唤醒“固化思维”走向深度学习*——以一道中考题讲评为例

四川省内江师范学院数学与信息科学学院(641100) 杨小兵 胡丹

深度学习理论表明：在教学过程中，教师不能只一味的“灌输”，而应精心设计教学内容，通过师生互动、生生互动来调动学生的主动性和积极性，进而引导学生从“动眼、动口、动手”转向“动心、动脑”，使学生能更深入的探究问题，并深刻理解所学知识的本质及品味知识中渗透的思想方法，从而提高学生分析问题和解决问题的能力，促进“知识—技能—方法—思想—核心素养”体系的形成.可见，在教学中激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维是深度学习必不可少的条件.[1]那么在教学中应该怎样做，才能使学生达到深度学习呢? 研究者认为，教学过程应以“问题”为载体和核心，通过一系列的“问题链”将学习中的任务与“问题”紧密相连，以便引导和维持学生的学习兴趣及动机，从而达到深度学习.[2]本文以一道中考试题讲评为载体，展示学生在层层递进的“四动”片段中从“固化思维”中醒悟，最终达到深度学习的整个讲评过程.

问题(2018·四川绵阳中考) 已知a＞b＞0，且则

一、教学实录

片段1 “动口”——思维碰撞，激发兴趣

师Y：这道题相对简单，但还是有部分同学做错了，接下来请同学们谈谈对这道题的看法和思路.

生1：先将等式变形转化成一元二次方程，再用配方法.

生2：咦? 我的配方方式和生1 的配方方式不太一样，但答案一样.

生3：我在一本书上看到一个法子，我仿照做出来了，用的换元法.

生4：可以利用一元二次方程的顶点式.

生5：我用了一元二次方程的两点式.

生6：和生1 一样转化成一元二次方程，然后利用求根公式.

生7：我直接将等式进行配方就做出来了.

……

设计意图教师Y 让学生“动口”交流想法，让学生感受到明明是同一道题，但却有多种不同的解法，由此引起学生的兴趣并使学生深入思考其他人是怎么想到的，同时生生之间也会将解题方法进行对比和择优，能极大调动学生的自主性和主动性使之参与到教学中.

片段2 “动手”——板书演示，展露细节

师Y：听同学们讨论，感觉你们的解法很新奇，不如上台分享一下.

师Y：生8 的做法，大家懂了吗?

众生：懂了.

师Y：该同学使用的是一般的配方法，即先将二次项系数化为1，在加上一次项系数一半的平方，那么可不可不将二次系数化为1，直接进行配方呢?

全班学生低头私语，陷入思考中和讨论(生9 举手示意，教师Y 同意生9 回答).

师Y：生9 思路和做法都是正确的，非常不错，大家掌声鼓励一下，除了配方法还有其他的方法吗?

全班学生又陷入小声的讨论中，一小会儿之后，陆续有同学跃跃欲试的样子，教师Y 点头示意学生回答.

师Y：该同学运用换元法，直接消掉一次项系数，想法新颖，思路清晰巧妙，同学们掌声送给生10，同学们还有其他的方法吗?

全班学生面露难色，陷入沉思中.教师Y 见状给出提示：同学们不妨想一想一元二次函数的几种表达形式，看一看有什么关系呢? 一会儿，有同学举手示意.

生11：因为一元二次方程的一般式和顶点式是等价的，即ax2+bx+c=a(x+m)2+n，展开故有：b=2am，c=am2+n.又原等式可化为则即又a＞b＞0，故

师Y：生11 做出来了，非常不错，但一元二次方程的等价形式只有这一种吗? 其他同学还有什么看法呢?

生12：一元二次方程的一般式和两点式也是等价的，ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，展开ax2+bx+c=ax2-a(x1+x2)+ax1x2，即有韦达定理：x1+x2=又原等式可化为令故将x1表示出来带入 ②中求得或故

师Y：恩，非常好，大家掌声鼓励，同学们已经列出了许多方法，但大多都转为了一元二次方程，将看作一个整体来求解.现在我们能否再转换一下思维，若能直接求出a,b的关系，答案也就显而易见了.

