随机动力作用下平面框架结构拓扑优化

白显中 李 浩

(华南理工大学土木与交通学院，广东 广州 510640)

1 概述

结构的拓扑优化是指在一定的约束条件下，改变结构的布局，从而使结构某种性能能够达到最优。目前结构拓扑优化方面的研究大部分是以静力荷载为主，在动力荷载方面的研究相对较少。实际生活中，结构大部分都受风荷载、地震荷载等随机动力荷载的影响，所以研究随机动力荷载下结构的拓扑优化设计具有现实意义。

近年来，苏成、徐瑞[1]通过时域的角度，针对于非平稳的随机荷载下结构的动力响应提出了时域显示法表达式，这种方法针对大型的复杂结构在随机荷载下求解结构动力响应的过程中有较好的计算效率。洪晨[2]在上述研究的基础上结合振型分解法提出了随机荷载下结构的动力响应，大大降低了计算效率，并采用振型加速度法对于高阶频率进行修正，保证了精确性。陈太聪、苏成等[3]在时域显示的基础上，提出了随机动力响应灵敏度高效的时域显示表达式。

因此，本文以结构位移方差响应为约束，总体积最小为目标建立拓扑优化模型，结合全局移动渐近线收敛法(GCMMA)[4]求解平面框架的结构拓扑优化。

2 结构动力响应及灵敏度分析

2.1 结构动力响应的时域显示表达式

n维自由度的连续体结构在随机动力下的方程式如下：

(1)

通过文献[1]可知，第i时刻结构的位移响应的时域显示表达式为：

Y(ti)=BiRi

(2)

式中:

(3)

其中，[Aa,iAa,i-1…Aa,1]为只与结构参数有关的系数矩阵。

考虑随机荷载的过程中，往往需要从某些关键自由度上进行二阶矩的分析。某个自由度在第i时刻的结构位移方差响应的表达式为：

cov(yi,yi)=ψBicov(Ri,Ri)(ψBi)T

(4)

其中，ψ为由0和1组成的定位向量。

2.2 结构动力灵敏度的时域显示表达式

由上节可知，通过时域的角度来解决结构动力响应，同理可得，结构动力响应的灵敏度时域显示表达式。假设θ是结构优化的设计变量，把式(1)两端同时对θ求偏导，整理后可以得到表达式：

(5)

式(5)与式(1)相对比，只是右端的荷载项不同，式(5)可以类比为动力方程，同理可知，第i时刻结构的位移响应灵敏度的时域显示表达式为：

(6)

结合结构位移方差响应在二阶矩的分析，同理可得，在时间周期T内关键自由度位移方差最大值的灵敏度表达式如下：

(7)

3 拓扑优化模型

本文的拓扑优化模型是以结构顶部中点水平方向的位移方差响应为约束，结构所需的总体积最小为目标，其表达式如下：

(8)

find:0

4 数值算例

(9)

其中，ωg为过滤频率；ζg为过滤阻尼比，取0.64；S0为谱强度因子，取0.001 9 cm2/s3。

本文主要研究不同ωg参数下随机动力荷载对平面框架结构的拓扑优化设计的影响，ωg分别取2π rad/s,5π rad/s,8π rad/s所得的拓扑优化结果如图2所示。

5 结语

本文采用了以结构位移方差响应为约束，总体积最小为目标的拓扑优化模型，采用时域显示表达式来表现动力下结构的响应及其灵敏度，并结合了全局移动渐近线收敛法(GCMMA)求解平面框架的结构拓扑优化，通过改变随机荷载参数中的过滤频率ωg对平面框架结构拓扑优化的影响。为了直观表达，以结构体积最小为目标。由图2可知，对于不同的过滤频率ωg所得到的拓扑优化结果也不相同。结构及其他参数一定时，过滤频率ωg越小优化结果所需材料越少，即对于结构的影响也越小。而且可以发现三层框架结构下，底层所需的材料比顶层所需的材料要多。经过拓扑优化后的结果也比较合理，对于不同外荷载下结构的材料也达到了节省，对于今后实际工程中所需的优化设计有了一个实际的参考意义。