基于核心素养的解析几何复习课的教学设计与反思

浙江省台州市第一中学(317000)陈亚菲 曹贤鸣

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.[1]在高中数学课程中，数形结合思想方法的渗透是落实直观想象素养的方式之一.数形结合的思想作为中学数学教学的重点之一，应用范围广，其重要性不言而喻.在教学过程中可以发现，数形结合思想的内涵在教材中没有直接给出，一定程度上学生对该思想方法的理解与应用是在教师的有意牵引下零散地、被动地进行的，而在应用之后缺少归纳总结与自我内化，因此学生在自主解决数学问题时不易跳出每阶段知识学习的限制，无法巧妙攻破“数”与“形”的转换，从而限制了直观想象素养的培养.本文通过“直线与圆的最值问题”的专题复习课，阐述这一问题并反思该如何更好地提高学生直观想象素养的水平.

一、学情分析

学生于高一阶段完成了人教A 版必修一、四、五的学习，本学期学习必修二的内容.不难发现高一所学习的知识更侧重代数，学生近阶段初次开启解析几何的篇章——“直线的方程、圆的方程”的学习.在相关作业批改的过程中，发现学生在解决数学问题时有三个明显的问题：一、作图能力不强，直线不直、圆不圆等现象直接影响了问题直观性的体现;二、缺乏作图习惯，利用几何直观与数形结合解决问题的意识薄弱.例如作业本中的一道习题：若直线y = x+m 与曲线有两个不同的交点，求实数m 的取值范围.对于这样一个问题，学生更倾向于从代数角度切入，联立方程组消元求解.而在代数求解的过程中，第三个问题则随之暴露，作为数学活动的基本形式，学生的数学运算能力却是让人堪忧.

二、教学设计

本节复习课以学生暴露出来的问题为基础，通过针对性的问题进行基础排查与深化演练.

在简单地整理了“圆的方程”章节的基础知识和常用公式之后，从学生作业中的错题出发，给出相关问题.

题型一已知M(x,y)是圆x2+y2=1 上任意一点，则的取值范围是____．

问题1已知M(x,y)是圆x2+y2= 1 上任意一点，则的取值范围是____．

问题2已知M(x,y)是圆x2+y2= 1 上任意一点，则的取值范围是____．．

设计意图知识框架是问题解决的基础，简单地复习帮助学生明确复习范围.从学生提出的代数解法切入，代入消元转化成方程有解构造不等式求取值范围.在解题过程中指出易错点，强调检验的必要性与代数运算的严谨性.在总结方法的同时，引导学生观察代数式的式子结构，回归定义，挖掘其几何意义——斜率.在小结中对比两种解法的特点与联系，加深学生对数形结合的认识，从而达到以形助数在本专题巧妙应用的目的.通过两个变式强化学生对该类代数式的几何意义的构造与理解.

题型二如果实数x,y 满足x2+y2-2y -4 = 0， 求x2+(y+3)2的最大值．

问题1在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，BC = 6，P 是△ABC 的内切圆M 上的动点， 求以PA,PB,PC 为直径的三个圆的面积之和的最小值．

设计意图在题型一的基础上，阐明规规矩矩的代数解法仍然适用，引导学生模仿题型一的思路，自主完成从式子结构入手，寻找其几何意义的过程.旨在让学生切实体会式与形之间的联系，从代数解法的复杂与繁琐到几何解法的直观简便中感受数学直观在解决几何问题中的重要性.

题型三如果实数x,y 满足x2+y2-2y -4 = 0， 求y-x 的最小值．

问题1求2x-y-8 的最小值.

问题2求|2x-y-8|的最小值.

设计意图从“截距”模型出发，熟悉几何解法之后，在挖掘代数式几何意义练习的基础上加大难度，引导学生通过联系“点到直线的距离公式”构造有具体几何意义的代数式在进行求解，归纳指出对数学式子几何意义的理解切忌浮于表面，同时应在基础知识学习之初重视式子结构与几何内涵的认识.

