计算教学的实践与思考

摘 要：高质量的计算，对问题的解决至关重要，对揭示问题本质大有裨益。除记忆常用结果之外，合理分析问题，找到合适算法，针对性的提高计算效率。

关键词：计算；整式；算法

计算，是按照一定的规则对数据进行转换的过程，是数学学习中必不可少的部分。高质量的计算，不但对问题的解决至关重要，对揭示问题本质也大有裨益。所谓高质量，一是算的快，即数据转换要快，二是算得准，也就是对量的选择到位，规则使用恰当。为使学生对问题进行又快又准的计算，教师应当充分利用日常的教学素材，结合教学内容，不时加以引导，提炼甚至安排一定的训练。如此这般，日积月累，不但能拓展知识的适用范围，更可以提高学生计算兴趣，加快运算速度，提升计算水平。

要算的快，首先是要记住一些常见的运算结果，记得越多，计算也越快。就好像有的同学熟记19×19乘法口诀表，无疑比只记9×9乘法口诀表的同学在乘法运算中有更大的优势。通过数的分类，学生会意识到整数，特别是质数是所有实数的关键内核。无论心算，口算，整数是计算的基本元素。而很多速算正是建立在整数速算的基础之上。所以，如果要提升计算的速度，应当要求学生多记忆一些整数的运算结果。以平方关系为例，如：

（1）平方数：121=112，144=122，…，361=192

（2）勾股数：32+42=52，52+122=132…

（3）斐波那契数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…

平方数在乘法运算中往往起到“桥梁”的作用，一些运算可以转化为平方数的计算。比如，借助平方差公式进行转换，则26×24=（25+1）（25-1）=252-1=624；又如斐波那契数列中每个奇数项的平方都比前后两项之积少1，这就帮助我们将一些计算转换到平方数的运算上了。

要算的快，其次是要会从更高的整式运算来看待整数运算。

在完成整式的学习之后，可以列举一些网红算法，增加学生计算兴趣，加深对计算步骤的理解。

比如对“头同尾合十”的两位数乘法

35×35=（3×3+3）×100+5×5=1225

61×69=（6×6+6）×100+1×9=4209

即十位相同的两位数相乘时，若个位之和为10，则将十位上的两数相乘后加上头数，结果作为前两位（或一位），个位直接相乘作为后两位（不足两位十位记0，如上例）。

又如对“尾同头合十”的两位数乘法

28×88=（2×8+8）×100+8×8=2464

33×73=（3×7+3）×100+3×3=2409

即个位相同的两位数相乘时，若十位之和为10，则将十位上的两数相乘后加上尾数，结果作为前两位，个位直接相乘作为后两位。

再比如

96×97=（100-3-4）×100+（100-96）（100-97）=9312

即两个90～100的两位数相乘时可采用上述办法来进行速算。

借助多项式乘法的学习，学生很容易找到如上巧算合理的原因。通过式的学习再回归数的计算，观点更高，解法更妙。通过引导，学生在计算时会更自然地从整式角度去看待数的运算。

要算的快，还要会考虑计算量的精简，也就是上升到算法。在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。在正確解决问题的前提下，如何让运算更为高效，是非常实在而且时髦的问题。

例1 已知一个5次多项式为f（x）=4x5+2x4+3x3+x2+5x+6，请计算这个多项式当x=5时的值。

如果直接把5代入多项式f（x），计算各项的值，然后把它们加起来。这时，即使我们保留低次幂运算的结果，我们至少还要做8次乘法运算，5次加法运算。若借助秦九昭算法，将多项式转化为f（x）=（（（（4x+2）x+3）x+1）x+5）x+6，按照从内到外的顺序，依次计算当x=5的值，我们一共做了5次乘法，5次加法。很明显，当我们改变计算次序后，计算效率得到了提升。

例2 甲乙丙丁4个人和一只猴子来到一个岛上，他们看到一堆椰子，于是4个人便平分了这堆椰子，恰好多出1个给了猴子。晚上，甲起来把他自己的那份给吃了，把剩下的3份又平均分成4份，又把多出的1个给了猴子；之后乙也起来把属于他的那份吃了，也把剩下的3份分成4份，也多出1个给了猴子；后面丙丁也都起来依次做了相同的事，每次都剩1个给猴子，请问这堆椰子最少有多少个？

