正弦函数两种泰勒展开式的比较

张文华，汲守峰

（唐山学院，河北 唐山 063000）

0 引言

泰勒公式主要是利用泰勒多项式来近似表达其它计算复杂的函数，而多项式中只有加法和乘法两种运算，使得泰勒公式成为在近似计算和误差估计中的重要工具[1]，而在高等数学教材[2]中，对于正弦函数sinx的泰勒公式展开式只给出了偶数项展开公式，对奇数情况并未给出任何解释与说明，使得读者在此有诸多疑问.本文给出sinx泰勒公式展开式的两种情况，并用matlab比较了两种展开式中余项的大小，解释了两者之间的联系与区别.

1 泰勒公式简介

我们用带有拉格朗日余项的泰勒公式来讨论sinx的展开式

定理1如果函数f(x)在x0某个邻域U(x0)内有(n+1)阶导数，则对于任意x∈U(x0)，都有泰勒公式展开式

我们主要讨论x0=0处的泰勒公式，即麦克劳林公式：

y=f(x)的带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式：

2 正弦函数f(x)=sinx在x0=0时两种形式的泰勒展开式

所以有

下面取n分别为偶数和奇数两种情况讨论sinx的展开式：

当麦克劳林公式中的n为偶数2m时，可得到f(x)=sinx的2m阶麦克劳林公式：

其中余项

估计误差大小时利用余项：

当麦克劳林公式中的n为奇数2m-1时，可得到f(x)=sinx的(2m-1)阶麦克劳林公式：

其中

3 两种展开式之间的关系与比较

在（2）（3）两种展开式中，可见前面的n次泰勒多项式是完全相同的，区别在于余项不同，所以在用泰勒多项式近似计算sinx的函数值时，在取同样n的前提下，误差估计的精度大小不同，反过来，在同样的误差精度要求下，确定的泰勒多项式的次数n也不一样.下表列出了m取不同值时余项的取值范围.

m 1 2 3 4 5 6 7|R 2m|≤ 1(2 m+1)! 0.1 6 6 7 0.0 0 8 3 1.9 8×1 0-4 2.7 5×1 0-6 2.5 0×1 0-8 1.6 0×1 0-10 7.6 4×1 0-13|R 2m-1|≤ 1(2 m)! 0.5 0.0 4 1 7 0.0 0 1 4 2.4 8×1 0-5 2.7 5×1 0-7 2.0 8×1 0-9 1.1 4×1 0-11

由上表可知用同样的泰勒多项式近似计算sinx值的时候，第一行R2m误差估计更精确，这也是教材[2]中未列举n=2m-1时sin的泰勒公式展开式的原因.