思维悟中长 素养自然成——以“相似三角形”复习课为例

胡秀明

（福建省连江县敖江中学）

G.波利亚在《怎样解题——数学思维的新方法》一书中指出：教师应当谨慎地、不露痕迹地帮助学生，最好是顺其自然地帮助学生，逐渐培养学生对题目的兴趣，并且给他们足够的机会去模仿和实践.教师应尽可能地、自然而然地向学生提出问题和建议.受益于这样的引导，学生最终将发现这些问题和建议的正确用法，而且通过这样去做，学生将得到一些比任何具体的数学知识更重要的东西.笔者认为，“更重要的东西”指的正是发展学生的数学核心素养.发展学生的数学素养应以培养“全面发展的人”为核心，包括文化基础（人文底蕴，科学精神）、自主发展（学会学习，健康生活）、社会参与（责任担当，实践创新）三个方面.数学教育对发展学生的核心素养的独特贡献，主要体现在科学精神、学会学习和实践创新上.

笔者认为，G.波利亚对于教师如何帮助学生解题的论述同样也适用于当前的课堂教学，他所提倡的，是在教育过程中不露痕迹，以一种自然、和谐的方式实施教育，让学生在具体的情境中切身体验，自觉自悟，形成素养.如何在课堂教学中设置合适的问题，自然而然地为学生构建数学研究路径，积累数学活动经验，发展学生的核心素养，笔者也一直在实践中探索这个问题.现以人教版《义务教育教科书·数学》九年级下册第二十七章“相似三角形”复习课的教学实践为例，谈谈个人的一些思考.

一、教学过程展示

1.直观感知，联系对比

教师展示如图1所示的三角形图片，并提出问题：从图中看到了什么？想到了什么？

图1

师生活动：教师借助图片引导学生回顾全等三角形和相似三角形的知识，从图形、定义、性质和判定方法等方面对两者进行对比，师生一起逐步完成如下的表格.

_____________________________________________相似三角形C全等三角形_______________________________C C′图形AB A′B′A′B′AB定义对应角相等，对应边______________________________成比例的两个三角形相似对应边成比例，对应角相等；对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比都等于相似比；面积比等于相似比的__________________________________________________________________________________平方SSS（边成比例）；SAS（边比角等）；AA（角等）；平行（预备定理）；_____________________________________________HL？对应边相等；对应角相等；所有的对应线段、对应的量都相等能够完全重合的两个三角形全等_____________________________________性质判定方法SSS（边等）；SAS（边等角等）；ASA（边等角等）；AAS（边等角等）；HL（斜边直角边等）__________________________C′

教师以三角形图片导入课题，吸引学生的注意力，教学中以一问一答的形式面向全体学生提出问题，启发学生思考.通过全等三角形和相似三角形的对比，让学生理解全等是特殊的相似，特殊在相似比为1，体会一般与特殊的关系，深化学生对相似三角形知识的理解.

2.启迪思维，生长拓展

思考：如图2，在△ABC中，D是边AB的中点，过点D作直线，是否能得到全等三角形？

图2

图3

生1：作两条直线时有全等三角形.如图3，过点D作BC的平行线DE，再过点D作AC的平行线DF.

师：图3中哪两个三角形全等？为什么？

生1：△ADE≌△DBF，根据“ASA”判定三角形全等.

师：很好，除了这两个三角形全等，是否还有其他全等三角形？

生2：如图4，连接DC，则△DEC≌△CFD.

图4

图5

生3：如图5，连接EF，则 △ADE≌△FED≌△EFC≌△DBF.

师：需要用到什么条件判定三角形全等？

生2：利用三角形中位线定理，用“AAS”证明四个三角形全等.

生3：利用平行四边形的对称性，平行四边形中对角线分成的两个三角形全等.

师：思考题中除了能得到全等三角形还有什么？

生：相似三角形.