生13：原等式去分母得a2-2ab-2b2=0，将b看作常数，配方得(a-b)2-3b2=0，又a＞b＞0，故即

师Y：很好，生13 通过固参直接求得了a,b的关系，大家把热烈的掌声送给他.现在我们也积累了多种不同的方法，那这些方法各有什么优点呢? 在解题的时候选择哪种方法更合适呢?

设计意图行为主义学习理论中桑代克的联结说指出：知识和技能的获得必须通过尝试—错误—再尝试，学习过程是盲目的尝试与错误的渐进过程，学习的实质在于形成一定的联结.[3]教师是教学的领导者与组织者，占据着主导作用，学生是学习活动的主体，教师通过设计“板书演示”调动全班“动口”讨论、“动眼”观察、“动手”操作，使全班学生达到行为参与，通过尝试—错误—再尝试寻求答案.

片段3 “动脑”——深入探讨，挖掘思维

师Y：生9 的配方简单有趣，那么我们对于一般的二次方程ax2+bx+c=0(a /=0)，如果采用生9 的方法进行配方，会有什么结果呢? 该方法优点何在呢?

学生思考片刻，便有一些学生举手示意，教师Y 点头允许.

生14：先两边同乘以4a得4a2x2+4abx+4ac=0，整理为(2ax)2+2·2ax·b=-4ac，再将2ax看作一个整体，两边同时加上一个b2，整理得(2ax)2+2·2ax·b+b2=b2-4ac，然后配方得(2ax+b)2=b2-4ac，故

师Y：生15 对该同学的结果有什么看法呢?

生15：生14 的方法和结果都是正确的，配方过程简洁明了，运用该方式进行配方各项系数均为整数，避免了配方过程中分数的产生，而且可以直接产生求根公式.

师Y：生15 对该方法认识到位，评价正确全面，该方法源于印度，称为“印度配方法”，该方法在操作上具有一定的技巧性，理解上存在一定难度，而书上的配方法具有一般性，相对容易理解，大家都懂了吗?

众生：懂了.

师Y：我们再来深入分析一下生10 的换元法，若将此法也用于一般的一元二次方程，该怎么做呢?

生16：设ax2+bx+c=0 (a /=0)，令x=t+p，代 入 计 算a(t+p)2+b(t+p)+c=0，整 理 可 得at2+(2ap+b)t+ap2+bp+c=0，为消掉一次项系数可令2ap+b=0，解得则解得则

师Y：该方法有什么巧妙之处呢?

生17：通过一元二次方程的求根公式可知：方程的解由两部分组成，运用换元法可消掉一次项系数，从而直接开方求得t，进而解出x，该法也是求一般方程根的通性通法.

师Y：生17 认为用换元法求解方程根具有一般性，真的是这样吗? 那么今天布置一个课外探究问题：能否用换元法求出x3+px+q=0 的根? 若可以请解出x.感兴趣的同学可以课后独立思考并查阅相关资料或者和同学交流探讨等.现在我们继续来分析运用两点式解题，是不是所有的一元二次方程都可以用两点式解题呢?

生18：可以用两点式解题.

师Y：真的可以吗? 为什么?

生19：应该是不可以的，只有方程有两个根的时候才能运用该方法，根不存在的时候是不能用这种方法的.

师Y：生19 回答的非常好，生12 在求解的时候通过代入消元求解，若x1x2,x1+x2结构比较复杂的时候用这种方法还合适吗? 有没有办法可以简化运算?

生19：先求解x1- x2然后联立能简化运算.比如：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，展开ax2+bx+c=ax2- a(x1+x2)+ax1x2，即有韦达定理：x1+x2=那么则得故求得

师Y：请生20 来评价一下生19 的做法，有哪些优点值得学习呢?

生20：生19 在求解并没有直接带入消元求解，而是根据结构特点，先升次再降次，构造x1-x2，从而简化计算过程，过程非常巧妙，这种思想值得我们学习.

此时，全班响起了热烈的掌声.

