非阿基米德Menger概率度量空间中Altman型映象公共不动点定理及其在动态规划中的应用

, ,

(渤海大学数理学院， 辽宁 锦州 121013)

1 引言与预备知识

Istratescu等[1]引入并研究了非阿基米德Menger概率空间和一些拓补性质。随后许多人在非阿基米德Menger概率空间建立了一些不动点存在性定理[2-10]。 另一方面, Altman[11]在完备度量空间中证明了一个映象f的不动点定理, 而这一映象f满足d(fx,fy)≤Φ(d(x,y)), 其中Φ∈Φ1(Φ1的定义见下面)。 此后文献[12]推广了文献[11]中的结果。这里一个问题自然出现: 可否在非阿基米德概率度量空间(X,F,Δ)中建立Altman型映象的不动点定理。 由于(C)g型的非阿基米德 Menger概率度量空间(X,F,Δ)中gF满足三角不等式，即∀x,y,z∈X,∀t≥0, 有gFx,y(t)≤gFx,z(t)+gFz,y(t), 因此在(C)g型的非阿基米德Menger概率度量空间(X,F,Δ)中讨论Altman型映象不动点的存在性成为可能。近些年来, 文献[13-22]研究了若干非线性映象类不动点的存在性与迭代逼近, 这其中文献[13]在模糊度量空间中建立了压缩型映象不动点定理并讨论了一类泛函方程解的存在性与唯一性。受上述工作启发, 本文在非阿基米德概率度量空间中证明 Altman型映象的公共不动点的存在性和唯一性定理, 作为应用我们还讨论了起源于动态规划的一类泛函方程组解的存在与唯一性。

定义Φ1={Φ:Φ:[0,∞)→[0,∞) 是单调递增满足(c1),(c2)和(c3)}, 其中条件(c1),(c2),(c3)如下:

(c1) 0<Φ(u)0;

注1 如果Φ∈Φ1, 则Φ(0)=0且Φ(u)=u⟺u=0。

定义2[7]设X是非空集,D为全体分布函数,F:X×X→D,称(X,F)为非阿基米德概率度量空间, 若满足下面条件:(对x,y∈X,分布函数F(x,y)记为Fx,y)

1) 对∀t>0,Fx,y(t)=1当且仅当x=y;

2)Fx,y=Fy,x,∀x,y∈X;

3)Fx,y(0)=0,∀x,y∈X;

4) 若Fx,y(t)=1,Fy,z(s)=1，则Fx,z(max{t,s})=1,∀x,y,z∈X。

定义3[10]映象Δ:[0,1]×[0,1]→[0,1]称为三角范数, 如果满足以下条件

(i) ∀a∈[0,1],Δ(a,1)=a,

(ii) ∀a,b∈[0,1],Δ(a,b)=Δ(b,a),

(iii) ∀a,b,c,d∈[0,1],若a≥b,c

(iv) ∀a,b,c∈[0,1],Δ(a,Δ(b,c))=Δ(Δ(a,b),c)。

定义4[7]三元组 (X,F,Δ) 称为非阿基米德Menger概率度量空间, 若(X,F) 是一非阿基米德概率度量空间,Δ是满足下列条件的Δ-范数。

5)Fx,z(max{t1,t2})≥Δ(Fx,y(t1),Fy,z(t2)),∀t1,t2∈[0,∞),∀x,y,z∈X。

设Ω={gg:[0,1]→[0,∞)连续,严格递减,g(1)=0,g(0)<+∞}。

定义5[7]非阿基米德 Menger概率度量空间 (X,F,Δ) 称为(C)g型的, 如果存在g∈Ω,使得∀x,y,z∈X,∀t≥0, 有gFx,y(t)≤gFx,z(t)+gFz,y(t)。

定义6[7]非阿基米德Menger概率度量空间(X,F,Δ)称为(D)g型的, 如果存在g∈Ω,使得∀s,t∈[0,1], 有g(Δ(s,t))≤g(s)+g(t)。

