资产价格序列分析中的随机扰动探究

陈金林 张学谦

摘要：随机扰动在资产价格序列分析中具有特别重要的作用，区分其表现形式和性质不管在理论上还是在实践中都具有较大的意义。本文通过分析稳定的和非稳定的价格序列中随机扰动的作用，发现其在不同状态中的形式和性质各有特点。特别是，随机扰动在随机趋势价格序列中具有的表现，使得随机趋势与确定性趋势在图形上很形似，但是统计性质非常不同。随机扰动的作用在一定程度上影响了我们对随机趋势和确定性趋势的有效区别。

Abstract： Random perturbations play a particularly important role in the analysis of asset price sequences. It is of great significance to distinguish their manifestations and properties， both in theory and in practice. This paper analyzes the effects of random perturbations in stable and unstable price series and finds that their forms and properties have different characteristics in different states. In particular， the performance of random perturbations in a series of stochastic trend prices makes the stochastic trend and the deterministic trend very similar in graphics， but the statistical properties are very different. The effect of random perturbations has affected our effective distinction between random and deterministic trends to a certain extent.

关键词：随机扰动;确定趋势;随机趋势;短暂冲击;持久影响

Key words： random perturbation;determined trend;random trend;short-term impact;lasting impact

中图分类号：F01                                            文獻标识码：A                                  文章编号：1006-4311（2019）36-0269-03

1  引言和文献综述

自资产价格出现那一刻起，人们就没有停止过对其研究，它是较早被人们进行实证分析的经济变量之一。从已有的文献看，一般是通过资产价格序列进行的。这种序列最显著的特征有两点：其一，与“时间”紧密相关，序列按照时间自然排序。其二，随着时间的变化，价格序列相互之间可能存在相关性，展示出各种各样的动态路径。价格间可能存在的动态关系表明即期价格的变化，会对未来一期或者多期的变量本身或者其他变量产生影响。

分析价格序列的文献非常多，通常用确定性模型来描述价格序列或者其收益率。有一个共同的特点是，在确定性模型后面引入随机扰动，这也是几乎有的回归模型共有的。高铁梅等（2016）认为，人们解释随机扰动的出现归于以下几个原因，主要是无论模型如何复杂，也不能将对因变量产生影响的所有因素都找到合适的解释变量包含到模型中。同时，测量误差也是随机扰动项所包含的另外一个因素。因此，在实证研究中，利用统计数据准确度量经济指标以完全表达经济理论中定义的变量是很困难的。①这应该表达了大多数学者的看法，毕竟建立的模型不可能是完美的。李子奈和李鲲鹏（2009）指出，引入随机扰动，并不是为了掩盖确定性模型的不足之处。如果未被解释的随机扰动并不是真正的不能解释的因素，模型就是不适当的。引入随机因素后，对预期结果的描述从确切的表述转化为可能性的描述，除非有占优证据，要不很难否定随机模型。②这从模型本身的准确性方面指出了随机扰动引入的必要性。

我们认为，在任何实证模型分析中引入随机扰动是非常重要的。随机扰动不是掩盖模型不足的遮羞布，而是模型重要的组成部分。本文论述了随机扰动在资产价格序列分析中具有特别重要的作用，发现区分其表现形式和性质不管在理论上还是在实践中都具有重要意义。

2  随机扰动和价格序列模型

考虑到时间域T内价格变化的影响通常不是瞬间产生的，因此，对于稳定序列，我们用下面式（1）描述价格序列。（1）

我们对资产价格序列{yt}定义：被解释变量yt是被解释变量n期滞后值的函数。式中，f（·）用来表示任意的一般函数，？啄是常数，？着t是一个随机扰动过程。

Cramer在1961年证明任何一个时间序列都可以分解为两部分的叠加：其中一部分是由多项式决定的确定性趋势部分;另一部分是平稳的零均值部分。因此我们可以理解回归分析的本质在于，被解释变量yt可以被分解为两个部分：有规律的部分和随机扰动部分。对于式（1）而言，yt的有规律的部分的均值是

式（2）本身并不是随机的，因为它是一个数学期望值。

yt的随机扰动部分是：？着t，其表达式设定为：

我们整理式（3），可以得到如下回归模型：

被解释变量yt可以用n个滞后量作为解释变量的部分和随机扰动部分？着t来解释。

数值上由式（3）表明，yt和隨机扰动部分？着t只相差非随机扰动部分即均值部分给定随机项的期望值为：

即，给定yt的滞后值，随机扰动部分的均值为0。

由于yt和？着t之间仅差一个均值（即一个非随机的因素），则

就是说，yt和？着t具有相同的方差。因此，除了因为均值不同而引起位置不同之外，yt和？着t的概率密度是相同的。

如上所述，对一个资产价格序列，总存在式（1）这样的模型描述它。虽然现阶段我们可能找不到它，但是并不能否认其存在。由的非随机性，随机扰动项？着t是我们认识价格序列的关键变量。

3  随机扰动的形式和性质

人们通过研究，发现在时间域T内，价格序列的表现形式大致有两种：一种情况，价格序列是平稳的。价格可能是常数，或者价格统计上是平稳的。一种情况，价格序列是非平稳的，显示出随时间增长的趋势，可能具有确定性趋势，或者具有随机趋势。

