结构中微裂纹与超声波的混频非线性作用数值仿真研究

李 立， 焦敬品， 吴 斌， 何存富

（北京工业大学 机电学院，北京100124）

1 引 言

对于重大基础设施的关键核心部件，如核电站反应器或航空舱体部件，其结构的完整性对系统的安全运行起着至关重要的作用。为保证这些关键部件的完整性，必须在结构出现明显损伤之前及时发现结构中的早期损伤。作为一种典型的结构早期损伤形式，疲劳裂纹在萌生后可能快速扩展，导致灾难性事故，因此，其危害性极大。为保证重大基础设施的安全性，及时有效地检测出结构中的疲劳裂纹就显得极为重要［1］。常规的检测方法，如磁粉、射线、电涡流、红外热成像与超声波检测等，可以很好地实现结构中开口裂纹检测；但对于接触界面呈闭合状态的疲劳裂纹检测，这些常规方法存在分辨力不足、检测可靠性低以及定量困难等问题。

近些年，在力学、声学和材料学领域的一些研究进展发现，当超声波的激励幅度足够大时，微裂纹会与超声波相互作用，产生非线性声学响应［2］。这种由于缺陷或界面的应力-应变非线性关系引起的非线性称为接触非线性，与材料非线性一起作为结构中非线性的主要来源［3］。根据检测方式，非线性超声检测可分为振动声调制法［4］、谐振法［5］、混频法［6］和谐波法［7］，其中谐波法应用最为广泛。但谐波法受检测系统非线性影响较大，难以分离出检测信号中因检测系统非线性产生的谐波响应。混频法由于其频率可选和方向可控等特点，对于结构中微裂纹检测具有特殊优势。目前，混频检测法已成为超声非线性检测领域的热点方向。

在混频非线性理论研究方面，Jones等［8］对固体介质中的非线性波动方程进行了求解，给出了两列波在介质中相互作用产生第三列波的5种情况。Zarembo等［9］利用微扰法对两列波相互作用的非线性波动方程进行求解，得到18种超声波非线性混频作用方式。在考虑两列入射波的频率比、入射夹角以及波的极化方向组合的情况下，Korneev等［10］得到了10种两列超声波相互作用产生混频效应的情形。以上的混频非线性效应研究均基于经典非线性声学理论，未考虑接触类缺陷（如闭合裂纹）的接触非线性。

对于闭合裂纹与超声波相互作用的非线性行为，由于超声波在实际结构中的传播及其与缺陷的相互作用异常复杂，难以直接从数学上推导出解析模型。为此，国内外学者利用数值仿真技术对超声波与闭合裂纹的相互作用进行了数值分析。在混频非线性方面，基于经典非线性理论，Kr等［11］对两列共线S0模态导波发生混频非线性的情形进行了数值仿真，并利用非线性系数对材料疲劳损伤进行了表征。基于经典非线性理论与库仑定律，Blanloeuil等［12］对两列横波与裂纹相互作用发生混频作用的情形进行了数值仿真研究。这些研究为混频非线性技术在微裂纹检测中的应用提供了一定的指导。

在实验研究方面，Liu等［13］利用纵波与横波的混频非线性作用，对钢铁试件与铝试件中的早期损伤进行了检测。Jiao等［14］利用共线混频技术对结构中的疲劳裂纹进行了检测，通过控制激励超声波的延时，实现结构中的微裂纹定位。

综上所述，国内外学者对微裂纹的混频非线性超声检测开展了大量卓有成效的研究，但由于裂纹与超声波非线性相互作用很复杂，受多种因素影响，目前这方面的工作还有待于进一步深入开展。针对目前的研究现状，本文利用数值仿真技术，对微裂纹与超声波的混频非线性作用关系进行了研究。基于经典非线性理论，得到了两列超声纵波相互作用产生混频效应的理论条件。通过有限元仿真，研究了两列纵波与微裂纹相互作用产生混频效应的条件，并分析了界面处静应力、摩擦系数和裂纹方向对混频效应的影响。

