追根求源，实现新旧知识的共建、共生、共长

柳伟

[摘要]学习是在已有知识背景之下发生的，新的认知也是建立在已有的理解和经验基础之上的。教师的教学就是让学生经历、探索知识的形成过程，在观察、分析、概括、验证等过程中得到“必然”的知识结论，并纳入已有知识体系之中，实现从“有”到“更有”的过程。在“分数除整数”的教学中充分结合数学知识生长之序和学生经验生长之势，打通新旧知识的联系，在遵循科学性的前提之下，以螺旋上升的方式呈现新知，实现新旧知识的共建、共生、共长。

[关键词]新知;旧知;联系;共建;共生;共长

[中图分类号]

G623.5

[文献标识码]A

[文章编号] 1007-9068（ 2019） 35-0065-02

数学学习，就是学生经历知识产生与形成，重走前人的数学探索之路，不断地积累数学活动经验，形成探究和创新能力，最终实现数学教育最终目的的过程。数学教学必须以知识的发生发展和认知形成的内在联系为线索，使学生充分展现经历其中的思维活动，真正参与到发现的过程中来。

“分数除以整数”是苏教版教材六年级上册的教学内容，在此之前，学生已经学习了整数除法、小数除法，对于除法的意义、计算法则有了深刻的理解与熟练的掌握。分数除以整数的计算方法与之前的除法计算法则完全不同，通过怎样的教学设计才能让学生理解并感悟“分数除整数”的意义、算理及计算方法？如何沟通分数除法与分数乘法的联系，让学生在掌握计算方法的同时更注重算理的理解？下面以“分数除以整数”的教学为例进行探讨。

【教学环节一】追根求源，从意义上建立联系，实现新旧知识的意义统一

师：有8个圆片，平均分给2个小朋友，每个小朋友分到几个？

生1：这是我们二年级学习的平均分，8÷2=4（个），就是把8个圆片平均分成2份，每个小朋友得到1份。

师：8个圆片，每个小朋友分得这些圆片的1/2，每个小朋友分到几个？这里的1/2表示什么？你能列出式子吗？

生2：这里的1/2表示把单位“1”的8个圆片平均分成二份，每位小朋友分得其中的一份，就是二分之一。要求每个小朋友分到几个，就是求8个圆片的二分之一是多少，用乘法计算。

师：第1题是我们二年级所学的平均分，第2题是我们前几天学习的求一个数的几分之凡是多少。仔细观察，这两个题目有什么相同点和不同点？

生3：一个是平均分给2个小朋友，一个是每个小朋友分得这些圆片的二分之一。

生4：这两题所列的式子不一样，一个是8÷2.一个是8×1/2，但计算的结果一样，每个小朋友都分得4个圆片。

师：两道式子的计算结果一样，如果用一个数学符号把这两道式子连接起来，你准备用什么符号？

生5：等于号。

师（板书：8÷2=4×1/2）：除了列式计算，还能画图的方法算出它们的结果。（多媒体演示过程）

师：两题的主题图完全一样，这也就说明了，平均分给2个小朋友相当于每个小朋友分得这些圆片的二分之一。如果平均分给3个小朋友，相当于什么？如果平均分给4个、5个小朋友呢？

生6：平均分给3个小朋友相当于每个小朋友分得这些圆片的三分之一…一

【评析：分数除以整数的计算法则是把除法转变为乘法后再进行计算。因此，如何帮助学生在头脑中建立乘法与除法之间的联系，弄清算理，实现算法上的自然过渡尤为重要。通过列式和计算，得到8÷2=8×1/2，学生认识到除法与乘法之间的表面联系，但他们尚不明白除法与乘法之间的意义联系。通过多媒体演示“分”的过程，学生发现平均分成2份相当于每位小朋友分得这些圆片的1/2，清晰地建立了平均分与分数之间的联系（分数的意义中最重根本的就是平均分），即把圆片平均分成若干份，相当于每个小朋友分得这些圆片的若干分之一。“以形助数，以数解形”，学生初步感到乘、除法之间的关系，就能为下一环节分数除以整数计算法则的探究提供了研究基础和知识储备。】