生21：原等式可化为2b2+2ab-a2=0，即b2√+ab=配 方 得故又a＞b＞0，故

师Y：同学们解决问题的方法多种多样，细细品味其中的思想方法.

设计意图维果茨基的“最近发展区”理论表明教学不仅需要考虑学生已有的发展水平，又需要根据学生的最近发展区提出更好的要求.例如：教师Y 在教学过程中通过求一元二次方程根的问题，提出能否用相同的方法求解一元三次方法的根? 教师Y 在学生已有的知识基础和认知结构上，通过一系列的问题链调动学生的积极性，使其从“动口、动眼、动耳、动手、动脑、动心”转化为“行为参与、认知参与、情感参与”，以学生为中心，培养学生的主动性、自主性、创造性，引导学生打破“套路解题”的浅层思维，深入挖掘解题过程中渗透的数学思想.

片段4 “动心”——温故反思，思维再现

师Y：同学们对这道题进行了深度的发掘，我深感欣慰.下面请同学们分组讨论，总结解一元二次方程的方法.

一组：解一元二次方程不仅仅只有配方法，还可以用公式法和韦达定理.

二组：可以利用换元法，解一元二次方程.

三组：解一元二次方程也可以看成函数求零点问题，利用数形结合法解决.

四组：配方不一定要二次项系数为1，可以直接凑，用印度配方法.

五组：还可以将一元二次方程的一般式与顶点式、两点式相互转化.

六组：整体思维、局部思维及固参思维能够使问题简化，也是解决问题常用思维.

师Y：同学们总结得很到位，这不仅仅是掌握了多种方法，更多的是提高了自身内在的数学素养，希望同学们继续保持这种深度思考、不断探索的精神，保持思维的灵活性，做一个喜欢思考问题和解决问题的人.

设计意图学习策略中“复述策略”表明及时复习是防止遗忘的有效措施之一，通过再一次的理解和复述能够再次强化所同化的知识.而检验学习最好的方式就是将自己所掌握的知识说给别人听，通过小组讨论，全班总结，让学生再一次回顾解决问题中所渗透的数学思想.

二、教学反思

美国心理学家波斯纳提出教师成长公式：经验+反思=成长.教学反思是教师的成长和发展的重要途径，教学反思即教师对自己教育行为、教育策略、教育理念、教学过程、教学结果等进行认真的自我审视、评价、反馈、控制、调节、分析的过程.[4]本案例中，教师Y 以求一道中考题为载体，通过设计一系列的问题链，顺其自然的推进教学进程，整个讲评过程既贯穿着学生的“六动”——动口、动眼、动耳、动手、动脑、动心，又融入了学生的“四参”——行为参与、认知参与、情感参与、自省参与，还达到了深度学习的效果.同时在教师Y 的引导下，学生通过自己的深入思考、动手操作把“数学题就是套公式”、“一题一解”等固化观点转向了关注“一题多解”、“数学思想方法”等方面.课后，研究者对此进行了深入的反思，主要有以下几点.

2.1 如何设计数学问题

问题是数学的心脏，一个好的数学问题应是简洁易懂、极具深意、能推动数学的发展甚至世界的发展，例如：费马大定理，它经过欧拉、索菲·热尔曼、库默尔、法尔廷斯等众多数学家的研究最终被怀尔斯证明，历时300 多年，期间产生了众多新的理论的方法，极大的推进了数学的发展，费马大定理因此也被数学家们称为“会下金蛋的母鸡”.[5]当然若在教学中则不仅仅只是考虑单个问题，还需考虑教学效果，除了上述提到的问题极具深意外，问题的有效性、问题的价值性、问题的数量等都会影响教学效果.因此，对数学问题而言，作为教师应思考设计什么样的数学问题，为什么要设计这个问题，如何设计这个问题，这个问题有什么作用，时机是否恰当等.再者数学课堂中一系列恰当的问题链能激发学生的兴趣，调动学生的自主性和积极性，使学生思维的火花不断燃烧.[6]设计数学问题就应充分考虑学生已有的知识基础和生活经验，充分利用学生已有的基础使学生能快速的理解问题，并建立起已有知识和未知事物的“桥梁”，从而将新的刺激同化到已有的图式中; 设计的数学问题也应相互关联，环环紧扣，层层深入，层层递进由浅到深、由简到繁、由易到难，呈阶梯式增长推进课堂自然前进;设计的数学问题还应具有丰富的内涵和启发性，例如：讲评中启发学生用多种方法求一元二次方程的根并探究其中所渗透的思想方法，唤醒学生“套路解题”的固化思维，从而进行深度学习，并将问题延伸至求一元三次方程的根，通过设计该类课外探究问题使有兴趣的学生得到充分的启发和发展.

