初中HPM课例的分布整理与教学实施

张才宝 刘洪超

【摘 要】 以苏科版教材《义务教育教科书·数学》为例，整理分析“数学史”的分布情况，取析各类史料的素养成分，提出了基于数学思考、问题解决和知识关联目标维度，落地生根数学史的具体育人功能.通过抽象、推理和建模等理性行为，发展学生的“三个世界”能力，有助于学生“学好数学”.

【关键词】  数学史;分布分析;教学实施;课例研究

《吕氏春秋·慎大览第三》中《察今》一文说：察今则可以知古.就数学而言，反其义亦为真.知古亦可察今，以古察今，以所见知所不见.H.Poincare 更说[1]：要想预知数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状.事实上，数学史与数学教学关系国际研究小组（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy Mathematics）的成立[2]，就标志着数学史的教学实施成为有价值的实践命题.然而，因主客观教学条件的限制，常态数学课堂使用数学史的不多见.如何将学术形态的数学史转化为教育形态，发挥数学史潜在的育人功能，亟待解决，初中数学史的教学实施意义重大.

1  苏科版“数学史”课例的分布与整理

“数学史”作为数学教育的重要组成部分，是发展学生核心素养的重要载体，承载着传承数学文化的功能，有助于学科育人功能的潜在发挥.为了引领广大教师更好地传承数学史的教育功能，帮助学生形成数学自信产生式系统，笔者对苏科版教材中的数学史料，进行了有序有向的整理与分析（具体见表1，本期第17页）.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011版）》）在第四部分“实施建议”中，开篇指出，创造性使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材，有效地实施差异教育，使每个学生得到充分发展.为此，数学史的整理与实施尤为必要.这样，一方面是通过数学史教育，让学生获得可能的基础知识和基本技能，形成数学自觉能力;另一方面是运用历史的思维方式，增强学生发现与提出问题，形成数学审美与批评思维等数学素养.

2  初中数学史课例的顶层设计与教学实施

初中段学生的数学核心素养主要成分是抽象、推理和建模，就这一认识来说，使用数学史的目的不止于知识目标，更在于数学文化品格的养成，及其背后核心素养的缓存.有如《课标（2011版）》强调的那样，数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中.教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用，以及数学发展史的有关材料，形成数学史知识产生式，有助于“学好数学”.

在初中段，限于学生的认知现实和数学事实以及教学时空的规约条件，笔者认为基于数学思考、问题解决和数学关联目标维度，落地数学史的常态教育功能更为可靠，通過抽象、推理和建模等理性思维行为，有助于提高数学史的教育价值，发展学生数学品格.

2.1 抽象行为，将数学史的“学术性”转化为“教育性”，促进数学思考的发生

在数学史应用范畴，抽象特指舍去数学史料的一切物理属性，得到数学史研究对象的辩证思维过程.具体包括，史料的数量关系抽象、史料的图形关系抽象以及史料的结构关系抽象，并形成数学史的符号意识和表征系统，进而建立一种内在的数学自觉.当然，抽象作为数学史设计实施的通用技术，一方面承担数学史教学的工具作用，另一方面对数学思考目标的达成起着不可替代的作用.换句话说，就是从数学史的角度研究概念，有助于概念产生式形成，或者把概念放在数学史范畴学习，有助于数学思考目标的上位实现.毋容置疑，任何一种概念教学法，都能部分地、不同层次地实现数学思考目标，但是不用历史的观点去抽象概念，概念的理解是零散的、片面的、甚至是非本质的.因此抽象是将数学史的学术形态转化为教育形态的根本途径.

具体到课堂层面来说，数学史的抽象行为表现在三个方面：一是情境性抽象;二是问题抽象（可归结到问题解决范畴，鸡兔同笼问题）;三是相似性抽象（可归结到规律层面，达芬奇密码）.就大尺度教学来说，所有的章头课或概念起始课都属于情境性抽象，只不过有的情境不带有明显的历史色彩;有的情境“身着历史的正装”迎面走来，带有强烈的历史气息，需要抽象方能剔除概念的非本质属性，把握概念的本质特征.一般情况下，数学基本事实，就不带有鲜明的历史特征，而是一种科学的约定俗成;数学概念、规则、规律以及公式常常打上历史的烙印，数系的不断扩充就是数学史得以发展的一个例子.

