《三次函数的图象》教学案例设计

于厚刚

（深圳市第二高级中学，广东 深圳 518000）

一、任务分析

本片断是人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2第一章1.3.3节习题1.3，B组第2题.要求学生利用信息技术研究三次函数的图象，完成两个任务：1.归纳三次函数图象的大致形状；2.研究三次函数的单调性.

本习题放在1.3节后，学生已掌握用导数研究函数的单调性、极值、最值的方法。三次函数具有丰富的性质，利用导数研究这些性质，其研究的过程和方法具有普适性、一般性和有效性，可以迁移到其他函数的研究中.

特别在高考中有明确要求，会求三次多项式函数的单调区间、极值、最值，三次函数的考查和应用也非常广泛。

本课学习是以三次函数的图象的形状特征为主线，探索三次函数的单调性、极值。其中需要学生自己确定研究的问题，构建研究的思路，设计研究的方法，获得三次函数的图象与性质，在此过程中，体会数形结合、分类与整合、化归与转化等思想方法。

二、教学目标

1.会用图形计算器画三次函数的图象，并根据单调性归纳出三次函数的四种类型。

2.能运用导数研究三次函数的单调性和极值，并在这一过程中进一步理解导数思想，巩固用导数研究函数性质的方法。

3.理解系数对四种类型的三次函数图象的影响。

重点：在研究三次函数性质的过程中，进一步理解导数思想，巩固用导数研究函数性质的方法。

难点：确立研究思路，确定分类标准，理解系数对三次函数图象的影响。

三、学生学情分析

学生已经学习完导数的知识，对用导数研究函数性质的方法有了基本认识。但研究一类函数的图象与性质还是比较复杂，不仅需要调动二次函数、导数等广泛的知识，还需要有清晰的研究思路和分类标准，本节课对学生的知识、能力有较高的要求。

四、教学方法

（一）实验探究法

这道习题第1问要求学生通过信息技术画图后归纳函数图象的形状，估计单调区间，第2问才让学生运用导数研究它的单调性。这是典型的实验探究法。先动手试、找规律，再动脑想原因。本节课就遵循这道题的意图，让学生在自主活动的基础上进行思考、领悟、纠错、生成。

（二）应用现代教育技术

三次函数学生比较陌生，所以这道习题提出让学生利用信息技术研究三次函数，本节课采用图形计算器这一工具，先让学生对三次函数有直观认识。

1.搭建无线网络平台，实现学生活动的实时上传与共享。借助图形计算器创造一个及时反馈互动的平台。

2.利用图形计算器的“图形”功能，快速绘制函数图象，图形计算器的“几何”功能中，可以通过描出五个关键点就能画出一个抛物线，让学生可以凭直观感觉画导函数的形状，并通过“函数”“求导”功能，对画出的导函数进行验证。

五、教学过程

先让学生推测出系数d对函数的单调性无影响，再让学生根据a，b，c的取值分组用图形计算器画的图象，教师通过无线网络平台展示同学们画出的图象。

设计意图：让学生利用图形计算器对三次函数的图象有直观认识。根据a，b，c的取值分组画图象只是为了图象尽可能多样化，并不是分类标准。

选取典型的图象让学生回答图象的单调性，并思考如何将三次函数按单调性分类，并回答单调区间。

设计意图：根据直观分类，说单调区间时需要用到极值点，引出用导数研究三次函数的单调性和极值。

学生先用图形计算器的“几何”功能描点画导函数的图象，在画的过程中思考关键点，能说明自己这样画的理由，再用图形计算器画出导函数图象验证自己的想法。最后归纳每一类三次函数的系数特征。

设计意图：学生在描点的过程中体会函数的极值点是导函数的零点，根据原函数的单调性定导函数的正负，再根据二次函数的图象特征就容易想到用a与Δ作为分类标准。

思考：存在只有一个极值点的三次函数吗？

设计意图：通过这个问题让学生反思刚才对三次函数的归类是否完整。

3.活动三：习题解答

（1）归纳函数图象的大致形状

（2）求出相应的单调区间

设计意图：通过解答习题对本片断内容进行总结归纳。