多法并举求三角函数的最值问题

■任海涛1 吴 祯2

三角函数的最值问题是每年高考的常考内容。下面归纳总结不同题型的解决方法，以帮助同学们提高对三角函数知识的灵活运用能力。

题型一：y=Asin（ωx+φ）型的函数最值问题

例1求函数y=sinx+在区间上的最大值和最小值。

解：y=

评析：对于形如y=asinωx+bcosωx+c（a＞0）的函数可利用辅助角公式化为y=的形式求最值。

题型二：化为二次函数在区间上的最值问题

例2求函数y=cos2x-2mcosx的最小值。

解：y=cos2x-2mcosx=（cosx-m）2-m2。①当m＜-1时，则当cosx=-1时，ymin=1+2m；②当m＞1时，则当cosx=1时，ymin=1-2m；③当-1≤m≤1时，则当cosx=m 时，ymin=-m2。

评析：对于形如y=asin2ωx+bsinωx+c（a＞0）或 y=acos2ωx+bcosωx+c（a＞0）的函数的最值问题，可通过配方转化为二次函数在区间上的最值问题求解。

题型三：换元法求三角函数的最值问题

例3已知函数fx（）=sinx+cosx+sinxcosx，求函数fx（）的最大值。

解：令t=sinx+cosx=则所以函数y=故当即+2kπ，k∈Z时

评析：对于形如sinx±cosx与sinxcosx的最值问题，可以通过换元法转化为二次函数的最值问题求解，但要注意新变量的取值范围。

题型四：利用三角函数的有界性求最值问题

例4求函数的最小值。

解：（法1）由可得sinx=因为-1≤sinx＜1，所以≤1，可得故原函数的最小值为

评析：对于形如或的最值问题，可先反解出sinx或cosx，再利用三角函数的有界性求解。或者，先分离常数，然后利用不等式的性质求解。