基于中学数学核心概念的教学尝试

江苏省南京市第十三中学 袁 云

数学概念是反映现实世界的空间形式与数量关系本质属性的思维形式，一种是直接从实物的空间形式和数量关系反映得来，如几何中的点、线、面等，算术中的自然数等。二是在原有的数学概念的基础上，经过多层次的概括而形成。依据《普通中学数学课程标准》，要注意以下两点：第一，基本概念和基本方法的理解和掌握。新课程要求“对一些核心概念和基本思想要贯穿中学教学的始终，帮助学生逐步加深理解”，新课程的实施关注“核心概念”，并要求“贯穿始终”。第二，注重联系，提高对数学整体的认识。要求“教学应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力”。说明教学中以核心概念为载体，将中学数学内容串联起来，使学生获得的知识更加具有系统性、广泛性。

数学概念确有核心与非核心之分。例如，函数与函数的定义域这两个数学概念，一个具有奠基性意义，另一个只是一类数学对象的约定俗称，两者的内涵和外延相去甚远。若把内涵丰富的概念简单化处理，则造成概念理解不到位；若把简单的概念复杂化，则造成学生的负担。中学数学核心概念指中学数学概念主要的中心部分，是数学课程中的主要概念，是数学知识结构中的联结点，由其反映的数学思想方法是联系数学知识的纽带，其他概念或由它生成或与它密切联系的概念。对于数学核心概念的辨别主要几个标准：第一，概念是否具有重要性，处于主干地位。第二，对于学生的数学认知结构而言，是否具有重要性、不可或缺的基础地位。第三，在数学上是否具有逻辑的连贯性和一致性，概念与其他概念之间的关联程度及其在相关数学内容中贯穿程度。对于学生而言，理清核心与非核心概念之间的联系，能较好地把握数学知识之间的发展脉络，在概念的发生发展的过程中挖掘其中所蕴含的数学思想方法。

例如，对于椭圆的教学延续圆的研究顺序，“定义-方程-性质”。类比圆的定义，由平面内到一个定点距离为定长的动点轨迹到平面内到两个定点距离之和为定值（强调定值要求）的动点轨迹。联系都与到定点距离有关，而且动点满足的条件都确定，所以都可以用直接法，通过“建系-设点-列式-化简”得到轨迹方程。在研究几何性质过程中，类比圆怎样研究和研究什么。首先通过观察图形直观感受，得到结论，再从方程的角度进行验证，也体现了数形结合的思想。之后研究其他方面，椭圆之所以是椭圆而不是圆，源于形状，一样是椭圆又分大小，同一个椭圆位置不一样也不同，进而从大小、位置、形状三个角度研究。

角度一：椭圆位置的确定。类比圆，圆的位置通过圆心的位置确定。椭圆则可以通过焦点的位置确定；二是交点（椭圆与坐标轴的交点），进而给出顶点定义，并且利用方程给出坐标，解释顶点的含义。同时提出两者都可以确定位置，两者之间必然有联系。如果给定四个顶点怎么找焦点，学生利用找出特征三角形，确定了焦点的位置。同时也合理地解释了在求标准方程时，利用进行化简的合理性和必要性，一并指出a，b，c的几何意义。

角度二：椭圆的大小限制因素。类比圆，圆的大小可以通过半径确定，圆的大小受到外切正方形的限制。从方程角度验证出x，y的范围。推广到椭圆的顶点不仅确定了椭圆的位置，同时还限制了椭圆的大小，椭圆的大小受外切矩形的限制。接着从代数的角度论证，把顶点的限制转化为坐标的限制，利用方程，移项求出x，y的范围。

角度三：椭圆的形状特点。观察：类比圆具有对称性，即是中心对称又是轴对称。从代数角度验证：对于椭圆上任意一点，写出关于中心或轴的对称点，代入方程验证，满足方程则对称，不满足不对称。二是椭圆的扁平程度的影响因素。学生首先想到a，b，若a定b变大，则圆一些，若b定a变小，则圆一些，若两者都变，比值不变，则形状不变，只改变大小，比值变大则圆一些。接着提出：b是后来引进的，能否由a，c 的关系确定椭圆的扁平呢？发现三者之间的联系：，比值越大越扁。同时，引入离心率的概念确定a后，c越大，焦点距离中心位置越远，椭圆越扁。

在学习完圆的知识，类比研究椭圆延续了学习的连贯性，接着研究双曲线、抛物线也是一脉相承，首先是研究顺序：定义—方程—性质。研究方法：观察-概括-验证。既注重研究方法的一致性，又注意两者之间的区别，使得后续的教学变得非常轻松而且效果好。为什么圆不作为核心概念而是选择椭圆呢？其一，圆在初中大家就已经接触过了，圆的形状很特殊也易于掌握。椭圆是圆锥曲线中最重要的对象，处于主干地位。其二，对于学生的认知结构而言，椭圆是圆锥曲线的开张篇起到承上启下的作用。其三，在“圆-椭圆-双曲线-抛物线-一般曲线”的知识的发展脉络中，无论是知识还是研究方法，椭圆都处于核心地位，具有纽带作用。

抓住数学的核心概念来开展教学，以核心概念为着眼点就不会在细枝末节上浪费时间，使得所有的教学直接指向数学教学内容本身。抓住核心概念和其他概念的联系，保持知识的连贯性，同时借助数学思维的模式和研究方法的一致性，让学生的认知更加完整，知识掌握更加系统。