【教学环节二】把握本质，从算理上建立联系，实现新旧知识的算理统一

师：把4升果汁平均分给2个小朋友喝，每个小朋友喝几升？如何列式？

生1：4÷2=2（升）。

师：把4/5升果汁平均分给2个小朋友喝，每个小朋友喝几升？如何列式？

生2：4/5÷2。

师：会计算吗？画图是非常好的解决问题方式。你能通过画图得出每个小朋友喝几升吗？（教师引导学生画图表示4/5升，把1升平均分成5份，取其中的4份，即是4/5升）

生3：4/5升是4个1/5升，把4个1/5升平均分成2份，每份是2个1/5即1/5所以5/5÷2=4÷2/5=2/5（升）。

师：2是怎么来得？

生4：4÷2。

生5：我还可以把4/5升化成小数，即0.8升，0.8÷2=0.4（升），0.4升化成分數是2/5升。

师：把6/5升果汁平均分给2个小朋友喝，每个小朋友喝几升？刚才大家用不同的方法求出了结果，对分数除整数的计算方法也有了初步的认识，谁能快速算出结果？

生6：6个1/5升平均分成2份，每份是3个1/5升，即3/5升。

师：怎么列式呢？

生7：6/5÷2=6÷2/5=3/5（升）。

师：说一说分数除以整数是如何计算的。

生8：用分数的分子除以整数，所得的商做分子，分母不变。

出示练习（让学生说计算的过程）：6/7÷2;6/7÷3;6/7÷6。

师：把5/9升果汁平均分给2个小朋友喝，每个小朋友喝几升？怎么列式？如何计算？

生9：5/9÷2。（学生运用之前得出的结论解题时遇到困难，面露难色）

师：有什么问题？

生9：吾的分数是5，5除以2没法算。

师：看来刚才得到的结论还有一定的局限性。那刚才得到的结论可以在什么样的情况下使用呢？

生10：分数的分子除整数能整尽时。

师：怎么办？还得探究……

（之前得出的结论有局限性，犹如一盆凉水从天而降，但教师及时给予学生肯定，激发了学生的探究欲望）

师：怎么办？可以画图吗？能化成小数吗？还有其他的方法吗？

师：把5/9升果汁平均分给两个小朋友喝，其实相当于——

生11：相当于每个小朋友喝了这些果汁的1/2，也就是5/9升的1/2，5/9升果汁平均分给2个小朋友喝，相当于每个小朋友喝5/9升果汁的1/2，即5/9÷2=5/9×1/2。

（回顾课始的分圆片问题，引导学生总结分数除以整数的计算法则）

【评析：此环节的切人点是除法中的平均分与分数意义中的平均分的完全统一，即把一个量平均分成若干份，求每一份是多少相当于求这个量的若干份之一是多少。教学从画图人手，学生在观察、分析、总结、概括等过程中初步得到分数除以整数的算法（特例），验证时发现计算法则存在缺陷，再次进行探究。】

【教后反思】

分数除以整数的计算在小学阶段比较简单，计算难度与复杂度远远小于两位数以上的整數除法与小数除法。如何让学生理解分数除以整数计算的算理，让学生经历探索计算法则的过程，从而积累数学活动经验，是教师必须思考的。

教学过程中，从平均分中的除法到求一个数的几分之一是多少（乘法）的统一，教师一步一步引导学生操作、观察，再进行比较、分析、综合，在充分感知的基础上加以概括，从而进行简单的推理和判断，经历从具体到抽象、从特殊到一般的归纳过程，最后实现了算理与算法的相辅相成，提升了学生的运算能力。

基于教学内容的特点，挖掘分数除以整数中数与形的关系，利用“形”的手段把数量关系中的几何特征形象地表示出来，并通过对图形的处理，实现抽象运算与直观表象的联系和转化，进而使问题得到解决。通过图形，把“抽象的运算”变成“可以操作的流程”，分数除以整数的计算法则以动态、直观的形式呈现在学生面前，直达计算法则的本质和核心。当学生用初步得出的结论不能解决所有的数学问题时，教师又适时引导学生回到抽象的数量关系上——除法中平均分与求一个数的几分之一的完美统一上，从抽象数量关系中最终获得分数除以整数的计算法则。最后借助图形引导学生深层次理解分数除以整数的计算法则，使学生在算理与算法程序和步骤之间建立起合乎逻辑的关联。

综上，在教学中充分结合数学知识生长之序和学生经验生长之势，打通新旧知识的联系，并在遵循科学性的前提之下，以螺旋上升的方式呈现，新知就能帮助学生实现新旧知识的共建、共生、共长。

（责编金铃）