结合学科素养谈高中数学一类组合问题的教学

王会书

《普通高中数学课程标准》明确提出了6大核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，教材选修2-3组合及组合数公式应用一节，首先培养的就是学生分类讨论的能力，对学生数学建模与数学抽象能力有着较高的要求。在解决这一问题时，第一个难点就是对题目是排列问题还是组合问题的判断，第二个难点就是在计算过程中对有序无序的控制。学生往往对计算过程中是否有顺序判断错误。特别是组合数学中还有一部分等分的问题，更要求学生精准把握概念。这部分内容在排列组合部分的教学中占有十分重要的地位，而且对这部分内容的理解也直接决定了学生对下一部分内容——古典概型部分内容的接受程度，本节内容既是重点也是难点和考点，黑龙江省2019年高考数学一道12分大题就考查了概率的内容。在设计本节教学内容时我主要从以下三个方面入手：

1.加强分类计数加法原理的教学

分类计数加法原理：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+...+mn种不同方法。每一种方法都能够直接达成目标。

分类计数加法原理中，“完成一件事，有n类方案”是说每种方案“互斥”，即每种方案都可以独立完成这件事，同时相互之间没有重复也没有遗漏。进行分类时，要求各类方案彼此间是相互排斥的，不论哪一类方案中的哪一种方法，都能独立完成这件事。

加法原理在高中数学的各部分内容学习中都有涉及，无论是函数还是方程，以及解不等式的分类讨论的问题，依据的都是不重不漏的原则，落实的概念都属于这部分内容。

2.加强分步计数乘法原理的教学

分步计数乘法原理：完成一件事，需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×...×mn种不同的方法。乘法原理中的每一步都不能独立的完成这件事。

乘法原理是加法原理的简便计算，本质上与加法原理是一致的，与加法原理合起来是对具体事物计数问题在数学上的高度抽象。大部分的计数问题都是两个原理的综合应用。

3.排列与组合的应用

一般的，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。而从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素分成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

我们注意到，生活中都是先组后排，而数学上确是先讲排列数公式，再讲组合数公式，而且组合式公式本身就是乘法原理的应用实例。

组合数与排列数的关系为：A  nm =C  nm Amm。

由此可以得出A  nm =C  nm·Amm，公式中乘以Amm，乘的是顺序，所以组合就变成了排列。而公式C  nm =中除以Amm，除的也是顺序，排列也变成了组合。

例1：现有6名同学和3名老师排成一排照相，要求3名教师从左到右的顺序不变，问共有多少种不同的站队方法？

我们可以直接A 69得到，也可以A99 ÷A33得到，其中除以A33，去掉的就是顺序，要用除法而不是减法。

例2：用1，2，3，4，5，6可以组成多少个各位没有重复数字的3位数？

我们知道，这是典型的排列问题，选取的三个不同元素是有顺序的A33：

计算时：A36=6×5×4=A16×A15×A14 =C16×C15×C14，都是正确的，说明顺序是在乘法原理过程中产生的，跟分步有关，而与每步是排列或组合无关。

例3：班级有30名女生，20名男生，现从中选2名男同学做数学科代表，2名女同学做英语科代表，共有多少种不同的方法？

答案是C220 C230，其中C220一定做数学课代表，C230一定做英语课代表，互相之间不能交换，没有顺序。

例4：班级有30名女生，20名男生，现从中选2名同学做数学课代表，2名同学做物理课代表，共有多少种不同的方法？

首先，选取的对象应该是全体同学，即C250 C248，而在C250 C248上是否乘以A22 才是解决问题的关键。C250这一步假设选取了甲、乙两名同学，第二步C248选取了丙、丁两名同学;当然，C250 这一步也包含选取了丙、丁两名同学，第二步C248恰好也选取了甲、乙两名同学这种情况，说明乘法原理的使用过程中已经在两步之间产生了顺序，是排列问题，不需再乘以A33，所以C250 C248就是正确的。

例5：班级有30名女生，20名男生，现从中选3名同学做数学科代表，2名同学做物理科代表，共有多少种不同的方法？

这个问题选取的前提也是共有的，选3名同学做数学课代表和选2名同学做物理课代表这两件事之间是不能交换的，是没有顺序的，而C350 C348中的3人只能做数学课代表，2人只能做物理课代表，也没有顺序，所以正确的答案就是C350 C247，而C350 C348也是正确的。

例6：现有4封信，投入3個信箱，要求每个信箱都不空，共有多少种不同的投法？

常见的错误做法是A34 C13。这样虽然保证了每个信箱不空，但是一定有一个信箱里面放两封信，而这两封信一个在A34中，一个在C13中，由于是在同一组中先后选取的数目相同（1个）的元素做乘法，故此有顺序，故正确的结果是A34 C13 ÷A32 。

当然，我们还可以先把4封信看成3封信，然后就是全排列了C24 A23。

4.乘法计数的过程中产生顺序的条件

在同一组元素中先后选出数目相同的元素做乘法，有顺序，步与步之间是排列问题。

例7：现有6本不同的书，平均分给3名同学，共有多少种不同分法？

C26C24C22 ，符合上面的三个要素，有顺序，已经是排列问题了。

例8： 现有6本书，平均分成3组，共有多少种不同分法？

由上题知，C26C24C22 各组之间是排列问题，已经分给了不同的人了，那么去掉顺序的方法就是除法：C26C24C22 ÷A33。

例9：现有5封信，投入3个信筒，每个都不空，共有多少种不同投法？

共分两类：第一类3，1，1情况，结果较清晰C35 A33，就是把5封信看作3封信;第二类2，2，1情况中，先把5封信看成3封信，C25C23C11还是C15C24C22在本质上都是一样的，但都出现了部分重复，所以结果应是C25C23C11 ÷A22×A33才是正确的。

从学生的作业与考试反馈来看，这部分内容学生理解比较困难，加强这部分内容的教学，对提高学生的数据分析、数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理和直观想象的能力都有帮助，无论对老师还是学生，理解好基本概念都是最重要的，这就是数学核心素养的一个具体的体现。

编辑/李莉E-mail：1183916794@qq.com