局部有限图上非线性方程解的存在性

(浙江师范大学 数理与信息工程学院，浙江 金华 321004)

令V为顶点集,E为边集。若对任意一个点x∈V只有有限个点与x相邻,即每个顶点的度deg(x)=#{y∈V|x～y}<,其中x～y表示xy∈E,则称G=(V,E)为局部有限图。

我们假定权wxy>0且有wxy=wyx。令μ:V→R+是一个有限测度。对任意的函数u:V→R,拉普拉斯算子定义为

梯度定义为

记Γ(u)=Γ(u,u)。定义梯度的长度为

-Δu+h(x)u=f(x,u),x∈V

(P)

解的存在性。

文[2]证明了在局部有限图上方程(P)有严格正解。文[3]考虑了有限图上的Yamabe型方程解的存在性。文[4]作者利用变分法和上下解方法证明了有限图上的Kazdan-Warner型方程

Δu=c-heu

有正解。上述方程的求解方法,可以归结为求能量泛函的非零临界点。寻找方程的临界点最常用的方法就是山路引理。在文[2]中利用了一个关键性的条件,即存在某个常数θ>2 和M>0使得下面不等式成立

上述条件称为(AR)条件。

给出定理之前我们先定义极小化问题

(1)

本文主要结果如下：

定理1若函数h(x)和f:V×R→R满足以下条件:

(H1) 存在常数h0>0,对∀x∈V,使得h(x)≥h0;

(H2) 假设1/h∈L1(V);

(F1)f(x,s)关于s连续,f(x,0)≡0及s≤0时,f(x,s)≡0;

(F2) 对于几乎处处的x∈V,f(x,t)/t关于t≥0单调不减;

则有以下结论：当Λ<1时,方程(P)总有正解。

1 一些引理

令Cc(V)表示V上具有紧支集的连续函数空间,W1,2(V)是Cc(V)在范数

下的完备化。W1,2(V)是一个Hilbert空间,其内积为

令h(x)≥h0>0,对∀x∈V。我们定义函数空间

其范数定义为

显然H是一个 Hilbert 空间,其内积为

引理 1若μ(x)≥μmin>0,h满足(H1)和(H2),则H紧嵌入到Lq(V)中,其中1≤q≤+,也就是说,如果uk在H中有界,那么存在u∈H,使得在H中有uk弱收敛到u,在Lq(V)中有uk→u,其中1≤q≤+。

证明详见文[2]引理 2.1。

在空间H上定义以下能量泛函

(2)

引理2存在非负函数u∈H,使得J(tu)→-,当t→+时。

证明：我们知道-Δu+hu=λ1e,e为特征向量,那么

即

有

由引理2可得,存在t0>0,使得J(t0u)<0。记u*=t0u。

引理3存在大于零的常数δ,r使得泛函J(u)≥δ,对所有的u有‖u‖H=r。

证明：这里证明与文[2]中引理3.3的证明完全一样。

2 定理证明

定理1的证明。为了证明定理我们需要先证明以下引理。

引理4若h满足(H1),(H2),f满足(F1),(F2)和(F3),那么对∀c∈R,泛函J(u)满足(PS)c条件。也就是说,若有{un}∈H,使得J(un)→c,J′(un)→0,那么存在u∈H,使得序列在空间H中有un→u成立。

证明：首先要证明序列{un}∈H在空间H中有界。为此我们采用反证法,假设序列un在H中无界,即有‖un‖H→+,且令

(3)

显然有wn在H中有界,那么通过适当选取子列,假设存在w∈H,使得

wn→w在H中弱收敛,

wn(x)→w(x)在V中几乎处处收敛,

wn→w在L2(V)中强收敛。

我们断言：w≡0

下面证明w≡0。由条件(F1)和(F3)可得存在常数M>0,使得对∀x∈V,t≥0有

(4)

从而由(3)和(4)可得

上式与c>0矛盾,故有w≡0。

现在来证明w(≡0)满足下面的等式

令

由条件(F1)和(F3)可得存在常数M>0,使得对∀x∈V,有0≤pn(x)≤M,通过选取适当的子列,假设存在某个函数g(x)∈H,使得pn在L2(V)中弱收敛到g,且在V中几乎处处有0≤g(x)≤M。对∀φ∈L2(V),由wn在L2(V)中强收敛w得到

因为pnwn在L2(V) 中有界,所以有

pnwn→gw+在L2(V)上弱收敛

(5)

由〈J′(un),un〉→0可得‖J′(un)‖H′→0 (n→),且‖un‖H→(n→) ,则对任意的φ∈H,有

再由(5)式和wn在H中弱收敛到w,得到

(6)

在上式中令φ=w-,易得‖w-‖=0,从而在V中有w≡w+≥0,由强极大值原理可得

w(x)>0在V中几乎处处成立。 由于‖un‖→+且在V中几乎处处有wn(x)→w(x)。 当n→+时,由(3)式可知,如果在V中几乎处处有w(x)>0,那么在H中有un→+。从而由条件(F3)可得当w(x)>0时,必有g(x)≡q(x),所以(6)式变为

将φ用w替换之后,可以得到Λ=1，这与Λ<1矛盾。证得序列{un}在H中有界。下面来证明存在{un}使得un在H中强收敛到u。此处与文[2]中引理3.4中的证明一样。

通过引理2、3、4,泛函J满足山路引理所有的条件,由山路引理可以得到

是J的临界点,其中

Γ={γ∈C( [0,1],H):γ(0)=0 ,γ(1)=u*}

即存在u∈H使得J(u)=c等价于u是方程的弱解。又因为

J(u)=c≥δ>0

所以得到u≡0,由文[2]引理3.2可得,若u是非平凡解,那么u是严格正解。即u是方程的正解。证毕。