基于数学核心素养的课堂教学实践——“勾股定理”教学实践与反思

李靖敏

（北京航空航天大学实验中学（中学部））

教什么，如何教？这是教师教学的永恒课题.基于数学核心素养的课堂教学，就是要教给学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，帮助学生建立研究数学问题的一般过程与方法，使学生不依赖模仿、记忆，而是通过自悟、他悟、最终顿悟，使学生数学核心素养的培养落到实处.

笔者在课堂教学实践中进行了基于数学核心素养教学的尝试，以勾股定理教学内容为例，通过创设合适的教学情境，提出合适的教学问题，启发学生思考，相互交流，让学生在掌握知识与技能的同时，理解数学知识的本质，感悟数学的思想，养成和发展数学核心素养.

一、设计思路

勾股定理是大家熟知的古老而重要的几何定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形的重要性质，是解直角三角形的主要依据.它把形转化为数，体现了数形结合的重要思想；它引发了第一次数学危机，导致了无理数的发现，蕴含着丰富的历史文化内涵；它不仅在数学领域有重要地位，而且在其他自然科学中也被广泛应用着.同时，网络提供了大量的关于勾股定理教学的丰富资料，为学生自主学习提供了更广阔的天地.教师若能恰当利用这些网络资源，通过精心设计、合理安排课堂，本节课的教学将对学生学习知识、培养能力、体验情感起到很好的促进作用，有助于学生在具体的情境中发现、提出和解决问题，有利于学生核心素养的养成和发展.

为此，笔者对人教版《义务教育教科书·数学》第十七章“勾股定理”进行了再创造，将勾股定理的发现和证明作为第一节课的教学内容，而将勾股定理的应用放在下一节课.

笔者将勾股定理的发现和证明设计为一节数学活动课.运用现代教育技术，为学生提供信息资源，创设教学情境，通过设计系列问题，引导学生在计算机上做实验，探索并发现勾股定理；引导学生从特殊到一般，用度量、数格子、拼图等多种方法，验证、证明勾股定理，让学生经历勾股定理建构的过程.在这一过程中，让学生思考、尝试、探索，以一个创造者的身份探究知识，激发学生的学习热情，从中体会数形结合的重要性.通过上网查询，可以丰富学生的知识，开阔学生的视野.

二、课堂教学实践

1.创设情境，导入新课

教师的教学方式要服务于学生的学习方式.首先，我们来思考一下，在何种情况下，学生学得最好？当学生感兴趣时，当学生智力遭遇到挑战时，当学生能自主地参与探索与创新时，当学生能够学以至用时，当学生得到鼓舞与信任时，他们学得最好.在此环节中，笔者设计了如下两个问题.

（1）教师首先引导学生复习直角三角形的边和角的有关性质，指出“斜边大于任何一条直角边，两条直角边的和大于斜边”是直角三角形三边之间的不等关系，既然有不等关系是否还存在等量关系？又有怎样的等量关系呢？

（2）同学们知道古代商高测天的典故吗？

周公：天高几何？商高：把一根直尺折成直角，两段连接得一个直角三角形，若勾3，股4，则弦5，用此法可测天高.

远在3 000多年前，我国古代的数学家就发现了直角三角形三边之间存在着重要的等量关系，并把它称为勾股定理.很多具有古老文化的民族和国家都会说：首先认识的数学定理是勾股定理.今天我们就来学习这一古老而重要的定理.

两个问题的抛出犹如一石激起千层浪，在这里，答案并不重要，重要的是学生迫切寻求答案的心情.此时学生充满好奇心，有着强烈的求知欲，在此情境下，引导学生自然而然地进入到探究勾股定理的美妙、有趣的世界中.

2.实验操作，探索新知

教师指导学生在计算机上利用几何画板软件进行探究实验，让学生体验发现勾股定理的历程.

埃德加·富尔在《学会生存》一书中指出：未来的文盲不再是那些不识字的人，而是那些不会学习的人.基于数学核心素养的课堂教学更多的要关心学生如何学，引导学生学会学习.因此，在学习勾股定理时，笔者并没有把勾股定理的内容直接呈现给学生，而是指导学生进行数学探究实验，让学生体验、发现勾股定理的历程，主动参与类似的科学研究活动，从而学会研究问题的方法与策略.为此在这一环节中，笔者设计了如下三个不同层次的实验.

实验1：在几何画板软件中画一个直角三角形，探究直角三角形三边之间的等量关系.

问题1：画出直角三角形后，测量三边的长度，并改变边长的大小，有何发现？

学生没有发现什么规律.

问题2：既然没发现三边的一次的等量关系，不妨分别计算各边的平方或立方，看看会有什么发现？

学生发现两条直角边的平方和等于斜边的平方.

