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一类非自衡对象的鲁棒内模PID控制器设计方法

2019-01-18

石家庄职业技术学院学报 2018年6期
关键词:鲁棒控制内模鲁棒

刘 立 业

(石家庄职业技术学院 电气与电子工程系,河北 石家庄 050081)

0 引言

为了确保能源设备运行与操作的可靠性与稳定性,需要维持自控系统的基本参数不变.在一些情况下,需要在很小的范围内维持一定的操作复位速率.因此,为了实现能源设备操作运行的稳定性,自动控制系统(Automated Control Systems,缩写为ACS)的功能就需要进行拓展和升级,以满足现场复杂工作和生产环境的需要.

先进鲁棒控制技术与ACS中的软硬件相结合,极大地提高了ACS的灵活性与稳定性.这是由于优先选择控制器的结构和整定控制器的参数能够降低系统的运行与维护成本[1].鲁棒控制系统运行时,仅依靠于可能的、外部干扰的先验信息[2],这是H∞(H无穷)控制器的主要特征,也说明鲁棒控制系统具有一定的保守性.因此,鲁棒控制器是为了在最差的工况下保持系统的稳定运行而设计的.

但鲁棒分析法中严格的数学算法并不完全适合解决具体的工程任务,这是由于鲁棒分析法的算法较为复杂,且计算所得的控制器为理论控制器,具有高阶、大时滞和非线性等特点.基于上述情况,迫切需要一种简化的鲁棒控制器设计方法.

控制系统的控制精度取决于控制器和被控对象的类型.在设计控制器的过程中应考虑到被控对象的具体特征.如果被控为非自衡对象,那么控制器的设计过程就非常复杂,且很难达到预期的控制效果.非自衡对象的主要特征是被控模型中包含有积分器,而积分器的存在会增大系统的不稳定性,且使控制器的设计过程变得更加复杂.对于稳定的被控对象,许多控制方法都可以实施,例如传统的PID(Proportion-Integration-Differentiatio,译为比例-积分-微积)控制器或者Smith预测控制等.对带积分器的被控对象,人们也提出了大量的控制方法[3].虽然传统的PID控制器也能应用于带积分器的被控对象,但PID控制器容易导致控制系统品质恶化.由于带积分器的被控对象本身不稳定,导致闭环控制系统也不稳定;而Smith预测控制要求内部是稳定的,在积分对象中很难取得较好的控制效果.

为此,迫切需要提出一种新型的控制器设计方法,以适用于对非自衡被控对象的控制,并且使控制系统具有期望的鲁棒特性及稳定性.

1 问题描述

内模控制(Internal Model Control,简称IMC)的控制原理是,基于过程数学模型,通过引入低通滤波器设计系统控制器.文献[4]研究了一些经常使用的积分指示器,这些暂态的指示器包含了系统的动态、频域和鲁棒稳定条件等重要信息.为了解决带大时间常量被控对象由输出到外部干扰通道的转换问题,提出了一种改进型的IMC控制策略.这种控制方法的主要原理是,通过减少特征方程中的极点,增加系统的稳定性.通过这种控制方法,不仅可以得到控制系统自适应控制器的解析解,还可以得到控制系统鲁棒稳定的条件.

鲁棒控制的最终目的是为了转化成可实现的PID控制器,这种控制理论称之为鲁棒PID控制理论[5].鲁棒PID控制器的优点是能够解决系统控制器结构受限条件下的鲁棒控制问题.在实践中经常使用PI(Proportion-Integration,简写为PI)控制器或PID控制器.文献[5]提出了基于IMC控制策略的PID控制器整定方法,证明了鲁棒PID控制器的可行性和易操作性.

在控制器设计中,考虑使用系统鲁棒性的控制方法一般有两种情况:一种是已知鲁棒控制系统,但没有明确的系统鲁棒区域[6];另一种是有明确的鲁棒区域.为优化干扰输出通道的转化过程,文献[7]提出了基于IMC分析法的PID控制器参数整定策略.第二种情况的主要设计思想是,利用鲁棒性的定义,设计期望的闭环系统的最大灵敏度函数,然后求解相应的控制器参数,并且将之拓展到二自由度控制系统中.

H∞控制属于鲁棒控制的范畴,是对系统的频域特性进行整形,并通过调整系统频率域特性来获得预期特性的方法,它主要研究被调输出和噪声之间的传递函数的无穷范数是否小于给定的值.鲁棒H∞控制,在某些场合下可以表示系统参数受扰动的情况下,依然保持H∞范数小于某个界,这是H∞控制技术最大的优势.本文针对二阶非自衡对象,提出一种基于H∞控制理论的鲁棒内模PID控制器的设计方法.

