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奇妙的勾股数

2019-01-11文陈寿来

初中生世界 2019年42期
关键词:公因数太仓市正整数

文陈寿来

(作者单位:江苏省太仓市第一中学)

3、4、5是一组有趣的数字:32+42=52。5、12、13 也是同样的关系:52+122=132。还有8、15、17,82+152=172。这样一组三个正整数a、b、c,满足a2+b2=c2这个关系,叫作勾股数,也叫“毕氏三元数”。

据考证,远在公元前1800年,古巴比伦人已经发现了若干组勾股数。中国历史上的《周髀算经》(成书于公元前500年左右)记载,远在公元前1100年,西周时代的数学家商高也已经观察到(3,4,5)是一组勾股数的例子。

从形的角度,我们已经知道如果一组勾股数作为一个三角形的三条边,那么这就一定是个“完美”的直角三角形。从数的角度,我们知道一组勾股数(a,b,c)一定满足a2+b2=c2。除了这些,从数的角度看,勾股数还有哪些奇妙的地方呢?

首先,如果(a,b,c)是一组勾股数,把a、b、c都乘上一个正整数,当然(ka,kb,kc)也是一组勾股数。例如(3,4,5)是一组勾股数,(6,8,10)(30,40,50)也是。根据这个结论,我们会发现勾股数肯定有无数组。

让我们排除这种延伸,规定a、b、c中任何两个数字都是互质的,就是在正整数范围内,任何两个数除了1以外没有公因数。那么还有多少组勾股数呢?答案还是无穷的。远在古希腊时期,数学家欧几里得就已经得出了这个结论。在这个前提下,还有哪些有趣而且似乎让人意料不到的结论呢?

1.在a、b、c中,a和b一个是奇数、一个是偶数。

2.在a、b、c中,c一定是奇数。

3.在a、b中,有且只有一个数字能被3整除。

4.在a、b中,有且只有一个数字能被4整除。

5.在a、b、c中,有且只有一个数字能被5整除。

6.在a、b、a+b、a-b中,有且只有一个数字能被7整除。例如在(3,4,5)中,3+4=7,能被7整除;在(8,15,17)中,15-8=7,能被7整除。

7.在a+c、b+c、c-a、c-b中,有且只有一个数字能被8整除,有且只有一个数字能被9整除。例如在(3,4,5)中,3+5=8,能被8整除;4+5=9,能被9整除。

8.c本身也一定是两个正整数平方的和。例如在(3,4,5)中,5=12+22;在(8,15,17)中,17=12+42。

9.在 a、b、c中,最多只有一个数字是完全平方数。例如在(3,4,5)中,4是2的平方;在(8,15,17)中,没有一个是完全平方数。

其实勾股数还有很多奇妙的地方,有兴趣的同学可以自己去发现哦!

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