师：如何有相似三角形？

生4：过点D作BC的平行线DE，有△ADE∽△ABC.

生5：过点D作AC的平行线DF，有△BDF∽△BAC.

师：除了生4和生5指出的这两对相似三角形，是否还有其他相似的情况？试着写出来.

生6上台画出DE′，DF′这两条线（如图6），并写出△ADE′∽△ACB，△BDF′∽△BCA.

图6

师：使这两组三角形相似的条件分别是什么？

生6：只要使 ∠AE′D=∠B，再加上∠A是公共角，就有△ADE′∽△ACB；只要使 ∠BDF′=∠C，再加上∠B是公共角，就有△BDF′∽△BCA.根据两个角分别相等的两个三角形相似.

师：非常好！此时一共几对三角形相似？可以归为几类？

生：有四对三角形相似，可以归为两类：一类为“正A”型；另一类为“斜A”型.

师：书写时要注意什么问题？

生7：把顶点对应好，第一类：图3中，△ADE∽△ABC，点D与点B对应；△BDF∽△BAC中，点F与点C对应；第二类：图6中，△ADE′∽△ACB，点E′与点B对应；△BDF′∽△BCA中，点D与点C对应.

师：把类似的情况留下一种，就是图7和图8这两个图形，如图7是“正A”型，图8是“斜A”型，接下来把图8做变化.

图7

图8

追问1：如图9，过点D作直线交AC于点E，如果点E与点C重合，点D在边AB上，当点D满足什么条件时，存在三角形相似？

图9

师：可以先找什么条件？

生9：找公共角.

师：哪个角是公共角？除了公共角，还要满足什么条件？

生10：∠A是公共角，再加上另外两边对应成比例，.

师：此时哪两个三角形相似？

生10：△ADC∽△ACB.

师：除了这两个三角形相似，还有其他相似三角形吗？

生：△ABC∽△CBD.

师：如果要让它们相似，需要添加什么条件？

生11：加上条件∠BDC=∠BCA，又因为∠B是公共角，由两个角分别相等证得三角形相似.

师：好，大家想一想，有没有可能△ADC与△BCD也相似？

生12：当CD是边AB的垂直平分线时.

师：你认为当CD是AB的垂直平分线时，会有什么情况？

生12：两个三角形可以全等和相似.

师：此时，△ABC是什么三角形？

生：△ABC是等腰三角形.根据等腰三角形的“三线合一”性质，△ACD与△BCD既全等又相似.

师：什么情况下，还会有相似三角形产生？

生13：当∠ACB是直角时.

师：当∠ACB是直角时，会不会有相似三角形产生？此时，点D要满足什么条件？

生13：当CD是边AB的垂线时，有三角形相似.

师：这就是我们接下来要考虑的问题.

追问2：如图10，当∠ADC=∠ACB=90°时，图中有几对三角形相似？你能得出哪些结论？

图10

师生活动：学生在学案上写出有哪些相似的三角形，有什么特殊的结论.教师请生13上台板演书写结论.学生针对黑板上书写的三个相似三角形△ACD∽△ABC，△BDC∽△BCA，△BDC∽△CDA，得到对应边的比例式.教师强调书写三角形相似时对应顶点写在对应的位置上，可以直接根据顶点的对应顺序把对应边写出来，从而得到乘积式AC2=AB·AD，BC2=BA·BD，CD2=BD·DA，并指出这是高中要学习的射影定理.同时，教师指出遇到乘积式的问题经常可以化为比例式，用相似来解决.接着教师让学生考虑：如果△ABC变化为等腰三角形时，会不会有三角形相似，提出追问3.

追问3：如图11，在△ABC中，AB=AC，D是边AB上一点，连接DC，当点D满足什么条件时，有三角形相似？此时∠ABC的度数为多少？

图11

教师通过学生的回答，层层追问，得到以下结论.

情况1：如果∠BCD=∠A，此时∠B又是公共角，就有△BDC∽△BCA.

