会为人们认识生命现象提供启发，创造机会，揭示奥秘，同时也为数学自身的发展提供模式与课题。

7 结语

总之，数学之美，还可以从更多的角度去审视，而每一侧面的美都不是孤立的，她们是相辅相成、密不可分的。她需要人们用心、用智慧深层次地去挖掘，更好地体会她的美学价值和她丰富、深隧的内涵和思想，及其对人类思维的深刻影响。如果在学习过程中，我们能与数学家们一起探索、发现，从中获得成功的喜悦和美的享受，那么我们就会不断深入其中，欣赏和创造美。

参考文献

[1]陈焕斌，张雄.略论数学美的本质属性.数学教育学报，2008（05）：28-30.

[2]李可欣.浅谈数学中的美学体现.赤子，教学研究，2018（01）：225.

[3]齐蕊.浅析数学中美的教学.石家庄职业技术学院学报，教育教学，2018（04）：76-77.

[4]金子明，数学美的和谐性.学科网，数学资讯，2018（1）.