初中数学分类讨论思想在解题中的应用

■甘肃省张掖市民乐县第四中学 费博学

一、初中数学解题中分类讨论思想的重要作用

在数学解题的过程中，分类讨论思想可以看作是一种逻辑划分思想，因此，在对分类讨论思想进行应用的过程中，教师应该引导学生建立起化整为零的思考方式，并在此基础上让其对学习的知识和遇到的习题进行总结，通过这样的方式更好地认清习题和知识的内在联系，最终达到扎实地掌握知识并灵活进行运用的目标。除了有效提升初中数学教学质量之外，通过引导学生学习和掌握分类讨论思想，可以帮助学生在面对各种问题的时候更加清晰有序地进行思考，不但可以更好地提升学生的解题准确度，也可以大幅度提升学生的解题效率。学生在不断对问题进行分析和总结的过程中，领会到数学学习的乐趣所在，这对于提升学生的学习积极性和培养学生自主学习的习惯是非常有帮助的。在初中数学的解题过程中，引导学生应用分类讨论的思想进行解题是非常有必要的。

二、初中数学中分类讨论思想的应用原则

（一）互斥性原则

在应用分类讨论思想的过程中，互斥性原则一直是最基础也是最核心的原则之一。在对目标进行分类的过程中，互斥性原则指的是分类之中的各个子项应该保持相互排斥的原则，不能存在某一因素既可以属于这个子项，又可以属于另外一个或者几个子项的情况。例如在学校开展联欢会的过程中，A班有16名学生参加了唱歌、舞蹈以及小品演出，参加唱歌演出的学生共有8人，参加舞蹈演出的学生共有5人，参加小品演出的学生共有4人，在这种情况下，如果单纯将17人分别划分为参加唱歌、舞蹈和小品演出的学生，则会出现逻辑上的错误。为此，学生在应用分类讨论思想进行解题的过程中，需要充分遵守互斥性原则，避免出现上述的分类错误问题，从而更好地发挥出分类讨论思想的重要作用。

（二）相称性原则

除了互斥性原则之外，相称性原则也是学生在应用分类讨论思想的过程中需要遵守的核心原则之一。相较于互斥性原则，相称性原则更难以被学生所理解，因此需要教师对学生进行一定的帮助和引导。在对目标对象进行分类的时候，学生需要更好地对目标对象的主次进行分析，确保其不存在遗漏或者叠加等问题。例如在初中数学中学习三角形的过程中，学生可以将三角形分为等腰三角形、直角三角形以等，在对其分类的过程中，学生要时刻遵循相称性原则，只有保证其分类子项的并集与母项的子集相称，才可以保证分类过程中不存在问题，以此为发挥分类讨论思想的作用打下良好的基础。

三、初中数学解题中分类讨论思想的应用步骤

（一）全面了解题目

在应用分类讨论思想进行解题的过程中，学生首先需要对题目进行全面了解。在目前的解题过程中，很多学生只是简单地阅读了题目便开始采用分类讨论方法进行解题，这使学生经常在解题过程中产生思维混乱，进而导致学生解题困难或者解题出错。为了更好地保证解题效率和准确性，学生应该全面对题目进行解读，了解题目特点后再应用分类讨论思想进行解题。

（二）确定分类标准

在对题目进行解读之后，应用分类讨论思想进行解题之前，学生还需要对分类讨论的分类标准进行确定。通过设定分类标准并按标准进行分类，才可以更加全面准确地进行解题。例如在题目IaI=7，IbI=10，求a+b=？这一问题中，学生需要将a和b分别列为一类，从而进行分类组合求解。

（三）逐一进行讨论

在完成上述步骤后，学生便可以开始应用分类讨论思想进行解题了，在解题的过程中，为了更好地避免出现遗漏或者错误的情况，学生应该严格按照分类情况逐一进行讨论，通过这样的方式可以更好地保证解题的效率以及准确性。在完成解题之后，学生还需要养成对答案进行检查的好习惯，通过这样的方式更好地提升数学习题的解答质量。

