突破概率与统计题的解题瓶颈的方法探讨

莫德杰

摘 要：本文将从单纯题目与综合题目两方面入手，以例题分析的方式，对突破概率与统计题解题瓶颈的方法进行探讨，希望可以为高中生解题提供一些帮助。

关键词：概率题；统计题；解题方法

概率题与统计题一直是高中数学重点内容，也是高中生学习的难点。因此，作为祖国未来建设型人才，高中生必须通过实际例子，对突破解决瓶颈的方法进行探讨，总结其中的规律，只有这样，才能提高自身数学学习水平，从而促进自己更好发展。

一、单纯题目解题方法

（一）概率题

例1：某人向目标射击4次，每一次的目标击中概率是1/3，而目标共有三个不同部分，各面积比是1：3：6。在击中目标时，任何部分概率和其面积都是成正比。

（1）假设K是目标被击中次数，问K分布列。

（2）如果目标被击中两次，A代表“第一部分最少被击中1次或者是第二部分被击中两次”，问P（A）。

解题突破口：在对（1）进行分析时，高中生可以将随机变量K取为0、1、2、3、4，由于每一次的击中结果只有两种可能，即击中与未击中，所以可以知道K服从二项分布，之后通过相关概率公式的运用，高中生就能够得到结果。在对（2）进行解答时，高中生应该先对构成A的事件进行寻找，假设Ai指的是第一次击中目标第i部分，其中i=1，2；Bi指的是第二次击中目標第i部分，其中i=1，2，由此可以得出，A=A1`B1∪`A1B1∪A1B1∪A2B2，之后通过概率公式就可以得到最终结果。

解答过程：

（1）根据题意可知K-B（4，1/3），因此P（K=0）= （1/3）0（1-1/3）4=16/81，依次可得P（K=1）=32/81、P（K=2）=24/81、P（K=3）=8/81、P（K=4）=1/81。

（2）依照上述分析假设Ai与Bi，其中i=1，2，结合题意得到P（A1）=P（B1）=0.1，P（A2）=P（B2）=0.3，并且A=A1`B1∪`A1B1∪A1B1∪A2B2，因此P（A）的概率应该是0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28。

通过这一例题可知，高中生在对随机变量分布列进行求取时，应该先对其取值与对应概率进行确定，并判断其服不服从二次分布。同时，在求取概率时，高中生还应该先明确概率类型，之后再通过相关公式的正确运用来求出最终结果。

（二）统计题

例2：某工厂共有1000名工人，其中A类工人共250名且接受过短期训练，B类工人共750名且接受过长期训练，现通过分层抽样方法抽出100名工人，检查其在一天范围内加工零件数量。如下：①问甲（A类工人）、乙（B类工人）均被抽到的概率；②抽查结果如下：A类工人的加工零件数量分别是[100，110）、[110，120）、[120，130）、[130，140）、[140，150），其对应的人数是4、8、x、5、3；B类工人的加工零件数量分别是[110，120）、[120，130）、[130，140）、[140，150），其对应的人数是6、y、36、18。

（1）求x、y，并分析A与B类工人中的个体差异程度谁最小。

（2）估算A与B类工人一天加工零件数量的平均数，并估计这一工厂工人加工零件数量的平均数。

解题突破口：高中生应该明确分层抽样指的就是等概率抽样，因此甲、乙可能被抽到的概率都是1/10，所以A类工人是25名，而B类工人则是75名，之后则可以有效得出x、y数值。在解决（2）时，高中生只需要将样本在不同区间中的平均数求出来，自然可以得到A与B类工人一天加工零件数量的平均数。

解答过程：

（1）由已知条件可知，甲、乙被抽概率都是1/10，并且两个事件是相互独立的，因此都被抽到的概率就是1/10×1/10=1/100。

（2）如下：①A类工人应抽出25人，B类工人应抽出75人，因此，x=5，y=15。同时，通过直方图观看，高中生可以发现B类工人差异较小；②由①求出A类工人与B类工人的平均值是123和133.8，因此，全体工人平均值就是25/100×123+75/100×133.8=131.1。

二、综合题目解题方法

例3：在研究某一课题中，以分层抽样方式对A、B、C三所高校工作人员进行抽取，具体数据如下：在相关人员数量方面，A、B、C三所高校分别是18、36、54，抽取的人数则是x、2、y。

（1）问x、y数值。

（2）如果从B、C两校中选出两人发言，问二者均来自C校的概率。

解题突破口：分层抽样是一种等概率抽样，高中生应该利用这一性质来求出具体数值。（2）问题属于古典概型问题，高中生可以通过列举法的方式，来找出这一概率。

解答过程：

（1）根据个体抽到概率相等得出x/18=2/36=y/54，由此可以得出x=1，y=3。

（2）将从B校抽取的人记作B1、B2，从C校抽取的人记作C1、C2、C3，那么问题（2）可能发生的事件主要有以下十种情况，即（C1，C2）、（C1，C3）、（C2，C3）、（B1，B2）、（B1，C1）、（B1，C2）、（B1，C3）、（B2，C1）、（B2，C2）、（B2、C3），其中两人均来自C校的事件有（C1，C2）、（C1，C3）、（C2，C3），因此，问题（2）的答案应该是3/10。

三、结论

综上所述，作为社会未来建设型人才，高中生只有熟练掌握与概率和统计相关的数学知识，如概念、公式等，并详细分析题目已知条件，掌握解题思路与技巧，才能降低概率题与统计题的难度，从而有效突破解题瓶颈。

参考文献

[1]孙海琴，王俊琦.2018年高考“概率与统计、计数原理”专题解题分析[J].中国数学教育，2018（18）：39-45.

[2]谢菲.概率统计解题思维与学生能力培养[J].教育教学论坛，2015（18）：179-180.