函数思想在解题中的应用

2019-01-28王洪淼

速读·中旬 2019年2期

王洪淼

摘要：数学是一个十分复杂的课程，而函数又是数学当中比较综合的一个学习模块，在数学高考中，很多学生都会对陷在函数这个大坑里。函数思想在数学思想当中也是一个十分重要的思想，该思想包含的内容非常多，属于一种综合性的知识领域，在学习的过程中，我们会遇到许多关于函数思想的题型，但是相应的解题应用技巧也非常多。本文主要对函数进行简单的分析，进而对函数在数学解题中的具体应用提出一些看法。

关键词：函数思想；数学问题；几何；解题

一、什么是函数思想

函数思想的概念就是把我们在研究过程中遇到的问题，通过建立函数关系式或者函数关系模型来进行解题，你们在利用函数解析式的方法解决实际生活中的问题是一般都会结合函数的图像和性质进行分析和转化，进而解决关于具体求值或者解不等式、证明不等式、解决方程、分析几何等等问题。函数和方程的思想，就是让我们学会运用函数以及方程变量进行思考，在思考的过程中通过实际的练习来学会函数中已知和未知之间的转化关系，最后在熟练之后对函数和方程的题型进行考查。在对函数和方程题型考查的过程中，主要是为了了解我们学生能不能使用函数和方程思想进行具体的解题，其实教师在进行讲课的过程中可以对我们进行一些关于函数和方程思想指导的解题方式。平常在使用函數和方程思想指导解题时，我们可以经常性地思考以下这几个问题。在进行实际解题过程中，我们需不需要把一个代数式看成一个函数进行解析？代数式中的字母我们需不需要把它看做一个变量？在将代数式看成一个函数的前提下，把一个字母或者几个字母都看成一个变量，那么整个函数会有怎样的性质？我们在初次面对一个问题时，并没有把它看成一个函数问题，那么在解题过程中，我们是否可以构造一个函数来进行具体解题？我们是否需要建一个等式看成一个还有未知数方程，而且这个方程的解需要有什么要求？在利用函数和方程思想进行解题时，对这些问题进行思考，往往会使解题过程事半功倍。在目前的新课标改革中，数学的新课程标准仍然将函数思想放在高中数学课程的重点位置上，毕竟，函数是整个高中数学中联系面最广的核心概念，它对整个高中数学知识起到统帅的作用。

二、函数在各种数学知识中的应用

1.函数与数学方程之间存在密切的联系，因此我们首先来分析一下函数在解数学方程中的应用。设f（x）=x?+bx+c是[-1，1]上的增函数，且f（-12）·f（12）<0，则方程f（x）=0在[-1，1]内（）。

A.可能有3个实数根

B.可能有2个实数根

C.有的实数根

D.没有实数根

解析：由f（-12）·f（12）<0得f（x）在[-12，12]内有零点，又f（x）在[-1，1]上为增函数，∴f（x）在[-1，1]上只有一个零点，即方程f（x）=0在[-1，1]上有的实根。

答案：C。

从以上例子中我们可以看出，利用函数的思想进行数学方程的解题可以将方程的根分布进行简单的分析，这种方法是我们在进行方程解答过程中使用的一种常见的方法，而且该方法的运用可以让我们快速的转换一些困难的题目。

2.在进行数学数列的解题过程中，运用函数思想也可以使整个数列问题变得通俗易懂。等差数列上的点可以用一次函数表示，a（n）=a（1）+（n-1）×d。一次函数是在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=kx+b（k为一次项系数≠0，k≠0，b为常数），当x2-x1=x3-x2=……=xn-xn-1时对于y可以看作等差数列。只要是有关这种类似的数列问题，教师都可以引导我们学生对已经学习过的函数知识来进行综合利用，可以巧妙地将数列问题和函数问题进行结合，或者将数列问题转化为函数问题进行解答，这些方式都是将函数思想应用在实际解题过程当中的实践应用。

3.不等式问题是高中生在学习数学中的一个巨大困难，如果能够巧妙地利用函数知识解决不等式问题，那么整个过程都将达到事半功倍的效果。

例如解一下不等式，2x?-3x-5>0，

解析：（x+1）（2x-5）>0

则（x+1）与（2x-5）同为正数或同为负数。

同为正数则x>-1且x>5/2，所以x大于5/2。

同为负数则x<-1且x<5/2，所以x小于-1。

所以x的取值范围为（负无穷，-1）或（5/2，正无穷）时，二次函数的值大于零。

如果有的二次函数不容易进行因式分解，还可以根据二次项系数a的值，和判别式的情况来分析。

若a大于零则函数开口向上。

（1）若判别式b?-4ac>0，二次函数与x轴有两个交点x1，x2，（x1

（2）若判别式b?-4ac=0，二次函数与x轴有唯一交点，二次函数在此点以外的区间均大于0。

（3）若判别式b?-4ac<0，二次函数与x轴无交点，二次函数在所有区间恒大于零。