问题3：三边间的这种等量关系是否只有直角三角形才具有？将此直角三角形变为锐角和钝角三角形，这个规律是否存在？有何新的发现？

学生得出：在△ABC中，若∠C＜90°，则a2+b2＞c2；若∠C＞90°，则a2+b2＜c2；若∠C=90°，则a2+b2=c2.而且这个等量关系是直角三角形所独有的.

学生的疑惑：为什么要从边的平方上找等量关系？古代没有精确的测量工具，古代的数学家是如何发现这一等量关系的？若不测量三边的长度，是否还有其他方法证明勾股定理？

实验1意在让学生从度量三边的长度进行数据分析，从而发现勾股定理是直角三角形所独有的性质，激发学生探究古代的数学家是如何发现勾股定理的欲望.同时，针对学生的疑惑，启发学生改变思维角度，从数量a2上来联想它所表示的几何图形，将学生的思维从对边的数量关系的探究引到对形的度量的探究之中，使学生渐渐形成数形转化的思维习惯，逐步养成数学素养.

实验2：以直角三角形的三边长分别向形外作正方形，探索三个正方形面积之间存在的等量关系.

问题1：（用度量的方法验证）如图1，用几何画板软件的测量工具测量正方形1、正方形2和正方形3的面积，并改变图形的大小，再次测量，你能得到什么结论？

图1

学生通过分析数据，得出S正方形1+S正方形2=S正方形3.

问题2：（在特殊的等腰直角三角形中用拼图法验证）如图2，当图1中的三角形变为等腰直角三角形时，能否用分割、拼接的方法得出S正方形1+S正方形2=S正方形3？

图2

图3

如图3，学生通过连接各正方形的对角线，得出S正方形3=4S△ABC，S正方形1+S正方形2=4S△ABC.从而S正方形1+S正方形2=S正方形3.

问题3：（在一般直角三角形中，用网格计算正方形面积验证）当图2中的三角形为一般的直角三角形时，能否用割补、拼接的方法得出S正方形1+S正方形2=S正方形3？

观察图4，在边长为1个单位长度的小方格组成的网格中，正方形A中含有_____个小方格，即正方形A的面积是______个单位面积；

正方形B中含有______个小方格，即正方形B的面积是_____个单位面积；

正方形C中含有______个小方格，即正方形C的面积是_____个单位面积.

图4

师生活动：在计算正方形C的面积时，学生遇到了困难，让学生相互讨论，教师参与讨论之中，与学生共同研究，启发学生用如下的割补法去验证.

方法1：将正方形C的面积利用割补法拼凑成25个小正方形网格；

方法2：如图5，将正方形C的面积划分为两条直角边均为整格子的全等的直角三角形和一个小正方形网格. 通过计算，得出S正方形A+S正方形B=S正方形C，即a2+b2=c2.

图5

学生观察正方形C，得出结论：大正方形C的边长为四个全等直角三角形的斜边，中间小正方形的边长恰为直角三角形两条直角边的差，为勾股定理的证明做铺垫.

实验2通过面积的度量、特殊图形的拼图、一般图形下面积的割补拼接验证勾股定理，层层递进.学生亲身经历由特殊到一般从形的角度验证勾股定理的过程，不仅掌握了研究图形面积常用的方法，而且在生与生、师与生的交流中，感悟到研究问题、解决问题的方法与策略，理解数学知识的本质，从而提升数学素养.

实验3：拼图实验，从特殊到一般地完成勾股定理的证明.

问题1：在几何画板软件中，给出任意摆放的如图6所示的8个全等直角三角形，选用其中的4个进行拼图，完成等量关系a2+b2=c2的证明.

图6

图7

教师将学生分成4人的研究小组，要求协作完成.由于受到实验2中问题3的启发，学生很快拼出图7.

师：如何用图7来证明勾股定理？

学生代表的回答如下.

生1：图6中，以斜边c为边长的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成的.每个直角三角形的面积为，中间小正方形的边长为b-a，则大正方形的面积为(b-a)2.所以c2.化简得a2+b2=c2.

师：还有其他拼法吗？

生2：我们组拼的是以a+b为边长的大正方形（如图8），是由4个相等的直角三角形再加上中间的边长为c的正方形组成，大正方形的面积为.化简得a2+b2=c2.

图8

师生活动：教师对学生的回答给予及时的评价及鼓励，并引导学生对两种拼图的方法及证明进行比较，找出共同点及不同点.教师指出图7称为弦图，是我国古代三国时期著名数学家赵爽的证明图.通过几何画板软件演示古代的原始弦图，介绍赵爽生平简介.然后教师向学生介绍2002年国际数学家大会的会标选用的就是这个图，从而激发学生的学习热情和民族自豪感.

问题2：若选用其中的2个全等三角形拼图，能完成等量关系a2+b2=c2的证明吗？

师生活动：学生积极思考，动手拼图，很快大部分学生想到利用对称性拼成图8的一半（如图9），再通过计算梯形面积进行证明.教师指出，早在1876年，美国第20任总统伽菲尔德就给出了这种面积证法，同时表扬学生的证法.此时学生非常兴奋.

