斜激波总压损失率极小值理论解与物理意义

史爱明，Earl H DOWELL

1. 西北工业大学 航空学院 NPU-Duke空气动力与气动弹性联合实验室，西安 710072 2. 杜克大学 普拉特工学院 NPU-Duke空气动力与气动弹性联合实验室，达勒姆 27708-0300

斜激波关系式与其图解是人们获得激波角和激波前后流动参数的重要方法[1-3]。根据经典激波理论[1-2]，斜激波关系式为定常、绝热的平面斜激波无黏流动问题解析解。为便于激波角的求解，1953年，美国国家航空咨询委员会(National Advisory Committee for Aeronautics, NACA)Ames中心的研究人员制作出斜激波关系式图解，即通常空气动力学研究者所熟悉的θ-β-Madiagram(θ为楔形角，β为激波角，Ma为马赫数)[3]。

本文的研究起因来自Anderson所著《Fundamentals of Aerodynamics》中第9章第2节给出的θ-β-Ma图第4条规律：固定物面楔形角为20°，考查激波强度随来流马赫数的变化情况；书中给出了马赫数5.0的激波强度大于马赫数2.0的激波强度举例。此结论是正确的，但如果继续降低激波前的马赫数，激波强度是会持续下降吗？之后的研究表明，激波强度不是持续下降的，激波强度最小值出现在激波角为55°时所对应的波前马赫数1.959。 进一步研究，得到了实现总压损失率极小值控制的解析方程组，当然也是激波强度最弱条件的理论解：激波角关于楔形角的直线方程，且控制方程与马赫数和斜激波关系式都是无关的。

气体的可压缩性和声波传播速度的有限性，使激波成为自然界与人工设计超声速流中必然产生的物理现象。激波是一种气流参数梯度变化很大且极薄的流动结构，通常认为激波的厚度约为100 nm。激波结构虽然薄，但耗散性很大。它是导致飞机超声速飞行激波阻力的直接原因[4]。欧洲空客公司、德国宇航院和法国航空航天中心等科研机构的共同研究表明：对一精细设计的高速翼身组合体模型，马赫数2.0的升阻比比马赫数0.95的升阻比降低了37.21%[5]。激波强度增加是导致升阻比降低的主要原因。此外，阻碍超声速飞行的另一个重要问题是音爆问题[6-8]。激波强度仍然是决定音爆强弱的主要物理因素。定义适用的激波强度物理量，寻找激波强度控制规律，对生成高效率的超声速流是有帮助的。

激波理论计算[9-12]、实验设计[13-16]与理性分析[17-19]是空气动力学重点关注的问题。20世纪80年代，张涵信结合熵增条件建立的无波动、无自由参数耗散格式对提高激波计算分辨能力起了实质性作用[20-21]。之后，邓小刚等发展的高阶精度耗散加权紧致非线性格式在解决强激波涡量场非物理振荡问题中发挥了巨大作用[22-23]。计算格式检验会依赖于激波强度这一重要物理量。发动机超声速进气道的总压恢复系数也有赖于管流激波强度规律研究[24-27]。高效乘波体气动布局设计[28]和超声速等离子流动控制总压损失量也与激波强度规律有理论关联[29]。天文中的星际激波现象理解[30]、弱激波数学存在性原理研究[31]等问题或也可从斜激波强度规律中得到启发。此外，斜激波强度规律理论解亦有望为高精度保真计算格式验证设计检验标模[32]。更为重要的是，气流总压值是表征流体输出有用机械功能力的指标性参数，所以斜激波总压损失率极小值解析方法与效率图解或将能实现超声速流中空气动力最大有用功能力的物理极限。