2 基于经典非线性理论的体波非共线混频检测理论

根据经典非线性理论，在各向同性固体中，两列不同频率的超声波产生非线性相互作用，产生混频效应（和频和差频）的条件可表示为

式中 ＋代表和频，－代表差频，ω1和ω2分别为两列入射波的频率，ωr为产生混频散射波的频率。式（2）表示相应的波矢（本文主要对差频进行分析，因此后文公式省略和频部分）。

根据波矢几何关系，差频散射角可表示为

式中v1，v2和vr为两列入射波与差频散射波对应的波速，α为入射波夹角，Ψ为产生的差频散射角，d为两列入射波的频率比。

两列入射波叠加后的位移场可表示为

式中A0和B0为两列入射波的幅值矢量。

如果两列入射超声波在介质中的交汇区主要集中在区域V（区域V为非线性材料区），且两列超声波仅在该区域产生相互作用，由此可以得到远场条件下的二次散射场如式（5）所示。

式中 r＝rr＾；＾r ＝1。r为从相互作用区的中心到观测点的矢径；r′为区域V内的积分矢径。

由于极化方向的限制，由式（5）可得到10种不同情形的体波混频，本文数值仿真中主要关注两列纵波相互作用产生差频横波的情形。

若超声波传播介质为铝，得到两列纵波相互作用产生差频横波的理论曲线，如图1所示。

根据理论曲线，可以得到不同频率比下产生混频非线性效应对纵波入射角的要求。此外，图1还给出不同条件下产生差频横波的散射角及幅值。根据理论曲线可以确定纵波的入射频率及入射角度，对混频散射波的方向及幅度进行预测，为实验与实际检测提供指导。

表1 铝的材料参数Tab.1 Aluminum material parameters

图1 两列纵波相互作用产生差频横波的理论曲线Fig.1 Two columns of p-wave interact to produce the theory of transverse difference frequency curve

3 两列纵波与非线性源混频作用的数值仿真研究

根据两列纵波相互作用产生差频横波的理论曲线，利用有限元仿真方法，对两列纵波与非线性源相互作用发生的混频现象进行数值仿真研究。根据非线性来源不同，分别研究了材料非线性和接触非线性下的混频效应。

3.1 经典非线性下的混频非线性效应

基于ABAQUS有限元软件，对两列纵波因材料非线性而产生的混频效应进行数值仿真研究。图2给出了混频二维仿真模型。模型长度为100mm，高度为80mm（此时模型中无裂纹存在）。通过将模型材料设为超弹性材料来引入材料非线性，超弹性材料属性列入表2。为了说明混频作用的来源，同时进行了线弹性材料的对比仿真研究，线弹性材料的属性列入表3。如图1所示，当d＝0.63时，α＝Ψ ＝37.42°。

根据频率比d，选择两列入射波频率ω1＝3MHz，ω2＝1.89MHz。为保证两入射声束能够很好地汇聚在指定的非线性源区域，入射声波通过相控阵偏转聚焦的方法施加在模型的上端面。激励信号为汉宁窗调制的正弦信号，产生两列纵波的偏转角度分别为±18.71°。在模型右端面设置信号接收节点集，接收位置从模型右端面中心位置至右端面底端，长度为40mm。

图2 仿真模型Fig.2 Model for the simulation

表2 超弹性材料属性Tab.2 Super elastic material properties

表3 线弹性材料属性Tab.3 Linear elastic material properties

图3分别给出19μs时刻超弹性材料与线弹性材料的位移云图，可以看出，有多个传播的波包。分析可知，由于激励纵波时会同时产生横波，使得云图中可以看出沿激励方向传播的纵波与横波。同时，可以看出在超弹性材料中沿预测差频横波方向上出现了波包。图4给出了接收信号频谱，除了可以清晰地看出1.89MHz与3MHz的激励频率成分外，还存在1.11MHz与3.78MHz的频率成分。对接收信号进行带通滤波后（通带0.9MHz～1.35MHz），在28.1μs时刻观察到波包，该波包的能量集中在1.11MHz频率处。根据传播时间与波束相交位置和接收位置的距离为60.21mm，计算得到该波包的传播速度为2991m／s，与横波波速3090m／s吻合较好。因此，由于材料的非线性效应，两列入射纵波发生相互作用，产生了一列差频横波。