①价格序列平稳时，如果价格为常数c，表示在时间域T内不发生任何变化。随机扰动项的均值为0，其方差也是0。任何冲击或者新息都不会对价格产生影响。由于下列等式成立：

②如果价格序列在统计上是平稳的，根据式（1）则有下列等式成立。

就是说，序列的均值与随机扰动项的均值只相差一个常数？滋。对平稳序列而言随机扰动之间的协方差为0，就是随机扰动项为有限方差。则

因此有

且{？着t}独立同分布，

人们通常用下面的非齐次随机一阶差分方程来表示稳定的价格序列。

其中非齐次部分？啄+？着t由常数？啄和纯随机扰动过程？着t构成。给定初始值y0，再通过对随机一阶差分方程的逐次替代，在一段有限的、较长的时间后，我们得到下式

其中， {yt}与时间相关的成分消失了。因此有

因应用几何级数的求和公式得到常数方差

同理可得

由上可以看出，随机扰动是描述价格波动的最主要的因素，在稳定的价格序列的分析中有着举足轻重的作用，并不是模型中可有可无或者任意引入的变量。

当式（1）描述的是平稳价格序列中的随机扰动项的表现形式和特点时，集合{？着t}的数值之间没有任何相关性，是一个纯随机扰动的、没有任何记忆的序列，过去的行为对将来的扰动项的影响非常有限。它是我们进一步分析非平稳序列的基础。

③当价格序列的数据生成过程为非平稳的确定性趋势过程中时，式（1）由确定性趋势

和平稳随机扰动过程？着t组成。由于价格序列仅仅代表其随机过程的一次实现，因此我们仅能分析处理一些特殊形式的非平稳过程。假设序列的均值是时间t的函数。{yt}由确定性时间趋势t所主导，并主导均值的变化。均值不再为常数，而是和有时间有关的一个数值。式（1）可以变为

其中，ut是一个稳定的随机扰动过程。根据式（5），我们得到

可知随机扰动项是均值为0，有限方差为？滓2的稳定过程，并且{ut}非独立同分布。由于该过程的方差为常数，因此其实现值围绕确定性趋势的幅度为有限值。随机扰动项的冲击只有暂时性效果，不会改变确定性趋势的方向。

我们也可以设定为以下较为熟悉的趋势稳定过程

其中，rt表示了时间序列{yt}中的确定性趋势。随机扰动项的表现形式、作用和性质相同。

④如果价格序列的生成过程为非稳定的随机趋势过程，式（1）可以变为如下形式

其中ut为稳定的随机扰动过程。给定初始值y0，由式（7）对yt不断向后迭代，可得

除开yt的一阶矩与随机扰动无关外，其二阶矩为

在非稳定的随机趋势过程中，当≠0时，其均值与确定性趋势的变化相同，均跟随时间的变化而变化，不再为常数。不过它的非平稳性主要来自依赖于时间的方差和协方差。当？啄=0时，E[yt]=0，随机趋势过程是均值平稳的，但是其与平稳过程围绕均值波动不同，由于随机扰动项的作用的不同，非平稳过程基本不会出现均值的回归。

同时，yt的表现受确定性趋势（y0+？啄t）和随机扰动趋势∑ui这两个非平稳成分的影响。在随机扰动趋势∑ui中，每个ui冲击都将对yt的均值产生持久的影响。冲击或新息是解释价格序列中短期及其长期变化的一个显著部分。

4  结论

在不稳定的价格序列分析中，我们已经知道随机扰动的表现形式和特点有很大的不同。在确定性趋势中，随机扰动所产生的冲击或新息的影响是短暂的，对长期趋势没有影响。在随机趋势中，价格数据的生成过程从本质上来讲是纯随机的，每个随机扰动形成的冲击或新息对价格序列产生持久的效应。在稳定的价格序列中，随机扰动的作用是有限的，这和不稳定的具有确定趋势中的随机扰动的作用相似。

但是确定趋势的价格序列和随机趋势的价格序列从图形上看很相似，尽管都含有确定性的时间趋势，但是它们有非常不同的统计性质，尤其随机扰动的表现形式很不相同，在资产价格上的应用也不一样，区分价格序列分析中的随机扰动在理论上和实践上都具有重要意义。

注释：

①高铁梅，等。计量经济分析方法与建模：Eviews应用及实例（第3版）[M].北京：清华大学出版社，2016（69-70）。

②李子奈，李鲲鹏.关于计量经济学模型随机扰动项的讨论[J].统计研究，2009（2）：63。

参考文献：

[1][德]盖哈德·克西盖思纳等.现代时间序列分析导论[M].二版.北京：中国人民大学出版社，2015.

[2][美]卡特·希尔，等.计量经济学原理[M].四版.大连：东北财经大学出版社，2015.

[3][英]陆懋祖.高级时间序列经济计量学[M].北京：北京大学出版社，2015.

[4][美]沃尔特·恩德斯.应用计量经济学：时间序列分析[M].四版.北京：机械工业出版社，2017.

[5]张成思.金融计量学：时间序列分析视角[M].二版.北京：中国人民大学出版社，2016.