待定系数法的妙用

广东省华南师范大学附属中学(510630)周建锋

待定系数法是一种重要的数学方法,在许多数学问题的解决中都能看到它的“身影”.要利用好待定系数法,首先要明确代数式的基本模式,然后在不确定的系数位置设置参数,再结合其它条件解出参数,从而达到确定代数式的目的.待定系数法的最大好处在于不必事先知道相应系数的值,只需要用参数代替,到合适的时机再求出参数.代数式的基本模式有些是题目中已经给出,比如题目中指明f(x)是一元二次函数,则自然可以设f(x)=ax2+bx+c(a /= 0),而更高层次的应用则是要自己构造、设定代数式的基本模式,其中涉及的技巧、能力要求就更高了.本文就针对这类的问题,探讨一下如何构造模式,利用待定系数法完美解决问题.

一、待定系数法在均值不等式中的应用

均值不等式广泛运用在证明不等式及求最值的问题中,但在某些情形下如何配系数比较棘手,此时用待定系数法是一个不错的选择.

例1设a,b,c ∈R+,且2a+b=5,2a+c=8,求证：abc ≤18,等号何时成立?

分析注意到a,b,c 不是轮换对称的,所以直接用均值不等式不能成功.先做一个换元,abc=2a(5-2a)(4-a),此时既要保证三个乘积项的和是一个常数,还要保证取等号时三项要相等,可设置两个参数m,n(m,n ＞0),再根据需要的条件列出等式解出参数.

证明设m,n ＞ 0,abc=2a(5 - 2a)(4 - a)=令m-n-2=0,ma=5-2a=4n-na,解得：a=1,m=3,n=1.所以abc ≤18,当a=1,b=3,c=6 时等号成立.

例2设求证：

分析要用均值不等式把左边放缩得到一个常数,可利用sin2α+cos2α=1,因此分别对配两项,构造出一个三项均值不等式,再由右端系数相等及等号成立的条件,可算出参数A,B.

证明设A,B ＞ 0,则解得：所以sin6α +

二、待定系数法在数列中的应用

在递推数列中,如何构造新的数列,使得新数列即为等差或等比数列,问题就迎刃而解.而如何构造新数列,待定系数法可以大显身手.

例3已知数列{an}满足a1=2,an+1=3an+5,求{an}的通项公式.

分析型如an+1=pan+ q(p /1)的数列,可设an+1-x=p(an-x),易得这样将an-x 作为一个新数列,即为等比数列,求通项公式就很容易了.

解由已知所以为首项,3 为公比的等比数列,所以即

例4(2005年高考山东卷理科)已知数列{an}的首项a1=5,前n 项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n ∈N*).

(1)证明数列{an+1}是等比数列；(2)略.

分析型如an+1=pan+f(n)(p/1)的递推数列,f(n)是关于n 的多项式.可设an+1+g(n+1)=p[an+g(n)],其中g(n)是与f(n)最高次数相同的多项式,再比较f(n)与pg(n)- g(n + 1)对应项系数从而得出g(n)各项系数.由Sn+1+ [p(n + 1)+ q]=2[Sn+(pn+q)] 可得Sn+1=2Sn+ pn + q - p,则pn + q - p ≡n +5,所以得出p=1,q =6.

解(1)由已知Sn+1+(n+1)+6=2(Sn+n+6),S1+1+6=a1+7=12,所以{Sn+n+6}是以12 为首项,2 为公比的等比数列,所以Sn+n+6=12·2n-1,所以Sn=3·2n+1-n-6.n ≥2 时,an=Sn-Sn-1=3·2n-1,n=1 时,a1=5 符合上式,所以n ∈N*时,an=3·2n-1,所以an+1=3·2n,即{an+1}是以6 为首项,2 为公比的等比数列.类似的,an+1=pan+q·αn(αp)的递推数列,可设an+1-λ·αn+1=p(an-λ·αn),易得

例5已知数列{xn} 满足求{xn}的通项公式.

分析型如an+2=pan+1+qan的递推数列,其中p、q为常数.可设an+2-αan+1=β(an+1-αan),则α+β =p,αβ =-q,即为方程x2=px+q 的两个根.由解得或1,所以则同理可得：综上得：

三、待定系数法在导数中的应用

用导数求解函数相关问题的时候,经常会用到构造的技巧,比如构造函数值大于零(或小于零)的点,证明不等式中构造相关的函数等.在这些情形下,结合题目的具体要求,设计出一个代数模式,加入参数,到一定的时机求出参数的值,往往能收到意想不到的效果.

例6已知函数对任意的x ∈(0,+∞),满足其中a,b 为常数.当f(x)存在三个不同的零点时,求a 的取值范围.

分析在求解函数零点个数时,要先划分单调区间,在每一个单调区间上观察有无使函数值异号的x 值,而寻找x 值的过程中就有一个构造的技巧.本题中,易知a=b,通过对函数f(x)求导,易得时,导函数有两个零点x1,x2(x1＜1 ＜x2),f(x)在(0,x1)上递减,(x1,x2)上递增,(x2,+∞)上递减,而f(1)=0,所以f(x1)＜0=f(1)＜f(x2),只需在(0,x1)上找一个使f(x)＞0 的x 值,由则是另一个(x2,+∞)上符合要求的点.接下来的问题就是：如何在(0,1)上寻找函数值大于0 的点?

(1)构造x=e-ma(m ＞0),f(e-ma)= -ma -ae-ma+ aema=a(ema-e-ma-m),注意到当a →0时,不能保证大于0.

(2)构造x=am(m ＞0),g(a)=f(am)=m ln a-取m=2,则 分 子 即为则g′(a)＜ 0,取m=3,满足综上,f(a2)＞0,f(a3)＞0.

解在中,取x=1,得f(1)=0,又f(1)=ln 1-a+b=-a+b,所以b=a.从而f(x)=

①当a ≤0 时,在(0,+∞)上,f′(x)＞0,f(x)递增,所以,f(x)至多只有一个零点,不合题意；

综上所述,当f(x)存在三个不同的零点时,a 的取值范围是

例7设函数f(x)=ln x-ax,其中a 为实数.若试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.

分析在本题中,最难的一点是时,f(x)在上递减,要找一个函数值小于零的x 值,可设计设取λ=2,则

解(I)当a=0 时,所以f(x)在x ∈(0,+∞)上为单调增函数,因为f(1)=0,所以f(x)存在唯一零点.

例8设函数f(x)=aex-x ln x,其中a ∈R,e 是自然对数的底数.若证明：f(x)＞0.

分析只需证x ＞ 1,时,f(x)＞ 0,即2ex-2- x ln x ＞0 ⇔2ex-2＞x ln x.设想λ ＞0,使得2ex-2≥λx2(x ＞1),即设所以1 ＜x ＜2 时,g′(x)＜0；x ＞2时,g′(x)＞0.所以所以只需证：

证先证设所以1 ＜x ＜2 时,g′(x)＜0；x ＞2时,g′(x)＞0.所以所以