基于三方作战的Lanchester模型研究∗

（海军航空大学 烟台 264001）

1 引言

1914年，英国工程师F.W.Lanchester提出Lanchester方程［1］。该类方程首次使用数学方法定量分析战争结果与作战双方兵力规模和火力强弱的关系，许多学者针对该类方程的线性率和平方率进行了系统的研究［2～4］，并针对不同的情况对方程进行补充与拓展［5～12］。在之前的研究中，大多研究对象为两方作战［13～17］，对于三方作战的研究处于起步阶段［18］。在在当前错综复杂的世界格局里，一些国家和地区不可避免地会出现内乱和多方混战的情况，比如波斯尼亚内战、伊拉克内战和叙利亚动乱［19］，由于缺少理论分析工具，会使国家在分析、处理这种局势尤其在对战争结果预测中出现一定的偏差。本文基于这样的背景下对三方作战进行分析，尝试得到一些有意义的结果。

2 三方作战Lanchester模型

2.1 经典Lanchester作战模型

经典Lanchester作战模型中使用B和R表示参战双方的兵力，则B(t)和R(t)表示作战双方在t时刻的部队规模，其具体形式如式（1）所示：

其中 F(x，y)和G(x，y)表示在t时刻 B和 R的战斗损伤兵力数，α和β为非战斗减员系数，U(t)和V(t)为B和R的增援率。

在不考虑自然环境、士气、等条件，方程组（1）可转化为线性率和平方率，分别如式（2）和式（3）所示：

式（2）中al和bl分别表示R和B的损伤系数，即单位数量的一方在单位时间内对另一方打击造成被打击方损伤的单位数。式（3）中as和bs与式（2）中的al和bl意义相同。线性率主要适用于间接瞄准的面射击情况，即双方由于地形等因素影响导致无法精确瞄准而只能对区域进行射击的情况，适用于表示游击队作战损伤情况，平方率主要适用于在规模化集团军队战斗条件，用于拟合正规军作战损伤情况。

2.2 基于经典方程的三方Lanchester作战模型

作战对象由两方拓展到三方需要考虑以下因素：一是要考虑参战部队的性质，从而确定使用线性率或者平方率。二是要考虑部队之间的关系，由于一方要考虑同时对两方作战，使用的武器和分配的兵力并不完全相同，需考虑兵力分配问题。三是三方作战随着时间的演化会有多种结果，需分情况分析。

在不考虑士气、通信和网络等条件下建立基于平方率的三方Lanchester作战模型如式（4）所示：

式中：Ii(t)，i=1，2，3表示第 i方在第 t时刻的部队规模。 aij，i，j=1，2，3 表示第 j方对第 i方的损伤系数，这是由战斗所使用的武器装备决定的，yij，i，j=1，2，3 表示第 j方对第 i方的兵力分配系数，这是由作战策略和兵力分布决定的。Ui(t)，i=1，2，3 为第 i方的增援率。 τ1表示三方作战第一阶段结束时间。该模型考虑的作战三方皆为正规军，故以经典Lanchester平方率为基础进行拓展。

当作战三方皆为游击队时，在不考虑其他因素下建立三方作战Lanchester如式（5）所示：

式（5）与式（4）的参数意义相同。对于式（4）和式（5），有以下约束条件：Ii(0)≥0=1，aij＞0，i，j=1，2，3。对于三方作战的任何一方部队，其部队规模是有限的，故其必须在初始时刻部队规模大于等于0才可使得模型有意义，且一方分兵对抗两方作战其兵力系数的总和为1，损伤系数也不可为负，否则与战争的实际情况不符。

2.3 混合战情况下三方Lanchester作战模型

目前在现实中的多方作战，并不是完全的同种性质部队间的对抗，常常会出现游击队和正规军之间的作战，而正规军常常为本国或他国的政府军，游击队则为本国的反政府武装或者是极端组织军队。此时的作战已经属于混合战的范畴，需要重新建立模型。

Deithman.S.J于1962年以Lanchester线性率和平方率为依据，建立Lanchester混合战模型［20］，假设蓝方为正规军，红方为游击队，在不考虑自然环境、士气和增援等情况下建立模型如下：

式中am和bm分别表示蓝方和红方的损伤系数。由于游击队活动范围大，隐蔽性高，与正规军交战时常采用机动灵活的战术，导致正规军对游击队的打击多为间接瞄准的面射击，故游击队应符合线性率。而正规军多在开阔地带，所受游击队的范围打击，故符合平方率。

在三方作战中混合率模型分为两种形式，一种是两方为正规军，一方为游击队，其模型如下所示：

式中，J(t)表示在t时刻游击队的规模；Ii(t)，i=1，2表 示 在 t时 刻 正 规 军 的 规 模 ；bi，i=1，2表示游击队对第i方正规军的损伤系数；aji，i，j=0，1，2，i≠j表示第 i方正规军对第 j方的损伤系数；V(t)和Ui(t)，i=1，2表示游击队和政府军的增援率。

第二种为两方为游击队，一方为正规军，其模型如下所示：

式中，Ji(t)，i=1，2表示在t时刻游击队的规模；I(t) 表 示 在 t 时 刻 正 规 军 的 规 模 ；bji，i，j=0，1，2，i≠j表示第 i方游击队对第 j方的损伤系数，ai，i=1，2表示正规军对第i方游击队的损伤系数，Vi(t)，U(t)，i=1，2 表示游击队和政府军的增援率。