本文第1节，基于法向马赫数定义和斜激波关系式，导出以法向马赫数表示的特殊斜激波关系式，分析得到斜激波总压损失率极小值控制方程。第2节，结合总压损失率极小值控制方程，以斜激波总压损失率变化规律为研究指引，生成斜激波气动效率图解。第3节，以10°楔形角为例解释斜激波等值总压损失率的双解特性。第4节，对比斜激波气动效率图解法与总压比直接图解法的研究差异。第5节，以《Fundamentals of Aerodynamics》书中斜激波关系式规律4为源，演绎应用理论方程和效率图解控制平面超声速流中的激波强度。

1 方程导出

采用法向马赫数作为斜激波强度表征量。法向马赫数定义为

(1)

式中：Ma1为激波波前马赫数；β为激波偏转角。

将式(1)中导出式代入斜激波关系式[1]，经适当三角公式代换运算(具体推导见附录A)，可得到关于激波角和楔形角的法向马赫数斜激波关系式(2)。斜激波关系式是在定常和绝热假设下、忽略(除激波内层外)气体黏性与体积力的斜激波超声速流动问题的解析解。式(2)是斜激波关系式的法向马赫数特殊表达式，其适用条件与斜激波关系式是一致的。

(2)

式中：θ为物面楔形角；γ为气体比热比。对于理想气体(无特殊说明，文中流体均为理想气体)：γ= 1.4时，θ取值范围为[0°，45.58°)。如固定θ， 由式(2)可看出：当2β-θ=90°时，式(2)左端法向马赫数将取得最小值。对斜激波而言，它是实现固定θ的最弱激波强度条件。因此，在得出最小法向马赫数的控制方程同时，也得到了实现平面斜激波最弱激波强度条件的控制方程，即

(3)

式中：βopt.为对应总压损失极小值的最优激波角。联立式(2)和式(3)，进一步可得到固定物面楔形角情况下，实现法向马赫数最小值控制的斜激波方程为

(4)

斜激波总压损失率是法向马赫数的唯一函数，且是法向马赫数的单调增函数。总压损失率公式推导和函数单调性证明见附录A。直接给出实现总压损失率极小值控制的方程组为

(5)

式中：Δp=p01-p02为斜激波前后总压损失量，p01和p02分别为激波前与激波后的总压。

2 方程图解法

2.1 总压损失率极小值图解

将总压损失率极小值控制方程式(3)绘制于斜激波θ-β-Ma图上，即可得到实现总压损失率极小的气动效率图解——θ-β-Ma图上的一条直线(固定θ的气动效率极大值)，如图1所示。

图1中，总压损失率极小值直线(红色粗实线)与强弱解分界线(点划线)，将斜激波气动效率图解分成3个部分。其中，第②部分和第③部分是与斜激波总压损失率规律直接相关的区域。区域①为斜激波强解区，总压损失率大于区域②和③，一般不独立存在。对于固定的楔形角(如θ=20°)：

1) 在区域②中，随着波前马赫数增大(沿灰色箭头向下)，斜激波总压损失率值逐渐减小，最小总压损失率直线与θ=20°的垂线交点处(黑色实三角形点)，激波总压损失率达极小值。对于给定楔形角，区域②是总压损失率值大且马赫数小的区域。从气动效率角度考虑，在设计超声速流时，不应选择总压损失大的区域②中的马赫数作设计马赫数。

2) 区域③中，沿箭头继续向下，随着马赫数增大，总压损失率值也增大。因此，若以取得最小总压损失率为目的，可定义最小总压损失率直线上的波前马赫数为最优马赫数Ma1,opt.。

特别的是，图1中标出的物面楔形角为20°时最优马赫数Ma1,opt.=1.959，是从《Fundamentals of Aerodynamics》书中马赫数5.0与2.0激波强度推论分析中发现的。将马赫数2.0减小0.041就可得到20°楔形角的最优马赫数。更重要的是，马赫数再减小，激波的总压损失率值却是增加的。