图9

问题3：我们从特殊到一般，通过猜想、实验、证明了在Rt△ABC中，若∠C=90°，则a2+b2=c2这一重要的等量关系，这一等量关系称之为勾股定理，如何用语言叙述勾股定理的内容呢？你知道勾股定理名称的由来吗？

问题4：（1）教师展示我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中用“青朱出入图”证明勾股定理的方法（如图10），对学生进行爱国主义教育.

图10

图11

（2）观赏如图11所示的“毕达哥拉斯树”，让学生充分享受数学的美妙与神奇，进一步激发学生的兴趣和热情.

用拼图实验和面积方法证明勾股定理，激发学生潜在的能力，提升学生的抽象概括、逻辑推理能力.在勾股定理的证明过程中，学生体验到成功的快乐，体验到数学的美与神奇，更加热爱数学课堂.同时，用弦图进行爱国主义教育，使学生的数学素养在课堂上得到提升.

以上三个实验，学生通过操作、探究、分析、交流、合作等一系列活动，以他们自己的方式建立起对问题的理解，并通过对自己建构的反思，深化对勾股定理的理解.学生具有很强的认知主体性，有着丰富的智慧.教师的挖掘与引导则能起到松土激活的作用，体验到学生的思维和智慧是可教的.教师是学生思维发展与智慧提升的引导者和推动者.

3.回顾反思，网上查询

（1）师生一起回顾勾股定理的探索过程，让学生自己归纳本节课所学知识，形成完整的知识体系.

（2）让学生反思勾股定理的探索过程，帮助学生梳理探索过程中所体现的数学思想及科学的探索方法.

（3）介绍利用拼图法验证勾股定理是我国古代数学家的伟大贡献，目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有几百种，你想知道这些美妙证法吗？请上网查询《勾股定理的证明与推广》.通过网上查询，学生对勾股定理的证明方法有了更充分的了解，同时也感受到勾股定理丰富的文化内涵.让学生把自己学到的勾股定理的证明方法写成一篇小论文.

三、教学反思

1.基于数学核心素养的课堂教学，“问题”是课堂的核心

本节课改变了以往定理教学的方式，创设了合适的教学情境，提出了合适的教学问题，在问题情境下展开教学.首先，从直角三角形中存在不等量关系，是否还存在等量关系，又有怎样的等量关系，以及商高测天的典故入手，引发学生探究问题的欲望，而后通过问题引领，逐步深入，引导学生画直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，测量边长，分析数据，验证勾股定理.面对学生的疑惑，寻根溯源，将学生的思维从对边的数量关系的探究引导到对正方形面积的度量的探究之中.通过数形的转化，引发学生深层次的思考，给学生更多的思考空间，使学生“想知”，也“能知”，使更多的学生积极参与到问题的思考之中，从而发挥出最大的主观能动性，收获最好的探究勾股定理历程学习体验.因此，“问题”的设计是关键，是课堂的核心.

2.基于数学核心素养的课堂教学，思维活动是课堂的主线

本节课从实验1、实验2和实验3的生成，问题的设置层层递进，使学生思维活动逐步提升.每一名学生在几何画板软件中动手操作实验，亲身经历多次由特殊到一般、数与形的相互转化过程，学生对数学思想的感悟在三个实验操作中得到深化；在度量、数格子、拼图等多种方法，验证和证明勾股定理的过程中，掌握研究数学问题的方法，理解数学知识的本质；通过操作、探究、分析、交流、合作等一系列活动，生与生、师与生思维不断的碰撞，学生发现问题和解决问题的逻辑思维能力在交流讨论中得以提升，学生的直观想象、数学运算、数据分析、逻辑推理、数学抽象的核心素养在课堂上逐渐养成.因此，思维活动的设计是重点，是课堂的主线.

3.基于数学核心素养的课堂教学，发展学生数学核心素养是课堂的最终目的

基于数学核心素养的课堂教学强调知识发生、发展的过程，强调学生探究新知的经历和获得新知的体验.当然，强调过程意味着学生可能要在解决问题的过程中面临困惑、挫折和失败，这同时意味着学生可能要花费较多的时间和精力，结果却一无所获.但这是一个人学习、生存、生长、发展、创新所必须经历的过程，也是一个人能力与智慧发展的内在要求，它是一种不可量化的“长效”，一种难以言说的丰厚的回报，而眼前的耗时、耗力应该说是值得付出的代价.

基于数学核心素养的课堂教学，不仅要让学生收获知识，更重要的是让学生学会思考问题的方法，选择解决问题的策略，表达解决问题的过程，进而发展学生的数学思维与能力.因此，发展学生数学核心素养是课堂的最终目的.