图3 19μs时刻仿真云图Fig.3 Displacement nephogram at 19μs

图5 滤波后时域波形Fig.5 Time domain waveform after filtering

3.2 接触非线性下的混频非线性效应

建立两列纵波与闭合裂纹相互作用模型，模型几何尺寸与图2相同，但不考虑材料非线性产生的非线性效应，因此材料属性设置为线弹性材料，列入表3。闭合裂纹位于模型中心，形状简化为椭圆，长轴为20mm，短轴为0.001mm。裂纹两界面的接触条件设置为硬接触，初始时摩擦系数为0.8。为模拟实际工程结构中微裂纹界面间的闭合力，在模型裂纹两界面上施加了相向的预应力，预应力逐渐加载至1.3MPa。激励信号的施加形式、位置以及接收节点集的位置与材料非线性仿真模型完全相同。

图6给出了19μs时刻的位移云图，可以看出，除了有沿激励方向传播的纵波与横波外，在裂纹处的反射作用下，结构中产生了反射纵波与横波；同时，在理论差频横波的产生角度上出现了一个波包。图7给出了典型接收波形频谱，可以看出，除了1.89MHz与3MHz的激励频率成分外，观察到明显的1.11MHz差频成分。对信号进行带通滤波后（通带0.9MHz～1.35MHz），得到1.11MHz差频成分的时域波形。由图8可以看出，在29.7μs时刻观察到波包的存在。根据传播时间与波束相交位置离接收位置的距离为60.21mm，该波的传播速度为2770m／s，与横波波速3090m／s吻合较好。因此，在裂纹接触非线性的影响下，两列纵波相互作用产生了一列差频横波。

图6 19μs时刻的位移云图Fig.6 Displacement nephogram at 19μs

图7 接收信号频域波形Fig.7 Received signal frequency domain waveform

图9 给出了各接收节点接收信号中散射差频分量的幅值，在距离裂纹水平位置34mm处散射波幅值达到最大。根据预测散射方向，计算得到理论混频信号到达右端面位置距离裂纹水平位置为33mm，因此，数值仿真得到的差频方向与理论计算结果吻合较好。仿真结果表明，虽然超声波与微裂纹相互作用产生的混频非线性效应属于非经典非线性，但其发生条件仍旧符合经典非线性理论下的混频产生条件。因此，可以利用经典非线性理论下获得的混频产生条件，指导裂纹混频非线性检测实验检测参数的设计，如入射波模态、频率、入射角度及接收探头的类型和位置等。

4 裂纹混频非线性效应影响因素研究

图8 滤波后时域波形Fig.8 After filtering time domain waveform

图9 差频横波幅值随接收位置变化曲线Fig.9 Difference frequency curves of shear wave amplitude with the receiving position

在上述两列纵波与微裂纹相互作用产生混频非线性效应的研究中，需要对微裂纹的属性和特征进行设置，如裂纹处预应力、摩擦系数、裂纹方向、长度和宽度等。文献［15］已开展了裂纹长度及宽度对混频非线性效应影响的研究。本文进一步研究裂纹处预应力、摩擦系数和裂纹方向对混频非线性效应的影响。需要说明的是，在以下影响因素研究中，仅改变待研究的单一因素，模型中其他因素保持不变。

4.1 裂纹预应力的影响

有限元仿真中，为模拟实际工程结构中微裂纹界面间的闭合力，在模型裂纹两界面上施加了一定的预应力。为研究预应力对混频非线性效应的影响，进行不同预应力下闭合裂纹体波混频仿真研究。图10给出了不同预应力下，由带裂纹模型得到的差频横波幅值随界面应力的变化曲线。可以看出，裂纹界面处施加的静应力对差频横波幅值有明显影响。当静应力为1.4MPa时，产生的差频横波幅值最大，与无裂纹模型得到的最大应力值接近。

由各类裂纹简化模型可知，微裂纹的状态随着法向应力幅值变化。当应力过大时，微裂纹处于完全闭合状态，此时，超声波无法与裂纹发生相互作用；当应力过小时，接触面完全分离，超声波完全反射，也不能与裂纹界面相互作用；只有裂纹接触界面处于自由状态时，裂纹才会随着超声波幅值的变化呈张开和闭合。因此，当微裂纹预应力大小与其结构中超声波对应的应力大小接近时，微裂纹与超声波相互作用产生的混频非线性效应最为显著。