2 非自衡对象的H∞-IMC控制器设计方法

经典的负反馈控制系统如图1所示.

图1经典的负反馈控制系统

图1中,P(s)为非自衡被控对象;R(s)为控制器;d(s)为干扰输入量;u(s)为控制量;e(s)为误差量;r(s)为输入量;y(s)为输出量;s为拉普拉斯算子.

图1中有两个独立的输入量r(s)和d(s),两个独立的输出量y(s)和u(s).使闭环控制系统稳定的充要条件是,当且仅当从输入量r(s)和d(s)到输出量y(s)和u(s)之间的传递函数矩阵H(s)是稳定的.

(1)

将内模控制器转换成经典的反馈控制结构如图2所示.

图2中,Q(s)为IMC控制器;Pm(s)为被控对象P(s)的匹配模型.当系统模型完美匹配时,有Pm(s)=P(s),可计算得出内模控制Q(s)为:

图2等效内模控制结构

(2)

因此,等效反馈控制器的传递函数为:

(3)

那么传递函数矩阵H(s)可以表示为:

(4)

在系统传递函数H(s)中,当被控对象P(s)是非自衡对象且Q(s)稳定时,整个系统就稳定;当P(s)中加入不稳定的积分环节时,就不能保证整个系统是稳定的.

因此,假设在图2中,P(s)为非自衡对象,要保证系统稳定必须满足两个条件:Q(s)稳定和[1-P(s)Q(s)]P(s)为稳定的传递函数.

假设被控对象为二阶非自衡对象,其传递函数为:

(5)

公式(5)中,T为惯性时间常数,s为拉普拉斯算子,k0为增益系数,e-τs为时滞环节,τ为时滞时间.采用一阶Taylor近似法对时滞环节进行处理,可得:

(6)

系统内部稳定时,需满足以下条件:

(7)

为了实现这个条件,需采用Q(s)的最简形式:

(8)

‖V(s)S(s)‖∞=‖V(s)[1-P(s)Q(s)]‖∞≥

(9)

那么最优的控制器Q1opt(s)=τ.

代入到公式(8)中可得:

(10)

针对非自衡对象,需要引入一个滤波器F(s),以保证非自衡对象的自动稳定性及渐进跟踪特性,即

Q(s)=Qopt(s)F(s).

(11)

(12)

公式(12)中,λ为鲁棒特性参数;F(s)滤波器中的系数m必须保证Q(s)是正则的.系数m的取值由公式(13)确定:

(13)

由公式(12)可知,采用三阶滤波器即可满足系统的渐进跟踪特性.

滤波器F(s)的表达式为:

(14)

将公式(14)代入最优控制器Q(s)中,并根据公式(3)可得到等效的反馈控制器:

(15)

将等效反馈控制器R(s)转化为PID控制器的形式.理想的PID控制由比例 (P)、积分(I)和微分(D)组成.但由于理想PID控制器容易出现高频增益及受噪声影响等现象,因此需引入低通滤波器抑制高增益及噪声干扰现象.

(16)

公式(16)中kr为比例单元系数,Ti为积分单元系数,Td为微分单元系数,Tf为低通滤波器时间常数.将公式(15)展开后,与公式(16)中的对象系数相等,可得:

(17)

3 仿真示例

根据公式(16)和公式(17)可知,PID控制器参数与鲁棒特性参数λ有关,即PID控制器的参数的表达式为:

(18)

PID控制器参数与鲁棒特性参数λ的关系如图3所示.

a kr-λ关系

b Ti-λ关系

c Td-λ关系

d Tf-λ关系

从图3可以看出,积分参数Ti与λ为线性关系,其他3个参数均为非线性关系.整个控制器的性能仅由闭环控制系统的非传递函数的常量决定.

图4为不同λ值下的系统响应输出阶跃曲线.

图4 不同λ值条件下的系统响应输出曲线

从图4可以看出,λ的值越大,系统的鲁棒特性越强,系统的性能越差,超调量越大,调节时间越长;相反,λ的值越小,系统的鲁棒特性越弱,系统性能越好,超调量越小,调节时间越短.因此,参数λ能够很好地衡量控制系统的动态性能.

4 结语

本文提出的鲁棒内模PID控制器设计的方案适用于二阶非自衡时滞的被控对象,根据不同的控制要求选取不同的鲁棒特性参数λ,就能够得到满意的控制系统设定值跟踪性能.用此方案设计的鲁棒内模PID控制器结构简单,参数整定容易,可以得到期望的控制效果.

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