定义7[10]设(X,F,Δ)是(C)g型非阿基米德Menger概率度量空间， (X,F,Δ)中序列{xn}收敛于x当且仅当对∀ε>0,λ>0, 存在N(ε,λ)∈N(正整数集), 使得n≥N,有gFxn,x(ε)

定义8[10]设(X,F,Δ)是(C)g型非阿基米德Menger概率度量空间，(X,F,Δ)中序列{xn}称为Cauchy序列当且仅当对∀ε>0,λ>0, 存在N(ε,λ)∈N(正整数集), 使得∀n≥N,∀p≥1,有gFxn,xn+p(ε)

定义9 设(X,F,Δ)是(C)g型非阿基米德Menger概率度量空间, 映象S,A:X→X称为弱交换的, 如果∀x∈X,∀t>0, 有gFASx,SAx(t)≤gFSx,Ax(t)。

显然可换映象一定是相容映象, 但反之不真。

引理1 设(X,F,Δ)是(C)g型非阿基米德Menger概率度量空间,S,A:X→X是相容映象, 如果Az=Sz,z∈X, 则ASz=SAz。

2 主要结果

定理1 设(X,F,Δ)是完备的(C)g型非阿基米德Menger概率度量空间,(S,A),(T,B)是X→X的相容映象对,S,T,A,B连续,AX⊂TX,BX⊂SX, 使得∀x,y∈X,∀t>0, 有

(1)

其中Φ∈Φ1，则S,T,A,B在X上有唯一的公共不动点。

证明任取x0∈X, 作序列y2n=Ax2n=Tx2n+1,y2n+1=Bx2n+1=Sx2n+2(n=0,1,2,…),

对∀t>0, 由式(1)有

g[Fy2n,y2n+1(t)]=g[FAx2n,Bx2n+1(t)]≤Φ(max{g[Fy2n-1,y2n(t)],g[Fy2n-1,y2n(t)],

(2)

如果存在t0>0，使得g[Fy2n-1,y2n(t0)]

g[Fy2n,y2n+1(t0)]≤Φ(g[Fy2n,y2n+1(t0)])

矛盾。故对∀t>0，有g[Fy2n-1,y2n(t)]≥g[Fy2n,y2n+1(t)], 从而由式(2)对∀t>0，有

g[Fy2n,y2n+1(t)]≤Φ(g[Fy2n-1,y2n(t)])。

同理可证对∀t>0，有

g[Fy2n-,y2n(t)]≤Φ(g[Fy2n-2,y2n-1(t)])。

于是∀n≥1,∀t>0, 有g[Fyn,yn+1(t)]≤Φ(g[Fyn-1,yn(t)])。

令sn(t)=gFyn,yn+1(t)。如果对某个n, 有s2n-1(t)=gFy2n-1,y2n(t)=0,∀t>0, 则

y2n-1=y2n, 进而Sx2n=Ax2n=u, 由(S,A)是相容映象有Su=Au，由AX⊂TX, 故存在v，使Tv=Au, 从而由式(1)和(c1)有

g[FAu,Bv(t)]≤Φ(max{g[FSu,Tv(t)],g[FAu,Su(t)],

Φ(g[FBv,Au(t)])

所以Bv=Au,于是Su=Au=Bv=Tv=c, 进而由引理1有Sc=Ac,Bc=Tc。由式(1)和(c1)有

g[FAc,Bc(t)]≤Φ(max{g[FSc,Tc(t)],g[FAc,Sc(t)],

Φ(g[FAc,Bc(t)])

所以Sc=Tc=Bc=Ac。下面证c是S,T,A,B在X上公共不动点。由(1)和(c1)有

g[Fc,Bc(t)]=g[FAu,Bc(t)]≤Φ(max{g[FSu,Tc(t)],g[FAu,Su(t)],g[FBc,Tc(t)],

g[Fc,Bc(t)]))=Φ(g[Fc,Bc(t)])