图1 斜激波气动效率θ-β-Ma图Fig.1 θ-β-Ma aerodynamic efficiency diagram for oblique shock

2.2 总压损失率极小值线上的变参分析

利用总压损失率极小值线上激波角与楔形角的线性关系式(3)，可将斜激波法向马赫数特殊形式简化为只关于楔形角或最优马赫数的函数。图2 中给出了总压损失率极小值随最优马赫数、物面楔形角，斜激波最优法向马赫数随最优马赫数、物面楔形角的变化趋势与计算公式。

图2 斜激波最小总压损失率直线上总压损失率、法向马赫数变化趋势Fig.2 Variation trends of ratio of total pressure loss and normal Mach number on the line for minimum ratio of total pressure loss by oblique shock

2.3 斜激波总压损失率三维分布图

图3 总压损失率空间分布规律θ-β-Ma*气动效率图Fig.3 Three-dimensional contour figure for ratio of total pressure loss in θ-β-Ma* frame of reference

3 Ma1与β双解特征

3.1 关于总压损失率极小值线对称的双解现象

总压损失率极小值线出现在斜激波弱解区域中间。取定物面楔形角，将导致在总压损失率极小值线两侧出现相同总压损失率值对应两组马赫数和激波角：一组大马赫数、小激波角；另一组小马赫数、大激波角。称此为关于总压损失率极小值线对称的等总压损失率值双解现象。

图1中以物面楔形角10°和20°示例双解现象。例如：10°楔形角，总压损失率值都为2.28%，红色框中为小马赫数Ma1=1.423、大激波角β=67.44° 的解；蓝色框中为大马赫数Ma1=2.438、小激波角β=32.56°的解。

3.2 10°楔形角的Ma1与β双解形成分析

式(5)表明，法向马赫数与总压损失率变化规律是相同的。相对总压损失率公式，采用法向马赫数进行双解特性分析是便利的。

图4中为法向马赫数Man1双解形成的马赫数与激波角转化关系。图4中除一对圆环(小Ma1、大β)与方格(大Ma1、小β)双解点外，还给出1#与1##、3#与3##两对双解值。需指出，图4(b) 中Man1的激波角双解关系是关于总压损失率最小的激波角为50°的完全对称形式。图4(a)中Ma1与sinβ合成Man1的过程，小Ma1、大β与大Ma1、小β都可形成相同的Man1。其机制或解释为：物理压缩(马赫数)与空间压缩(激波角)都可取得相同效果的两组解。

将斜激波法向马赫数与同值正激波马赫数对比(图5)，易知：斜激波流动参数(总压损失率Δp/p01、静温比T2/T1、静压比p2/p1、密度比ρ2/ρ1)都存在马赫数与激波角双解特性；正激波无双解特性，是单值函数。对于10°楔形角，马赫数双解区间为[1.421, 2.438]，相应激波角双解区间为[67.42°, 32.58°]；法向马赫数区间为[1.245, 1.312]。

图4 法向马赫数相同的马赫数与激波角双解形成说明图(θ=10°)Fig.4 Two-solutions properties for corresponding Mach number and shock angle at same normal Mach number (θ=10°)

图5 斜/正激波流动参数变化趋势Fig.5 Variation trends of flow parameters for oblique/normal shock

4 研究对比

考查激波总压变化规律时，以总压比作为马赫数和楔形角函数是较为自然的研究思路。Shapiro撰写的麻省理工学院经典著作《The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow (Volume 1)》也是采用总压比参数直接数值法作图[33]。根据书中图16.6b的图解(1953年版的英文原著在第538页)，对比θ-β-Ma效率图解法和总压比直接图解数据与方法。特别说明的是，图6中的红色最大总压比映射线是未在Shapiro书中予以标出的。图6中用红色虚线辅助标注出楔形角20°时，激波前后总压比，以及相应马赫数的Shapiro图解测量值。Shapiro的计算值与图1中总压损失率值是吻合的，最优马赫数值也是一致的。

图6 斜激波效率图解法与总压比数值法数据比对Fig.6 Comparison of data between oblique shock efficiency diagram solution and stagnation pressure ratio numerical method