情况2：可以添加条件BC=CD，此时△BCD与△ABC都是等腰三角形，只要有一个底角或顶角相等，就可以有三角形相似.由∠B是公共角，可以得到△CBD∽△ABC.

情况3：由前面的条件，直接求角的度数有困难，可以添加BC=CD，AD=CD，此时有三个等腰三角形，即△CBD，△DAC，△ABC.可以设其中一个角的度数为x，通过角与角之间的关系转换，由三角形内角和为180°，求出∠ABC的度数为72°.

教师适时给出情况3中△ABC三个内角的度数分别为72°，72°，36°，它是一个黄金三角形，之所以称之为黄金三角形，是因为其底与腰的长度比为黄金比值，点D是一个黄金分割点.当△ABC是钝角三角形时，也有黄金三角形，如图12中，AB=AC，∠BAC=108°.

图12

奥苏贝尔指出，影响学习的唯一的、最重要的因素是学生已经知道了什么.在前面已经对比、复习全等三角形和相似三角形相关知识的基础上，教师提出思考题，把全等和相似有机地联系起来.问题的设置具有起点低、开放性的特点，使学生容易接受，能面向全体学生，能自然而然地引发不同层次学生的思考，引导他们进行积极的数学活动体验.

追问1、追问2、追问3的设置，全部以开放题的形式呈现，避开了具体数值的计算，强调知识间的内在逻辑，重在体现学生的思维过程.问题的提出层层递进、环环相扣，把相似三角形的各种基本图形有机联系起来，使学生在变化中感知，由知识间的联系自然而然地进行拓展延伸.射影定理与黄金三角形的提出，丰富了学生的认知.同时，也适时渗透了数学的转化思想和分类讨论思想.

这样的学习注重数学知识发生、发展过程，学生思维的发生、发展过程，注重数学内在的前后一致、逻辑连贯性，符合学生的思维规律和认知特点，也与学生的认知准备相适应，让学生的思维自然生长，有利于知识的整体建构，从而引导学生学会学习，发展学生的数学核心素养.

3.动态演示，建构体系

教师用几何画板软件动态演示不同图形的变化过程，学生体会不同图形之间的相互联系.

师生共同归纳相似三角形基本图形之间的转化关系，得到如图13所示的图形.

图13

几何画板软件的动态演示呈现了图形之间的相互联系、转化过程和图形的生长变化过程，与前面的静态思考相辅相成.通过对比感悟，使学生建构知识网络体系，促进思维的生长.

4.应用巩固，挑战自我

练习：如图14，在△ABC中，点D在边BC上，有下列三个关系式：① ∠BAC=90°；②；③AD⊥BC.选择其中的两个式子作为已知，余下的一个作为结论，写出已知、求证，并证明．

图14

此题以开放题的形式呈现，与前面的知识联系紧密.学生通过独立思考、自主探究、讨论交流，寻找解题策略，发现有两个方案可行：已知①③，求证②；已知②③，求证①.方案已知①②，求证③不可行.教师此时展示此题的微课视频，解析为什么把①②作为已知条件，③作为结论是错误的.教师指导学生解题后进行反思总结，加深对所学知识的理解，进一步巩固相似三角形的性质和判定，提高学生分析问题和解决问题的能力.

5.归纳概括，总结反思

学生归纳概括本节课所学的知识点、研究问题的方法和所用到的数学思想方法.

学生通过对本节课知识的梳理总结，把零散的知识点有机联系起来，形成整体框架，明确每个知识点在整体框架中的位置，归纳在研究问题的过程中所用到的研究思路和数学思想方法，从而形成完整性和结构性的思维，形成知识体系.

