借助直观，将学生的思维引向深处

李鹏

容器中有某种浓度的药水，加入一杯水后，容器中药水的浓度为25%，再加入一杯药粉，容器中药水的浓度为40%。原来容器中有几杯药水，浓度是多少？

该题是在教学浓度问题后，在配套练习中设计的一道思考题。该题有一种直观解法：把加入一杯药粉后的药水平均分成10份，其中4份是药粉（占40%），6份是水。（图1）

用△表示药粉，用□表示水。加入药粉前，浓度为25%，也就是药粉与水之比是1∶3，因此可以是2个△和6个□。这样就知道加入的一杯药粉是2个△（图中圈出部分），一杯水就是2个□。因此，原来容器中有2个△和4个□。也就是3杯药水。浓度是2÷（2+4）×100%=33.3%。

初步感知方法后，有学生提出原题中“再加入一杯药粉，容器中药水的浓度为40%”这个条件是多余的，并用图2加以说明。加入一杯水后，容器中药水的浓度为25%，药粉与水的比是1∶3，一杯水是一个□，用逆推的方法将这杯水取出，即可求出问题。以上过程虽然是错误的，但是充分展示了学生的思维过程。我们应当及时让学生去辨析，帮助学生清理障碍：加入一杯水后，容器中药水的浓度为25%，药粉与水的比是1∶3，还可以是2个△和6个□，如果一杯水是一个□，用逆推的方法将这杯水取出，药水的浓度约是28.6%……在解完一个或一批题目后，能够作一些更进一步的思考，或找出一些普遍的规律，或归纳提炼出某些一般方法，弄清问题的关键和本质，这比糊里糊涂地解几道题甚至几百道题更加有益。

培养学生的数学核心素养，仅靠浅层次的课堂教学是無法顺利完成的。在小学数学课堂练习中，教师应适当安排有一定思维深度（不等于难度）的习题，帮助学生提升思维水平和解题能力。笔者在教学这类习题的过程中，运用“图形模拟”的数学思想方法，使习题内容具体化、形象化，可以使学生理解题意，明确数量关系，理清解题思路，进而很快地得出解法。

（作者单位：南京师范大学苏州实验学校 责任编辑：王彬）