不妨以“金字塔”这一情境史料的学术性，转化为教育形态的应用过程为例，说明数学史支配着数学思考目标的层次，促进数学自信精神形成的作用.在七年级《数学》上册课本中的第22页，呈现的“金字塔”，目的是让学生在观察的基础上，建立三角形的基本形象，即“△”.当然，小学高年级学生已经认识了“现象属性”的三角形，但是还没有上升到概念的高度.为此四棱锥形状的“金字塔”，可以让学生直观地抽象出三角形，并给出描述性定义以及符号化，有如△ABC.在使用过程中要注意以下三个方面，方能形成知识产生式.一是让学生指出实物名称，以及历史意义，可由学生介绍金字塔相关的历史知识，引发图形的历史属性;二是指出该实物中涵盖三角形的个数、三角形面积之间的关系以及三角形的“形象视差”;三是让学生在抽象的基础上，画出“抽象”得到的三角形，并名称化.这样对三角形历史性概念的认识方式，就是将数学史的“学术性”转化为“教育性”的常见方法.

2.2 推理行为，将数学史的“静态性”转化为“动态性”，促进问题解决的定向

在数学史教育范畴，推理是从一些数学史实或一类数学史命题出发，依据逻辑法则推出一个新命题的过程.主要涵盖运算推理、统计推理、合情推理和演绎推理、以及逆向思维推理和反例推理等，其中在数学史教学观念下，运算推理和合情推理的数学史学素养丰富.埃及数学中有一个精神数学层面的例子具有一定的启发性，即莱茵德纸草书中第79题：7座房，49只猫，343只老鼠，2401棵麦穗，16807赫卡特（注：古代埃及的容量单位）.不证自明，这个数学史命题不是实际应用中的问题，而是一类数字层面的、有规律的、纯粹的数学题目.有人认证，“这是带有游戏性质的几何级数求和问题”[3].用中国人的数学史观念看，就是一种运算推理，或许古埃及人并没有意识到获取7n的思维过程就是数学推理，但至少说明一点，那就是推理行为能将数学史的“静态性”转化为“动态性”，能将“休眠的知识”转化为“鲜活的知识”.因此，数学史渗透在知识学习背后，隐藏在问题解决中，需要化静为动、归纳提炼，尤其是反例推理、逆向推理、图形推理都是动态性数学史融入课堂教学的常见方式.

在《课标（2011版）》看来，推理是数学的基本思维方式，涵盖合情与演绎两种形式，前者用于探索思路、发现结论;后者用于证明结论.在数学史认知范畴，合情推理是从已有的数学史实出发，凭借史实经验和史实直觉，通过归纳和类比以及转化等推断出某类数学史的本质结果.为此，在应用数学史的过程中需要做好三个层面的推理工作：一是用好运算推理，让学生形成科学的算理能力;二是用好“反例”教学，让学生养成提出问题习惯;三是用好合情推理，让学生获得一些解决问题的基本方法，形成数学史思维方式，这才是数学理性发展的正确道路，有助于提高数学史的育人价值.

不妨以“1955年希腊邮票”的主图作为“发现勾股定理”的一个思想承担载体，说明合情推理、运算推理是数学史得以开发、应用的不可替代性，既显化一种基本套路，又定向了问题解决目标.具体应用相关数学史的思维程序如下：首先是呈现这枚邮票的主图，让学生在观察思考的基础上，交流各自的猜想与相关发现，并写出可能的结论;其次是让学生在方格纸中任意画一个直角三角形，并以该直角三角形的三边为边，向外作正方形，利用“割补法”，在计算正方形面积的基础上，获取直角三角形三边之间的数量关系（在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方）;最后是让学生在足够大的方格纸上，任意画一个锐角三角形和钝角三角形，并分别以它们的三边为边，分别向外作正方形，猜想并证实各自三边之间的数量关系（在锐角三角形中，较短两边的平方和大于最长边的平方;在钝角三角形中，较短两边的平方和小于最长边的平方）.如果说，这里的“面积法”就是一种运算推理，那么研究“锐角三角形和钝角三角形三边之间的关系”就是一种大尺度的反例推理，则“割补法”本身就是一种合情推理行为，终于勾股定理的猜想与发现目标的实现.因此，数学史的价值不止于通过推理获取知识，更在于逻辑推理背后的数学史思维的建立.

2.3 建模行为，将数学史的“冰冷性”转化为“火热性”，促进知识关联的定位

在数学史教学范畴，建模本身就是一种数学文化，一种对知识的关联与思考，带有方法体系的历史特征，是数学史得以利用的重要途径，能促进数学关联的内部规定性和外部联系.这里主要涉及数学内部关系的历史性关联（表1中的数学史“方程的解法”“韦达定理”等）和数学与外部世界的关联（表1中的数学史“我能撬动地球”“沙漏计时器”等）.正如《课标（2011版）》指出的那样，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程.就这一理解来说，课本中的数学史课例其本身就是很好的建模材料，这种建模涵盖两个思想侧面，一方面是数学史的应用建模，像“折竹问题”“引葭赴岸问题”就是一类带有普遍性的例子;另一方面是创新使用数学史建模，像“分式游戏”“九宫图与杨辉三角”就是“算术思维”过渡到“代数思维”建模创新的例子.也就是说，在认知、应用、创新的基础上，发展学生的数学史料建模素养和创新品格，有助于数学知识关联目标的定位，有助于数学史教学“器识”（知识）的落地.正如希尔伯特在《数学问题》中强调的那样，数学科学是一个不可分割的整体，它的主要生命力在于各部分之间的联系，在于让学生在联系中，将“冰冷美丽”转化为“火热思考”.

