待定系数法在圆锥曲线标准方程中的应用
2019-01-19王瑞华
王瑞华
摘要:待定系数法是解决数学问题时常用的数学方法,在中学数学的圆锥曲线标准方程问题中有着广泛使用。本文简单阐述了待定系数法的概念、理论依据及其解题步骤,并通过具体的实例重点论述了待定系数法在圆锥曲线中的应用。
关键词:待定系数法;圆锥曲线;中学数学
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2019)11-0009
一、待定系数法的定义及其理论依据
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新形式,这样就得到一个恒等式,然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组,其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满足的关系式,这种解决问题的方法叫作待定系数法。更广泛地说,是要确定变量间的函数关系,设出某些未知数,然后根据所给条件确定这些未知数,使问题得到解决的方法。其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式[f(x)≡g(x)]的充要条件:对于一个任意的[a]值,都有[f(a)=g(a)];或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
二、待定系数法的应用步骤
利用待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程,使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决。要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解。使用待定系数法解题的一般步骤可归纳为以下三点。
1. 确定所求问题含待定系数的解析式;
2. 根据恒等条件,列出一个(组)含待定系数的方程;
3. 解方程或消去待定系数,从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析:利用对应系数相等列方程;由恒等的概念用数值代入法列方程;利用定义本身的属性列方程;利用几何条件列方程。
三、待定系数法在圆锥曲线标准方程中的应用
椭圆与双曲线的标准方程推导方法相同,得出方程形式类似,所以它们的解法也就有很多共同点,比如:已知曲线的轨迹是椭圆或双曲线时,求标准方程时都可用待定系数法,若焦点位置确定,直接设标准方程来求解;但若焦点位置不确定,直接设标准方程来求解需要讨论两种情况,有可能会导致漏解或过程繁琐,运算量增大。这就要加强对题目条件合理的使用,对方程进行适当的“改造”,达到避繁就简,事半功倍的效果。
例1:已知椭圆[x2a2+y2b2=1][(a>b>0)]的离心率为[22],以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点[F1]、[F2]为顶点的三角形的周长为[4(2+1)]。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设[P]为该双曲线上已于顶点的任一点,直线[PF1]和[PF2]与椭圆的交点分别为[A]、[B]和[C]、[D]。求椭圆和双曲线的标准方程。
解:设椭圆的半焦距为[c],则椭圆的离心率为[ca=22]。可得到关系式[2a+2c=4(2+1)],即得[a=22],[c=2],根据[a2=b2+c2],得[b=2],故标准方程为[x28+y24=1]。设等轴双曲线的标准方程为[x2m2-y2m2=1][(m>0)],由于等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点,则有[m=2]。
评注:要用待定系数法求解解析式,首先要知道函数解析式的形式,然后用字母表示出解析式,然后根据题目中给出的已知条件解出未知数,最后写出解析式。
例2:求经过两点[A(2,22)],[B(-2,-32)]的椭圆的标准方程。
解:可设椭圆的方程为[mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)],将[A(2,22)],[B(-2,-32)]两点带入,得[4m+12n=1]和[2m+34n=1],解得[m=18],[n=1]。故标准方程为[x28+y2=1]。
评注:当椭圆的焦点在[x]轴上时,标准方程为[x2a2+y2b2=1],焦点在[y]轴上时,标准方程为[x2b2+y2a2=1]。从形式上看,[1a2]和[1b2]分别是[x2]和[y2]前的系数,所以可以将标准方程统一改造成[mx2+ny2=1],當[m>n>0]时,椭圆的焦点在[y]轴上;当[n>m>0]时,椭圆的焦点在[x]轴上,从而避免了讨论。
待定系数法实际就是将待定的未知数与已知数建立等式关系,从而列出方程或方程组,解方程或方程组即可得待定的未知数,只需根据题目给出的条件解题即可。用待定系数法解题,思路较为清晰,操作比较方便,在很多解题过程中都可以用到。但是在解题过程中,待定系数法并不是最为简单、合适的方法。因此解题时要根据具体的题目,选择简单又适合的方法。
参考文献:
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[2] 张大任.待定系数法[J].数学方法,2006(9).
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[4] 周平华.待定系数法在高中数学中的应用[J].考试,2008(12).
基金项目:重庆市研究生教育教学改革研究重点项目:基于创新理念的系统理论研究生专业课程体系优化研究(yjg182019)。
(作者单位:重庆市沙坪坝区大学城第一中学校 400000)