三、教学反思

对于本节试教课，用代数与几何两个角度分别切入，全程遵循将数学直观落到实处， 切实体会“以形助数， 以数解形”优越性为初衷， 让学生通过两种方法的对比， 感受有效“翻译”题干信息，合理选取适用方法的必要性，通过避开繁琐计算降低错误率，同时通过方法总结与细节的细致分析来提高代数运算的准确率.而在实施过程中，更多的感触是，学生几何直观的建立的整个过程，从基础知识、代数公式的巩固，到几何模型的建立以及几何意义的构造，都需要学生自主参与，深刻理解其内涵，才能到达运用自如、灵活切换的效果.而对于这样一节容量较大的数学课，学生的课堂小结不佳、动手演练机会不足等问题让我有了一些新的思考.

早在《给教师的建议》中，苏霍姆林斯基曾经向我们阐述过：对于数学学习困难的学生，应该先教会他们“画”应用题，而直观手段应使学生把注意力放在最主要、最本质的东西上去.[2]因此，对于这样一节复习课，要使核心素养更好地在课堂中落地，就像完成一座“素养城堡”的框架设计、实物搭建与整理美化的过程.首先，相关概念与公式的复习是必要的.学生的知识遗忘现象总是存在的，而课本上的基础知识是解决运用与拓展问题的根本， 因此系统地梳理相关知识网络，定好“城堡”搭建框架，为激发形象思维作铺垫这一环节必不可少.其次，引导学生理解本专题的方法，在理解的基础上应重视学生思维探索的过程，教师应当留更多的时间与空间给学生，让他们自主地完成“城堡”搭建的过程，比如“题型一：已知M(x,y)是圆x2+y2=1 上任意一点，求的取值范围”与“题型三：如果实数x,y 满足x2+y2-2y-4=0，求y-x 的最小值．”涉及的几何模型分别为一条过定点和定斜率的直线，我们是否可以尝试只讲解其中一题，而剩下的一类抛出问题交给学生自己去探索，去填充呢? 毕竟，对于一个复习专题来说，模型个数有限，重要的是经验积累的过程，而这样一个掌握方法、经验积累与问题解决的过程的反复将促进学生数学素养的形成.最后，对于这一块知识整体，学生还需要一个自我整理与完善的过程，一股脑地接收就像“城堡”里突然被塞入许多有用的东西，而杂乱无章使得它们该有的价值没有得到体现，因此，学生需要根据自己的学习习惯总结模型与方法归类，使其内化为自己所有，同时加深对模型内涵的理解，减少遗忘.

“数缺形时少直观;形缺数时难入微.”数学是一门严谨的学科，要更好地落实直观性教学，理应建立在扎实的代数功底基础上，因此在数形结合思想渗透过程中，代数解法中的条件分析、代数运算、结论检验等环节不可轻视，更何况几何解法提供的是过程的直观，问题解决仍然避不开少量的代数运算.而从数到形的过程应当是建立在逻辑推理基础之上的等价转化，为了体现直观性，适当地使用多媒体进行辅助教学可以提高课堂效率，在学生脑海中建立起抽象概念与具体图像的联系.多媒体之所以是辅助，是因为信息化带来地快节奏课堂限制了学生自身的直观想象能力的培养，作图等基本能力培养不到位的问题已越来越突出，换言之，学生缺少直观想象的实战经验，因此规范作图应列为几何新授课的教学目标之一.在这整个思维探索的过程最后，还需培养学生归纳总结的能力，集中类型进行学习、训练和反馈，有意识地完成“精准代数解释”到“几何直观刻画”的操作性条件反射的学习过程.直观想象的素养培养不会孤立于知识学习与方法积累而存在，因此，遵循“框架梳理——代数分析——几何刻画——以数解形——归纳总结”这一思路的教学设计是落实直观想象、代数运算、逻辑分析等素养培养的方式之一.