就数学史的建模形态来说，一方面是有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的历史现象，解决现实世界中的历史问题，像“图形的密铺”就是一个可靠的例子;另一方面，认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的数学史问题，这些问题抽象成数学问题，用数学的建模方法予以解决，像“出身不正的概率”就是一个典型的例子.这和著名的史学家波耶的观念一脉相承，那就是如今很多数学课题，最初都是人们集中思考数、量、形等概念所带来的产物.为此文[4]从数学史料建模的角度指出，从事例的角度看数学，应该引导学生发现“等于”，并且和学生一起，找出“等于”的本质，那就是事物之间满足反身性、对称性、传递性的一种关系.在推广的基础上，就形成了“等价类”的概念.为此，数学史教育观念下，建模关联应该表现在三个维度：一是将冰冷的数学史料转化为思考形态的方程思想;二是将冰冷的图形史料转化为思考形态的函数思想;三是将数学史图片语言转化为符号思想.

不妨以著名的“鸡兔同笼”问题为数学史建模的一个清样，说明建模过程是如何用好史料，如何定位关联和揭示模型特征的.具体建模行为及其史料的思考形态转化过程如下：首先是让学生在观察图片的基礎上，将“数学史文本”转译为“现代数学文本”;其次，让学生将“算术思维”转化为代数思维;再次让学生建立等号，也就建立等量关系，并寻求方法的多样性，可以用“一元一次方程”解决，也可以用“二元一次方程组”来解决，体现数学内部关联的本质;最后是让学生寻找确立教材中的类同问题（“驴骡驮货”问题等），并用方程模型解决，终于方程思想的发展和关联目标的“合法”定性.就大尺度数学史教学来说，观察图片抽象特征的过程，就是就绪图片语言转化为符号语言的思考形态;在转译分析的基础上，“提炼文本数量关系+确立等号”的过程就是一种函数行为;建立方程、求解、验证与解释就是火热思考的数学史教育，有助于学生自觉数学行为的养成和建模能力的发展.

3  后续思考

抽象、推理和模型是数学的三种基本思想，贯穿在数学核心素养教育的字里行间.就数学史教育的表现形态来看，抽象就是用数学史的眼光来观察世界，推理就是用数学史的思维来思考世界，模型就是用数学史的语言来描述世界.这就在一定层面强调了“文化的继承与创新统一”[5]的数学教育属性.也就是说，数学史教学实施，既是一种数学育人形态的转变，也是发展学生核心素养的通用技术，具体认识思考如下.

关于用数学史的眼光观察世界.就是通过数学抽象，把外部世界的丰富史料与数学有关的数量关系、图形关系抽象到数学史教育形态内部，形成数学史的研究对象.有如从古埃及的“金字塔”抽象出“三角形”这一研究对象，进而成为“认识三角形”的思维起点，有助于数学抽象这一核心素养的发展和缓存，促进了数学思考目标的实现.

关于用数学史的思维思考世界.也就是通过逻辑推理，得到数学史实层面的基本命题和计算方法，促进数学历史内部关系的转化和联结.有如“反例”的使用就能否定一个命题的正确性，这就是一种大尺度运算推理.再如著名的“合情割补法”，让那枚“1955年希腊邮票”具有纪念意义，甚至价值连城，这就是最好的史学教育形态，反哺了问题解决能力.

关于用数学史的语言表征世界.就是通过数学史模型，创造出具有表象力的数学史语言特征，表征数学与外部世界的历史性思维桥梁.有如“鸡兔同笼”问题的使用与关联，能让学生感知方程思想“并不难”，这就是用好数学史的经典例证，形成了数学认知产生式.

参考文献

[1] 徐利治.数学方法论十二讲[M].大连：大连理工大学出版社，2012：246.

[2] 郭宗雨，何睦.数学教学中如何运用数学史[J].中学数学教学参考，2017（6）：66-70.

[3] 宁锐，张红.数学史对民族数学及其教育发展的启示[J].数学教育学报，2017（4）：87-91.

[4] 顾沛.数学的美在于数学思想深刻之美[J].数学教育学报，2011（4）：9.

[5] 胡定荣.学生发展核心素养的发展观及其教学变革[J].课程·教材·教法，2017（10）：56-62.