这类问题实质上是给出函数f（x）=px+q，通过分析f（f（f（f（f（x）））））的解析式特征，求得满足要求的最小整数问题。在复合次数比较高时，直接代入就会显得麻烦。面对多次迭代，我们可以考虑将式子变形为f（x）=p（x+u）-u，其中u为方程pu-u=q的解。如此变形之后，因为式子中的u前后相消，迭代并不会带来更多的项，从而能够简化运算，让计算结果的特征更为明显。通过这一算法的改变，计算变得更为快捷。

平时还有很多问题，值得我们引导学生去思考更好的算法。如在求两个整数的最大公约数问题上，可以让学生依据具体的问题，比对是采用辗转相除法（欧几里得算法）快些还是更相减损术更快一些。

要算得准，需要学生正确理解问题，找到问题关键，去粗取精，化繁为简。

例3 已知盐水若干千克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为6%，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变为4%，则第三次再加入同样多的水后盐水浓度为 。

这个问题我们可以借助式子来分析。将两种不同浓度的同种溶液（浓度分别为a、b，质量分别为A、B）混合，得到的混合溶液浓度为r=（Aa+Bb）/（A+B），化简得（r-b）/（a-r）=A/B，即将混合前两种溶液的浓度和混合后的浓度交叉做差后得到的比值与这两种溶液的质量之比相等（计算过程可以借助十字相乘法操作）。所以视水为0%浓度的溶液，6%的溶液与一次加入的水质量之比为（4%-0%）∶（6%-4%）=2∶1，即每2+1=3份浓度为4%的溶液加入1份水，浓度变为4%×3÷（3+1）=3%。

该问题的解决，借助浓度定义，找到了浓度变化关系，回避了原有溶液质量的假设，直接对关键的浓度进行计算，很快得到了答案，可谓去粗取精。

计算直接关系到学生对数学知识的掌握，关系到学生解题速度和正确率。教师在日常教学中，对学生计算能力的培养，应当注意以下几点。第一是要长期坚持。计算对许多人来讲，都是一个难题，过程马虎，错误率高。特别是对刚进初中的学生，随着数系的扩大，仅仅因为不熟练就导致诸如抄写错误等情况时有发生。好的计算习惯的养成，是一个长期的，渐进的，反复的过程，教师要多鼓励学生，师生共同坚持才能成功。第二是要循序渐进，不求立竿见影。如前文所提，刚开始学生能尝试着把一些常见的计算结果记住就相当不错。随着学习的深入，才能有意识地将一些计算转化为熟悉的运算，从而提高运算速度。随着接触到的方法越来越多，才能逐步了解不同算法背后的内在逻辑，体会各种算法的精妙所在。学无止境，计算也是如此。第三是要反复渗透。操千曲而后晓声，观千剑而后识器。中学教学中，有各种各样的例题、练习题呈现，无一不用到计算。方法是手段，思想是灵魂。源于问题而又高于问题的算法思考是一种隐性的数学知识，需要在长期的数学学习过程当中感悟和积累。教师的适时点播，一来能对学生产生潜移默化的影响，二来会起到醍醐灌顶的作用，激起学生思维的涟漪，起到一语惊醒梦中人的效果。

《义务教育数学课程标准》（2011年版）要求学生掌握好相关的数学知识与技能。计算就是基本技能之一。进入信息时代之后，大家越来越重视数据。有了数据，还要依靠计算。“云计算”越来越深刻地改变着我们的世界。提高学生的计算能力，即是数学教学的目标也是时代的要求。而我们的中学教材，也提供了提升计算的不少素材。只要多挖掘，多引导，适当的计算教学有助于拓宽学生的解题思路，有助于学生认识问题条件和结论的内在联系和本质，也有助于提升学生的数学素养。

爱因斯坦有句名言：“美，本质上终究是简单性。”学生在对计算追求简化的过程中，会发现一些奇妙的规律。在不同的问题中，计算形式多种多样，纷繁复杂，如果能引导学生从更高的观点，从差异中看到统一，从通性通法中发现特例，不仅能提升解题的能力，更能从中体验数学之美，计算之美。

参考文献：

[1]涂子沛.数据之巅：大数据革命，历史、现实与未来[M].北京：中信出版社.

[2]普通高中课程标准实验教科书，数学3[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]2014中华人民共和國教育部.义务教育数学课程标准（201年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

作者简介：

徐羽，浙江省杭州市，浙江体育职业技术学院。