表明c=Bc。 类似地如果对某个n,有s2n(t)=gFy2n,y2n+1(t)=0,∀t>0, 则S,A,T,B也存在不动点。故若对某个n,有sn(t)=gFyn,yn+1(t)=0,∀t>0, 则S,A,T,B存在不动点。 以下可设∀n≥0,∀t>0,sn(t)>0, 因Φ∈Φ1, 所以对∀n≥0,t>0,有δn+1(t)≤Φ(δn(t))<δn(t)。 这蕴含对∀t>0, {sn(t)}是关于n严格递减的正数列，从而对∀t>0, {sn(t)}收敛。 现证{yn}是X中的Cauchy列。事实上, ∀t>0, ∀n∈N(正整数集),∀p≥1, 由条件(c1)和(c2)有

(3)

故对∀t>0，由式(3)和T,S的连续性知

g[FBTx2n+1,Ty*(t)]≤g[FBTx2n+1,TBx2n+1(t)]+g[FTBx2n+1,Ty*(t)]→0(n→∞),

g[FASx2n,Sy*(t)]≤g[FASx2n,SAx2n(t)]+g[FSAx2n,Sy*(t)]→0(n→∞)。

据此及A,B连续性有

于是∀t>0, 由式(1)有

g[FAy*,By*(t)]≤Φ(max{g[FSy*,Ty*(t)],g[FSy*,Ay*(t)],

Φ(max{g[FSy*,Ay*(t)]+g[FAy*,By*(t)]+g[FBy*,Ty*(t)],

0+g[FBy*,Ay*(t)])})=Φ(g[FAy*,By*(t)])。

因此Ay*=By*=Sy*=Ty*=z。下证z是S,T,A,B在X上的公共不动点。

事实上, 由于By*=Ty*=z, 且B,T是相容的, 故由引理1有BTy*=TBy*。又∀t>0, 由式(1)有

g[Fz,Tz(t)]=g[FAy*,TBy*(t)]=g[FAy*,BTy*(t)]≤Q(max{g[FSy*,T2y*(t)],g[FSy*,Ay*(t)],

于是Tz=z, 从而Bz=BTy*=TBy*=Tz=z。同理可证Sz=z=Az, 因此z是S,T,A,B在X上的公共不动点。唯一性显然。证毕。

如果我们用Φ的连续性代替映象A,B连续性, 则有下列结果。

定理2 设(X,F,Δ)是完备的(C)g型非阿基米德Menger概率度量空间,(S,A),(T,B)是X→X的相容映象对,S,T连续,AX⊂TX,BX⊂SX, 使得∀x,y∈X,∀t>0, 有

g[FAx,By(t)]≤Φ(max{g[FSx,Ty(t)],g[FSx,Ax(t)],

(4)

其中Φ∈Φ1且上半连续，则S,T,A,B在X上有唯一的公共不动点。

证明任取x0∈X, 作序列y2n=Ax2n=Tx2n+1,y2n+1=Bx2n+1=Sx2n+2(n=0,1,2,…),

(5)