关于研究方法，一个有趣的现象是：总压比直接图解法得到的最大总压比数值形成的几何图形为曲线，不易被察觉；而斜激波图解中得出的总压损失率极小值线是直线，容易看出。第2节中θ-β-Ma*三维总压损失率图解分析也明确指出，总压损失率函数极小值的三维空间曲线，仅在Oθβ投 影面上为直线且唯一。诸多因素也许是总压损失率极小值线长久未被发现的原因。它的得到或有种“蓦然回首、灯火阑珊”之感，但作者更愿意把“最小总压损失律”的得出归咎于气动高效率超声速飞行历史发展的必然。作者与审稿人都期待总压损失极小值控制方程与效率图解能对生成高气动效率的激波总压理论产生积极意义，尤其是对从事激波有关的高速飞行器激波最小损失外流或进、排气内流问题的研究者提供一个有益的理论启示。

5 举例应用

假设举例应用如图7所示。平面理想气体中，小明驾驶一楔形角为20°的二维飞行器进行超声速飞行。假设发动机具备提供任何飞行马赫数的推进能力。小明的问题是选择哪个飞行马赫数档位进行气动效率最优的超声速飞行。气动效率最优意味着：在消耗相同油量的条件下，最优的超声速飞行马赫数将取得最大的飞行距离。小明的操作步骤是：① 运用式(3)算出最优激波角为55°；② 利 用式(2)和式(1)算出选择最优飞行马赫数为1.959；③ 通过式(5)得出仪表盘上显示的空气动力总压利用率为89.35%。

如果还想进一步提高总压利用率，小明将运用斜激波效率图解(图1)进行飞行器楔形角设计。从气动效率考虑，小明是不会选择效率图解中区域②的马赫数进行飞行的。总压损失率相同，区域②中飞行马赫数小于区域③中飞行马赫数。区域②速度与效率都是低的。

利用相对运动原理，举例说明可直接应用于与激波强度有关的二维超声速流动问题中，可包括风洞试验条件设定或计算标准模型设计等问题研究。如：激波/附面层干扰流动问题中，通过恰当组合物面楔形角和马赫数来精确产生附面层入射激波需要的强度条件。

图7 楔形角为20°的二维飞机选取平面超声速流中最优飞行马赫数的过程Fig.7 Process of two-dimensional aircraft with 20°wedge for selecting the optimal flight Mach number in a planar supersonic flow

6 结 论

1) 发现了蕴含于斜激波关系式中的总压损失率极小值理论方程——仅为激波角和楔形角的直线方程。

2) 生成的斜激波气动效率图解便于超声速激波结构总压损失率规律的运用。

3) 解释了完全对称于总压损失率极小值线的等值总压损失率马赫数与激波角的双解特征。

致 谢

感谢Anderson教授(Andeerson教授为美国国家工程院院士，美国国家航空航天博物院空气动力学馆馆长，马里兰大学荣誉教授)分享的Shapiro教授(Shapiro教授是美国国家科学院、工程院院士，麻省理工学院荣誉教授)撰写麻省理工学院经典气动著作中20°楔形角总压比直接法图解分析与数据验证的研究思路。

感谢“可压缩空气动力学”核心课程教学团队经常对教学问题的研讨。感谢团队首席宋文萍教授2015年课程全过程跟班教学培养。正是在跟班听课中，作者再学习斜激波关系式并对气动效率问题萌生疑问。感谢2016年选课同学王东璞和李民民课上、课下对开放问题的讨论交流。

附录A

将法向马赫数Man1=Ma1sinβ代入斜激波关系式[1]，得

(A1)

(A2)

利用辅助角公式，化简式(A2)，得

(A3)

式(A3)即为法向马赫数表示的斜激波关系式。

由熵增总压比关系式得总压损失率公式为

(A4)

以Man1为自变量，对式(A4)求导，得

(A5)

由γ=1.4，Man1≥1，得(Δp/p01)′≥0；式(A4)是以Man1为自变量的单调增函数，得证。