二、教学启示

数学核心素养是学生通过数学学习而逐步形成的具有数学特征的关键能力、必备品格与价值观念.如何以数学知识为载体在课堂教学中发展学生的核心素养？《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出：教学中注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历知识的发生、发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径.帮助学生积累基本活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果.数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志.也就是说，我们可以从数学知识发生、发展的过程，从学生思考问题的思维过程，从学生参与数学活动的过程，来发展学生的数学核心素养.在本节课的教学中，笔者主要从以下三个方面落实核心素养.

1.重视过程教学，放慢教学节奏，给学生“悟”的时间

裴光亚曾说：“数学是过程，数学教学是过程，如果没有过程，教学艺术在哪里发生？如果没有过程，教学灵魂在何处安放？”《标准》也指出：学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上；学生应用知识并逐步形成技能，离不开自己的实践；学生在获得知识与技能的过程中，只有亲身参与教师精心设计的教学活动，才能在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展.本节课的教学重视学生主动获取、生成和发现知识的过程，教师给予学生充分思考的时间和空间，从全等三角形和相似三角形的对比，到图2的不断丰富，不断变化，不断生成新的图形，都由学生自己探索，亲身感悟，给学生“悟”的时间，使学生从中获得“如何思考”的体验.教师启发学生主动思考，达到知识的融会贯通、自然生成，促进学生创造力的发展，从而发展学生的探索精神和理性精神.

2.设置开放性问题，自然生长拓展，给思维“长”的空间

题目只是一个载体，数据只是一种量化.复习课的教学容易产生知识点的堆积和题目的堆砌，学生往往以思维惯性来解决问题，容易造成思维的固化.《标准》指出：数学知识的教学，要注重知识的生长点与延伸点，把每节课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析，从不同的层次进行理解.

本节课的教学从对比全等三角形和相似三角形的知识点这个起点出发，找到全等和相似之间的联系这个生长点.从一道简单的思考题、简单的图形不断生长拓展，以开放式的问题、递进式的追问和精心设置的问题串，自然而然地引发学生的思考.从学生对问题不同角度的阐释中找到知识的延伸点，让学生的思维自然生长、不断生长，让学生经历完整的思维过程.追问1、追问2和追问3的设置没有用到具体的数值，而是注重学生思维上的活动，让学生从琐碎的计算中解脱出来，抓住思维的本质，注重思维的一致性和逻辑的整体性，从而进行系统的思维训练.这节课是对已学习的相似三角形知识点的一次重新建构，可建构学生的数学知识的逻辑体系，让学生学会思考、学会学习，从而有逻辑地创造性思考，发展学生思维的逻辑性、批判性、灵活性和创新意识.

3.建构和谐课堂，发挥内在力量，给素养“润”的环境

哲学家雅斯贝尔斯说：“教育就是一棵树摇动一棵树，一朵云推动一朵云，一个灵魂唤醒另一个灵魂.”教学过程不仅是师生双方信息交流的过程，同时也是情感交流的过程.任何有效的学习都是一个主动建构的过程，但这种主动性要在主体有较强的自我意识的前提下才能形成.在本节课的课堂教学中，教师为学生营造宽松、民主的学习环境，以低起点调动学生参与数学课堂活动的积极性和主动性，尊重学生的个性差异，重视学生的思考过程，引导他们在思考题和对追问1、追问2、追问3的探索中，对数学学习活动中的经验、直觉、想象、猜想、抽象等因素，进行有意识的、主动的、自觉的体验；给予学生表达自己想法的机会，对学生的回答教师要给予及时的鼓励与肯定；带领学生发现并提出问题，认识到相似三角形的知识之间内在的结构和联系；让学生的数学学习更加接近数学研究的真实过程，以保证他们在数学学习中有足够的机会进行主动的学习实践活动，从而使他们在主动的思维活动下学习数学，发挥数学学习的内在力量，促进不同的学生在数学学习中不同的发展，促进学生的全面发展.以期达到“随风潜入夜，润物细无声”式的心灵的融合，智慧的碰撞，生命的对话，在自然而然中发展学生的核心素养.