故对∀t>0，由式(5)和T,S的连续性知

g[FBTx2n+1,Ty*(t)]≤g[FBTx2n+1,TBx2n+1(t)]+g[FTBx2n+1,Ty*(t)]→0(n→∞),

g[FASx2n,Sy*(t)]≤g[FASx2n,SAx2n(t)]+g[FSAx2n,Sy*(t)]→0(n→∞),

于是∀t>0，由式(4)有

g[FASx2n,BTx2n+1(t)]≤Φ(max{g[FSy2n-1,Ty2n(t)],g[FSy2n-1,ASx2n(t)],

在上式中令n→∞时取极限, 得

从而∀t>0,g[FSy*,Ty*(t)]=0，即Sy*=Ty*。又∀t>0，由式(4)有

g[FASx2n,By*(t)]≤Φ(max{g[FSy2n-1,Ty*(t)],g[FSy2n-1,ASx2n(t)],

在上式中令n→∞时取极限, 得

g[FSy*,By*(t)]≤Φ(max{g[FSy*,Ty*(t)],g[FSy*,Sy*(t)],

从而∀t>0,有g[FSy*,By*(t)]=0，即Sy*=By*。 同理可证Ty*=Ay*。因此Sy*=By*=Ty*=Ay*=z。

下证z是S,T,A,B的唯一公共不动点。 事实上, 由于By*=Ty*=z, 且B,T是相容的, 故由引理1有BTy*=TBy*。又∀t>0，由式(4)有

g[Fz,Tz(t)]=g[FAy*,TBy*(t)]=g[FAy*,BTy*(t)]≤Φ(max{g[FSy*,T2y*(t)],g[FSy*,Ay*(t)],

因此Tz=z, 从而Bz=BTy*=TBy*=Tz=z。同理可证Sz=z=Az, 因此z是S,T,A,B在X上的公共不动点。唯一性显然。证毕。

设R=(-∞,+∞),X和Y是实Banach空间,S⊆X为状态空间,D⊆Y为决策空间,B(S)是S上有界实函数全体,x和y分别为状态向量和决策向量,T为过程变换,f(x)为具有初始状态x的最优返回。下面我们利用定理1, 讨论下列起源于动态规划的泛函方程的解的存在性和唯一性：

(6)

其中：i=1,2,3,4,x∈S,opt=sup或opt=inf,u:S×D→R,T:S×D→S,

其中：d(h,k)=sup{h(x)-k(x):x∈S}。对∀a,b∈[0,1], 取Δ(a,b)=max{a+b-1,0}。则易知(B(S),F,Δ)是完备的(D)g型非阿基米德Menger概率度量空间, 进而由注2可知(B(S),F,Δ)也是完备的(C)g型非阿基米德Menger概率度量空间, 其中g:[0,1]→[0,∞),g(x)=1-x,∀x∈[0,1]。

定理3 设

1)u,Hi(i=1,2,3,4)有界；

2) 对任意(x,ξ,y)∈S×S×D,k,h∈B(S)和t>0, 有

其中g:[0,1]→[0,∞),g(x)=1-x,∀x∈[0,1],Φ∈Φ1，

3)A1(B(S))⊂A4(B(S)),A2(B(S))⊂A3(B(S))；

4) 对Ai(i=1,2,3,4), 满足任意的{γn}n≥1⊂B(S),γ∈B(S),有

5) 对任意的{μn}n≥1⊂B(S), 如果存在μ∈B(S),当

证明任意的k,h∈B(S),定义d(k,h)=sup{k(x)-h(x),x∈S},由条件1)可知，Ai:B(S)→B(S),i=1,2,3,4。由条件4)和条件5)，A1,A2,A3,A4是连续的，并且A1与A3，A2与A4是相容的。若opt=sup，则由条件2)中Aiqi(x)的定义，对任意的k,h∈B(S),x∈S, 对任意的ε>0,存在y,z∈D, 有下列不等式成立：

A1k(x)

A1k(x)≥u(x,z)+H1(x,z,k(T(x,z)))，A2h(x)≥u(x,y)+H2(x,y,h(T(x,y)))。

由上面不等式容易得到

A1k(x)-A2h(x)

和

A1k(x)-A2h(x)>H1(x,z,k(T(x,z)))-H2(x,z,h(T(x,z)))-ε

令ε→0,得

于是对∀t>0,有

进而对∀t>0,有

因此对∀t>0, 由条件2)有

Φ(max{g[FA3k,A4h(t)],g[FA3k,A1k(t)],g[FA4h,A2h(t)],

(7)

若opt=inf，则类似于上面证明过程可知式(7)成立。于是由定理1可知，A1,A2,A3,A4有唯一的公共不动点q∈B(S)，即q为泛函方程组(6)的唯一公共解。证毕。