不妨让“余数”灵动起来

◇张友勋

学生在计算“612÷2÷4=？”时出现了如下几种结果：612÷2÷4=306÷4=76……2；612÷2÷4=153÷2=76……1；612÷2÷4=612÷8=76……4。对此，老师们普遍认为第一种做法是正确的，原因是该作法遵循了四则混合运算顺序，也有部分教师认为此题出得有问题，结果不应该有余数。

我认为上面三种计算方法， 从计算顺序上或者说意义上都是有道理的，从有余数除法的计算规则和商不变性质上来看，三个结果虽然外在表现形式不一样， 其结果所表示的数的大小是一样的。这三种算法，第二步的被除数分别是306、153 和612，除数分别是4、2 和8，不完全商都是76，而余数分别是2、1 和4，但都符合“余数要比除数小”的要求，也符合商不变的性质。如“153÷2=76……1”“306÷4=76……2”“612÷8=76……4”。被除数和除数依次扩大2 倍，商不变，而余数跟着扩大2 倍。

笔者认为，上面三种算法的商76 都不能表示此题的精确结果，如“把306 本书平均分给4 个同学”，如果说“每个同学分得了76 本”，肯定是不准确的，因此要把余数带上，应该说“每人分得76 本，还余下2 本没分”。 我们不能用静止的、孤立的眼光，只看三个余数的大小不一样，就认为三个算式的商也不一样，而要用变化的、联系的眼光来审视每个余数的实际意义，把它放在与此相关的被除数和除数的“家族”中来解释，从而揭示“余数”的“真实面孔”。如对于“153÷2=76……1”，我们可以这样来解释：把153 本书平均分给2 个同学，每人分得76 本，还剩下 1 本，这 1 本若再分下去，这 2 个同学，每人还能继续分本（0.5 本）；同样，把 306 本书平均分给4 个同学， 每人分得76 本， 还剩下2本，这2 本再分下去，这4 个同学，每人还能分本（0.5 本），也就是说把 153 本书平均分给 2 个同学与把306 本书平均分给4 个同学， 每人分得的结果是一样的，都是76.5 本，因而，我们便可以得出“上述三种算法的三个结果是一样的”结论。

反思：在教学有余数除法时，我们可以结合二年级学生的认知水平，适当拓展学生对商和余数的认知。如，教学时可以加入这样的练习环节：9 个桃子平均分给2 个小朋友， 每人分得几个？13 个桃子平均分给3 个小朋友，每人分得几个？学生列出算式后教师提出这样的问题：(1)对于第一个问题，余下的1 个桃子如果继续平均分下去，每人分得的桃子应该是4 个多一点，这“4个多一点”，以后我们会用一个新的数来表示。上面的分桃活动，由于桃子还没有完全分完，因此这个“4”我们叫作 9 除以 2 的“不完全商”，9 除2 的计算结果我们不能单说是4， 而应说成是4余1。（2）这两个算式的计算结果，都是 4 余1，如果把两次剩下的1 个桃子再继续分下去， 猜一猜，这样的两次分桃，每人分得的桃还是一样多吗？为什么？（3）结合分桃子经验说说：9÷2 和18÷4 两题计算结果是相等的吗？为什么？