基于实际问题 强化数学建模 彰显素养导向——例谈初中数学方程模型教学的探索与实践

江苏省兴化市边城学校 方震军

《义务教育数学课程标准（2011 版）》（以下简称《标准》）指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。进行数学建模的主要目的就是培养学生用数学眼光看待现实世界中的实际问题，并将实际问题抽象成数学模型，然后用数学方法求解模型，进而解决实际问题。方程模型是数学模型中最重要的模型之一，本文结合笔者的教学实践，就实际教学中如何基于《用二次一次方程组解决问题》开展方程建模教学提供一点做法，以供参考。

一、精选实际问题，关注已有经验

《标准》指出：课程内容的选择要贴近学生实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。这就要求我们在对问题进行选择时，必须以学生所熟悉的生活中的问题为背景，以便他们发挥已有经验，使学生更容易获得成功的机会，体会到成功的喜悦。在这一过程中，学生发现问题和转化问题的能力都得到了训练，建模能力得到了提高。“鸡兔同笼问题”是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题，之所以选择这个问题不仅是因为它贴近学生生活实际，有利于激发学生的好奇心和求知欲，而且在小学就已从算术角度给出解决，更能让学生通过这个古代数学应用题增加民族自豪感。

二、读题帮助抽象，形成数学问题

读题先要漫读，应明确题意，读出已知条件和问题。从整体上把握是哪方面的问题，一旦明确了是哪一方面的问题，脑子里相关的知识链接就会被激活。漫读就像方向标，决定着我们向哪个方向前进。读题还要细读，在读的过程中思考题目中各条件间的相互联系，即在读题中进行思考，在思考中进行读题，初步分析判断数量间的联系。例如：今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何？学生第一次漫读时就会联想到这是“和差类”的方程问题，方程问题的相关信息就会被激活。第二次细读时，学生会从关键句中发现重要的数量关系，并将普通语言转化为数学文字语言，发展学生的数学眼光。

三、借助梯度问题，明晰等量关系

这一步要引导学生逐一分析关键句，从中体会蕴含的等量关系。方程建模的重点和难点就是找出问题中存在的等量关系，学生分析实际问题中的数量关系、寻找相等关系的能力还比较薄弱，通过问题串的设计层层深入，引发学生的数学思考。教师通过引导学生学会分析问题，为问题的解决寻找思路。例如设计如下问题串：（1）题目中出现了哪些量？（2）哪些是已知量？（3）哪些是未知量？（4）请你找出题目中表示等量关系的句子。根据前面的精细读题，学生对题中的相关数据及其数量关系已经初步厘清，在此基础上，等量关系已经在学生头脑中浮现，教师可以通过关键词阅读法、表格法、示意图法来帮助学生分析等量关系，从而为后续数学建模活动奠定基础。

四、巧设未知数量，建立方程模型

《标准》指出：教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式教学和因材施教。学生通过“用一元一次方程解决问题”的学习，已经初步具备了建立一元一次方程模型解决简单实际问题的能力，这也为本节课的学习奠定了坚实的基础。因此本节课的教学采用类比的方式来组织教学，放手让学生参与探究，教师只是在学生有困难时给予帮助，以问题引领学生寻找解决问题的方法。例如，你准备设哪个未知量？你能依据等量关系列出方程或方程组吗？学生基于已有的学习一元一次方程的经验，设鸡数（或兔数）为x 只，根据足数94 列出方程。也有学生大胆而创新地设出鸡有x 只，兔有y 只，从而根据头35 个和足94 个列出了两个二元一次方程，形成方程组。通过对比发现用二元一次方程组来表示更简便，学会合理选择模型，同时体会到用二元一次方程组来解决问题的优越性，理解学习二元一次方程组解决问题的必要性，感受到一元一次方程和二元一次方程组都是解决实际问题的有效数学模型，并发展学生的符号意识和创新意识。

五、突出对比辨析，加强模型衔接

这一环节是这节课最有价值的地方，要让学生通过对比研究知道两种解法其实是对问题中包含的两个等量关系使用方式的不同而已。例如设计如下问题：（1）对比上述两种解法，它们之间有什么联系和区别吗？（2）用带入消元法解二元一次方程组，你有什么发现？列一元一次方程解题是设一个未知量，利用“鸡的头数+兔的头数=35”这一等量关系表示出另一个未知量，再用“鸡的足数+兔的足数=94”这一等量关系去列方程；列二元一次方程组解题是同时设两个未知量，利用问题中的两个等量关系列出二元一次方程组。当用带入消元法解二元一次方程组时，学生可以发现二元一次方程组刚好转化成前面列出的一元一次方程，可以进一步感受到两种模型之间的联系，让两种模型自然衔接，同时体会学习新模型的必要性与价值，深化模型思想。

六、出结果需谨慎，不忘复查检验

求出结果后，对于结果的正确性和合理性，还需要我们进行检验。然而学生平时的检查往往只注重形式，没有深入地进行推理论证，没有什么实际效果。因此在实际教学中，首先要引导学生明确检验的必要性，养成反思意识，其次要教给学生一些具体检验的方法，让学生有法可循，以提高检验的能力。

七、归纳一般步骤，掌握建模方法

学生基于列一元一次方程解决问题的经验，再通过上面例题的学习，能够总结出建立二元一次方程组数学模型的一般步骤：（1）实际问题情境；（2）建立二元一次方程组模型；（3）解二元一次方程组；（4）解释二元一次方程组解的合理性。在这个基本过程中,我们要着重培养学生从实际问题情境中抽象出数学问题，并利用关键词阅读法、表格法等帮助学生分析问题，从而建立合理的方程（组）模型，求解模型并讨论结果的意义，最终解决实际问题。通过归纳总结，使学生能够掌握建模的方法。

本节课内容在整个初中方程建模教学中有着承上启下的作用，是设一元建模到设多元建模跨越的关键环节。从方程建模教学的整体角度考虑本节课的学习，最主要的是让学生体会从设一元到设多元是建模不断优化的过程，扎实推进深度教学，通过对比辨析，学会合理选择模型，体会数学模型之间的自然衔接，最终实现数学建模的系统化、结构化。

【备注：本文为泰州市教育科学“十三五”规划2017 年度一般立项课题“农村义务教育中数学建模核心素养的衔接研究”的阶段成果，课题编号：TJKYBLX2017/154】