四、分类讨论思想在初中数学解题中的运用

（一）分类讨论思想在应用题中的运用

例题：某学具店在举行促销活动，其中钢笔的原价是20元一支，笔记本的价格为4元一本。学具店为了更好地提升活动效果，给消费者提供了两种优惠方案，方案一为购买钢笔和笔记本可以享受9折优惠，方案二为买一支钢笔赠送一本笔记本。王老师想要购买20支钢笔和若干本笔记本，在只能选择一种优惠方式的情况下，应该如何进行购买？

在初中数学的学习过程中，上述问题是一种非常常见的应用题类型，很多学生在第一次面对类似问题时，会由于题目中没有给出王老师具体想要购买的笔记本数量而陷入茫然，导致自身失去解题思路和方法。在面对这样的问题时，通过应用分类讨论的思想可以很好地对其进行解决，教师只需要引导学生对王老师需要购买的笔记本数量进行分类，并根据不同的情况分别进行计算，即可非常轻松地对这类问题进行解决。

解法：首先，设王老师需要购买的笔记本数量为x，方案一价格为y1，方案二价格为y2。

方案一：y1=（20×20+4x）×90%=360+3.6x元

方案二：y2=20×20+（x-20）×4=320+4x元

由此可得方案一与方案二之间差价y=y1-y2=40-0.4x

因此，在y=40-0.4x＞0，也就是x＜100的情况下，选择方案二更好，在y=40-0.4x＜0，也就是x＞100的情况下，选择方案一更好，在y=40-0.4x=0，也就是x=100的情况下，方案一与方案二价格相同。

（二）分类讨论思想在三角形问题中的应用

在初中数学学习的过程中，三角形的相关问题一直是学生学习过程中的重点也是难点。为了更好地提升三角形问题的解题速度和精确性，同时提升学生对于三角形相关问题的掌握能力。教师需要引导学生应用分类讨论思想分析问题，以此更好地提升学生对该部分知识的掌握程度和应用能力。

例题：已知一直角三角形的两边长度分别为30cm和40cm，求该三角形的第三边长。

在进行这道例题的讲解过程中，教师应该引导学生将分类讨论的思想应用在题目之中，从而将问题分类为30cm、40cm的两条边为两条直角边，或者30cm、40cm分别对应直角边和斜边这两种情况。通过这样的分类可以更好地帮助学生认识到两种情况的不同区别，并针对性地对其进行求解。通过这样的解题思路，学生的逻辑能力可以得到非常大的提升，同时也可以加深学生对初中几何知识的学习兴趣和掌握熟练度，这对于提升初中数学的教学质量有着非常大的帮助。

（三）分类讨论思想在圆中的应用

在初中几何学习的过程中，三角形和圆一直是学生较难掌握的学习内容之一。在进行圆相关的问题解题过程中，通过应用分类讨论思想，可以更好地让学生认识到问题的核心所在，并在此基础上根据不同的分类情况针对性地进行解题，这可以在很大程度上提升学生的解题效率和准确度。

例题：半径分别为40cm和60cm的两个圆处于相切的状态，两个圆的圆心距离是多少。

在对这个问题进行解答的过程中，学生非常容易产生先入为主的思想，进而导致解题出现遗漏的情况。为了更好地避免类似问题的发生，教师可以引导学生将分类讨论思想应用在解题的过程之中。首先学生需要考虑到两圆相切共包含两种情况，分别为两圆内切或者两圆外切，在题目中并没有给出明确说明两圆属于内切还是外切的情况下，学生应该针对这两种情况分别进行计算，并求出两种情况下的圆心距离。通过应用分类讨论思想，可以更好地避免学生片面地思考问题，帮助学生以一个更加全面的角度去看待问题，这样不但对于学生解题能力的提升有着很大帮助，同样也会为学生未来的发展打下良好的基础。

五、结语

在数学学习和解题的过程中，分类讨论思想一直是数学思维中非常重要的思维方式之一，教师通过对学生进行引导，帮助其掌握分类讨论思想，可以让学生更加直观地了解到各种数学题目之中问题的核心，从而让学生快速地掌握这一类型问题的解题思路。在这样的情况下，对于提升学生的解题效率和精准度都有着非常大的帮助。除此之外，应用分类讨论思想进行解题还可以更好地活跃学生的思维，通过这样的形式让学生可以灵活地应用数学知识解决各种问题，这对于培养学生的数学思维以及实际应用能力有着非常大的帮助。