2.2 充分发挥学生的主观能动性

主观能动性是指：人的主观意识对客观世界的能动作用，能主动地认识世界和改造世界.在传统课堂教学中经常出现教师“满堂灌”的现象，学生也是被教师牵着鼻子走，完全忽略了学生的主观能动性，这是极不可取的.新课改背景下提出：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者、合作者.[1]怎样才能发挥学生的主观能动性呢? 研究者有以下几点思考：首先，教师应该营造一个相互尊重、民主、和谐、平等、积极向上的课堂环境;其次，教师应该合理巧妙的设计数学问题，激起学生的学习兴趣，调动学生的主动性和积极性，并在课堂中留给学生充分思考问题的时间;再者，教师应该帮助学生提高自我效能感，马斯洛需要层次理论表明人的需要像阶梯一样，从低到高分别为：生理需要、安全需要、社交需要、尊重需要、自我实现需要，而学生在其已有阶段的自我实现需要为学习上的自我实现需要，教师则需引导学生解决不易简单解决但又能通过自己努力得到解决的问题，不断给予学生正反馈，提高学生的自我效能感;最后，教师应该帮助学生树立正确的人生观、价值观、世界观，帮助学生建立内在远景动机，使学生从他律到自律，真正成为学习的主体.

2.3 数学中深度学习的“深度”如何理解

研究者认为“深度”可理解为以下四点：数学知识的难易程度、数学知识范围的广度、对数学本质的认识、学生在学习中自我评价的认识程度.

第一，深度理解为数学知识的难易程度.数学是自然科学的基础，推动着社会的发展，学习数学的目的绝不是为了培养套公式做题，而是能将所学知识联系实际，融会贯通的运用数学知识解决实际问题.实际问题往往是复杂和困难的，学生对数学的学习不能只停留在简单的数学知识，所以教师应根据学生最近发展区提出适当问题，使学生不断发展.

第二，深度理解为数学知识范围的广度.数学是个庞大的体系拥有众多的数学分支，如果知识面太窄，在解决问题的过程中就会被“眼界”所约束.学习数学应该广泛的阅读与数学有关的知识，例如：研读数学史.古人云：读史可以明智，读数学史可以了解数学知识是如何产生、如何发展、未来的趋势是怎样的，从而知道数学知识的内涵和外延，使得学数学能学得心中有底，思路清晰，眼界开阔.

第三，深度理解为对数学本质的认识.学习数学不能只停留在浅层认识，而是应该对数学的本质有清楚的认识.对数学的学习应“先抓大，再抓细”，即先理解数学的基本思路和渗透的思想方法再去完善细节，让学生在学习过程中重结果的同时更重过程，引导学生在过程中挖掘出数学本质，利用本质去创造新的结果.

第四，深度理解为学生在学习中自我评价的认识程度.《义务教育数学课程标准》明确对评价提出了具体要求，其中学生的自我评价是尤为重要的一个方面，包括学生本身对数学思考的能力、问题解决的能力、知识技能的掌握、情感态度的表现、建立数学自信心等方面的评价.[1]因此教师需根据实际情况把握尺度设计有效的教学情境，帮助学生树立学好数学的自信心，给予学生自我评价的机会，从不同层次、不同标准引导学生定性和定量的评价自己，使学生发现闪光点的同时意识到自身相关知识和能力的不足，从而推动学生去糟粕取精华，使其对数学进行深入思考及探究，以弥补在某方面的缺陷，达到思维上由浅入深从固化思维到发散思维的深度学习的程度.