逻辑推理：学生必备的数学“核心素养”

江苏省常州市新北区奔牛实验小学 李 敏

推理是数学核心素养之一，也是学生数学学习的基本方式。推理主要包括合情推理和演绎推理两大类。无论是哪一种形式的推理，都必须具有一定的逻辑性。推理的逻辑性在小学阶段主要表现为能通过观察、归纳、类比等获得数学猜想，能主动地寻找证据，从而进行论证（包括证明和证伪）。在论证的过程中，教师要引导学生的推理做到有据、有理。这样，才能将培育学生逻辑推理的要求落到实处。

一、基于学生立场，让逻辑推理思路更清晰

著名数学教育家陈省身先生说：“学生应该学会推理，推理很重要，不仅在数学学科之中，在其他学科、在生活中都要用到。”在小学数学教学中培养学生的逻辑推理能力，教师首先应当明晰推理思路，要基于学生立场，引导学生能敏锐地抓住逻辑推理对象进行分析，让学生的逻辑推理思路更为清晰。在数学教学中，教师首先要引导学生对逻辑推理对象进行分析，从而把握问题核心、问题本质，引导学生用逻辑的语言对逻辑对象做出数学化的提炼、概括，从而能把握逻辑推理的本质，提升学生的逻辑推理水平，发展学生的逻辑推理技能。

比如教学《平行四边形的面积》（苏教版五年级上册）时，学生首先想到的是长方形面积的推理方法，将平行四边形放置到方格图之中，用数方格的方法进行推理。用数方格的方法推导平行四边形的面积不同于长方形，长方形的每一个角都是直角，因而可以直接去数。平行四边形需要进行剪拼后才能直接去数，根据这样的操作，学生猜想可以将平行四边形转化成长方形，运用长方形的面积进行推理。教师要肯定学生的大胆猜想，引导学生进行推理：长方形的长相当于平行四边形的底、长方形的宽相当于平行四边形的高，那么长方形的面积相当于平行四边形的面积，所以平行四边形的面积也就是长方形的面积，就是长乘宽，也就是底乘高。这样的逻辑推理，其思路是清晰的，其过程也是清晰的。

基于学生立场的逻辑推理，要真正将学生放置于课堂的“正中央”，引导学生抓住对象、抓住问题的本质，对逻辑推理的对象、问题等进行深度的剖析，让学生对逻辑推理的对象、问题等形成清晰的认知、理解。从逻辑推理的形式上分析，逻辑推理由逻辑推理对象、推理逻辑、推理结论组成。学生首先要清楚逻辑推理对象，清楚逻辑推理思路，进而展开有效的逻辑推理。

二、夯实过程论证，让逻辑推理方法更明晰

逻辑推理能力是学生的一种综合性、合乎规范性的推理，是学生观察、比较、抽象、概括、分析等能力的展示、综合。在数学教学中，教师不仅要引导学生明晰逻辑推理思路，更要夯实学生的逻辑推理过程，从而让逻辑推理方法更明晰。数学学习，不能仅凭人自身的感觉，不能用“存在就是被感知”的肤浅认知糊弄真理，而应当是笛卡尔的“我思故我在”。在逻辑推理过程中，要强化过程论证，无论这种论证是类比性的、归纳性的还是演绎性的。一般而言，相对于类比推理、不完全归纳推理，完全归纳推理和演绎推理更具有“严格性”、“真理性”、“正确性”、“科学性”。

教学《小数加减乘除法混合的简便运算》（苏教版五年级上册）时，许多教师认为学生在四年级已经学习过“整数加减乘除法混合的简便运算”，因而五年级就能自觉地、自动地迁移，所以对这一部分内容的论证往往是一带而过、蜻蜓点水、浮光掠影的。事实上，在数学中扩充数系，要具有一种兼容性，即新的数必须能适应、融合到原来数的运算之中去。但是，对于学生来说，教师的这样的一种简单化的类比教学，并不能让学生信服，不能让学生接纳小数乘除法混合的简便运算定律。笔者认为，在《小数加减乘除法混合的简便运算》教学之中，教师依然应当引导学生经历过程论证环节，从而使学生有效地将新知纳入到已有认知之中。教学中，教师可以出示一组算式，引导学生观察，提出猜想，在此基础上，引导学生自由举例进行论证。为了让论证过程更为严谨，教师还可以引导学生尝试举反例。只有当学生能举出系列正例而不能举出反例时，才能有效地引导学生进行不完全归纳。事实上，“类比推理的规则在所有的逻辑推理中是最不严格、最不确定的……类比在数学思维中的主要作用表现为发现问题、提出猜想、建立模拟”，其结论有时准确、有时不准确。因而“小数加减乘除混合的简便运算”，笔者引导学生将类比、归纳等推理结合起来。只有这样，学生的数学学习才能更为合情、更为合理、更为深刻，才能彰显数学的理性。

在上述逻辑推理的过程中，引导学生尝试举反例的过程是必须的、必要的。因为不完全归纳作为一种实证方法，其例子的无穷举性必然导致这样推理的结论的或然性。为了让数学的结论更为科学，为了让学生的数学学习更为合理，教师引导学生进行正向、反向举例，能让学生形成数学推理的逻辑素养，让学生感受、体验到数学逻辑推理的严谨性、严格性。

三、启迪逻辑联想，让逻辑推理表达更清晰

学生的数学逻辑推理不仅依赖于学生的数学思维，而且依赖于学生的数学想象。在数学教学中，教师不仅要激活学生的逻辑思维，而且要启迪学生的逻辑联想、想象，从而让学生的逻辑推理表达更为清晰。在学生的数学学习中，联想尤其是想象往往是创造的发端，是学生数学创新、再创造的基础，对于学生数学核心素养的发展、学习力的提升具有十分重要的作用。教师要鼓励学生基于数学事实基础想象，从而有效地延伸、拓展学生的数学学习触角，引领学生向数学推理更深处漫溯。

在数学教学中，教师要赋予学生逻辑想象的时空，给学生提供逻辑想象的素材，从而助推学生的逻辑想象。比如教学《长方形和正方形的面积》（苏教版三年级下册）时，笔者在教学中运用结构化的素材，启迪学生思维、想象。首先，笔者给学生提供一个规格小的长方形硬纸板，让学生用单位面积的小正方形拼摆，助推学生形成初步的猜想，然后给学生提供规格稍大的长方形硬纸板，让学生用单位面积的小正方形拼摆。相比较第一层次的实验，这一次的拼摆，单位面积的小正方形已经不能将长方形拼满了，这时可以引发学生的猜想。在猜想的基础上，教师引导学生合作论证，再次给学生提供一个规格较大的长方形硬纸板，这个时候，学生用单位面积的小正方形已经不能铺一行或一列了，由此激发学生的逻辑推理性的想象：长方形的长就相当于每行的个数，长方形的宽就相当于行数，长方形的面积就相当于单位面积的小正方形的总个数。在这样的数学猜想的基础上，教师可以引导学生进行组与组之间的合作实验论证。通过这样三个层面的教学，学生对长方形的面积的理解已经从肤浅走向深度、从感性走向理性。不难看出，在数学教学中，教师不仅要引导学生进行逻辑推理，还要引导学生建立逻辑推理的共同体，培养学生的数学逻辑推理的交流能力、表达能力、实验验证能力等。

小学数学学习中的逻辑推理，是学生数学化学习的一种思维过程、行为方式。教师不仅要引导学生进行逻辑推理，还要引导学生从多个视角来进行思考、辨别，从而有效地发展学生的逻辑思维能力，发展学生的逻辑推理素养。