4.2 裂纹处摩擦系数的影响

图10 差频横波幅值随裂纹处预应力变化曲线Fig.10 Difference frequency shear wave amplitude changes with cracks in prestressed curve

接触非线性由闭合裂纹接触面与超声波相互作用引起。当闭合裂纹与超声波相互作用时，两个接触面会产生摩擦。为研究该摩擦对接触非线性混频效应的影响，进行不同摩擦系数下闭合裂纹非线性混频的仿真研究。研究发现，在不同摩擦系数下，产生差频横波的方向并不发生变化，但差频横波的幅值发生了改变。图11给出了摩擦系数范围为0～1（步进0.1）时，差频横波幅值随界面摩擦系数的变化曲线。可以看出，摩擦系数对差频横波幅值有一定影响。当摩擦系数为0.8时，差频横波幅值最小；摩擦系数为0.6时，差频横波幅值达到最大，但改变仅为幅值的6%。可以认为，摩擦系数对混频非线性效应影响较小。其原因可能是裂纹处的接触非线性主要由接触面出现张开与闭合的交替状态引起。此时，波形畸变主要由超声波在接触面法线方向的分量引起。裂纹接触面摩擦力仅作用于接触面的切向方向，因此，裂纹界面的摩擦系数对超声波的混频非线性效应影响较小。

4.3 裂纹方向的影响

为研究闭合裂纹方向对差频横波方向的影响，进行了含不同方向闭合裂纹的体波混频仿真研究。建立仿真模型尺寸与图2相同，分别改变裂纹角度为10°，20°，30°与40°，在模型中设置圆形接收，接收圆半径设置为30mm。

图11 差频横波幅值随裂纹处摩擦系数变化曲线Fig.11 Difference frequency curves of shear wave amplitude with the crack of friction coefficient

图12 差频横波的指向性Fig.12 Directionality of the differential wave

将接收信号进行带通滤波后，提取差频横波成分，并根据其对应的接收位置得到差频横波的指向性。图12给出了不同裂纹方向下差频横波幅值的指向性情况。可以看出，由于裂纹与超声波的相互作用，产生的差频混频响应中包括反射横波和透射横波两部分。其中，透射横波传播方向与经典非线性理论预测的理论差频分量方向基本一致，传播方向在33.87°附近；但反射横波的传播方向随裂纹方向改变而不同。可以看出，差频横波在透射方向角度并未发生改变，但反射方向角度随着裂纹角度增加逐渐增大。

裂纹接触面在应力波作用下张开与闭合，在此过程中，微裂纹仅对信号起到调制作用，对透射信号的传播方向并无影响。因此，透射波传播方向仅与入射波传播方向有关；随着微裂纹的角度变化，透射方混频非线性信号方向并无变化。与经典非线性理论中，非线性区域的状态对散射角无影响的结论吻合。当微裂纹接触面在应力波作用下闭合时，微裂纹接触面重合，应力波在重合界面发生反射。因此，在反射方向出现了差频横波成分，且角度随着裂纹角度增加而增加。

5 结 论

本文对结构中微裂纹与超声波混频的非线性作用进行数值仿真研究，得出以下结论。

（1）基于经典非线性理论，得到了两列超声纵波相互作用产生混频效应的条件。

（2）超声波与微裂纹相互作用产生的混频非线性效应的发生条件仍符合经典非线性理论下的混频产生条件。因此，可以利用经典非线性理论获得的混频产生条件，指导裂纹混频非线性检测实验的检测参数设计，如入射波模态、频率、入射角度及接收探头的类型和位置等。

（3）裂纹界面处施加的静应力对差频横波幅值有明显影响，当施加静应力与无裂纹模型得到的最大应力值接近时，混频非线性效应最强。裂纹界面的摩擦系数对超声波的混频非线性效应影响较小。透射差频横波传播方向与经典非线性理论预测的理论差频分量方向基本一致，且几乎不受裂纹方向变化的影响；而反射差频横波的传播方向随裂纹方向的改变而不同。透射差频分量和反射差频分量随裂纹方向变化的不同特性为非线性检测实验中裂纹检出及方向识别提供了有利工具。