2.4 作战结果的情况分析

由于三方作战与两方作战相比结果更为复杂，需将作战分为两个阶段，第一阶段为三方初期作战阶段，时间范围为[0，τ1)，此时三方皆在作战，到达时间点τ1时，此时在战场上最多有两方作战，也就是说，在第一阶段战斗结束后，至少有一方部队被消灭。第二阶段为决胜作战阶段，时间范围为[τ1，τ2)，此时战场上最多存在两方势力，三方作战模型转化为经典Lanchester作战模型，当到达时间点τ2时，此时战场上最多有一方，此时战斗结束，仅存的一方获得战斗胜利。

同时由于参数设置的不同，最终的作战结果会出现以下五种情况：1）在作战第一阶段作战三方在一定的时间内同时被消灭，此时作战没有胜利方。2）在作战第一阶段作战三方在一定的时间保持稳定共存，此时作战会一直继续直到出现影响平衡的第三方因素出现从而改变作战结果。3）在作战第一阶段有一方被消灭，到达第二阶段剩余两方保持稳定共存。4）在作战第一阶段有一方被消灭，到达第二阶段有一方被消灭，剩余一方获胜。5）在作战第一阶段作战三方中两方被同时消灭，剩余一方获胜。

3 多方Lanchester作战模型

根据经典和三方Lanchester作战模型，在不考虑自然环境、士兵士气、指挥方式、敌我情报、策略、通信等条件下，将参与作战的部队分为正规军部队和游击队，但两两之间互相为敌，建立多方Lanchester作战模型如下：

假设参战部队有m方正规军和n方游击队，正规军阵地位于开阔地形间，便于其火力的展开，符合Lanchester平方率的适用条件，游击队阵地位于山地中且活动范围较广受到的攻击为间接的“面射击”，符合Lanchester线性率的适用条件，且交战过程中没有第三方因素的影响，模型的数学表达式为

式中Ii(t)表示第i方正规军在t时刻的部队规模；Jj(t)表示第 j方游击队在t时刻的部队规模；ais和am+j，s表示第s方正规军对第i方正规军和对第 j方游击队的损伤系数；bil和bm+j，l表示第l方游击队对第i方正规军和第 j方游击队的损伤系数；yis和 ym+j，s表示第s方正规军对第i方正规军和第 j方游击队的兵力分配系数；zil和zm+j，l表示第l方游击队对第i方正规军和第 j方游击队的兵力分配系数。

当已知各个参战部队的部队规模、使用武器与战略战术的情况下，可以使用上述多方Lanchester作战模型进行模拟分析并得到宏观上的结果。

4 三方Lanchester作战模型在游击作战应用

当前形势下，在中东、非洲等地区常常存在三方甚至是多方作战，发生这种战争的起因往往是由于一国国内政局动荡并受到外部势力的干预，导致原来国内的一些政府军发生叛乱变为反政府武装，这些反政府武装往往会从平民中募集部队使得反政府武装往往具有游击队性质，同时对于一些边界地区，其他国家也会派遣部队争夺，这就造成了在一个区域内，两方正规军和一方游击队的三方作战。同时，游击队的部队规模较小，人员素质较低，同时武器装备较弱，在三方作战中很难取得优势。通过混合战情况下三方Lanchester作战模型并对其改进，得到游击队取胜的临界条件。

4.1 基于混合战情况下游击队获胜条件

假设参战三方中有两方为正规军，一方为游击队且两方正规军部队规模不相等但正规军所使用的武器装备相同。同时，不考虑自然环境、士气、通信、增援等因素，则根据式（7）定义参数：U1(t)=U2(t)=V(t)=0，I1(0)=3，I2(0)=2，a01=a21=1，a02=a12=1，y01=y02=0.3，y10=y20=0.7，z10=z20=0.5，J(0)的取值范围为[0.1，10]，bi，i=1，2 取值范围为 [0.5，3]。利用四阶隐式Runge-Kutta法并使用Matlab软件进行数值模拟，仿真结果如图1所示。

图1 游击队损伤系数与部队规模临界曲线

图1 为通过数值模拟后得到的游击队损伤系数与部队规模临界曲线，从曲线中可以得到四种区域，其中红线下方部分表示较大规模正规军胜利区域，绿线上方表示游击队胜利区域，红线与绿线之间表示游击队和较大规模正规军同时被消灭区域，黑线下方表示较小规模正规军和游击队同时被消灭区域。从图中可以看出，若使得游击队在三方作战中获得胜利，在与正规军损伤系数相同时需要比较大规模正规军高出1.5倍的部队规模，而当部队规模与正规军相当时，需要比正规军高出1.7倍的损伤系数，故如果游击队不使用合作策略很难取得最后战斗的胜利。

4.2 基于合作策略的混合战模型

从上文的可知，游击队和规模较小的正规军在三方作战中很难取得胜利，故引入合作策略，使得两方在作战第一阶段进行合作，建立模型如下：

其中，λ表示游击队与正规军的不信任因子，其它参数意义与式（7）相同，λ与游击队部队规模有关即：

从模型可知，随着游击队部队规模的减小，与正规军合作时不信任因子越小，游击队与正规军合作后因不信任造成的伤亡越小，需要说明的是，不信任因子在式（10）中为常量，即不信任因子的值从游击队和正规军开始合作起便固定下来，不再改变。在第一阶段战斗结束后，根据战斗结果，使用经典Lanchester方程得到最终三方作战结果。

4.3 合作策略的混合战模型仿真

在保持4.1节中正规军的参数不变的情况下，假设游击队初始部队规模J(0)=1，游击队的损伤系数为bi=0.7，i=1，2。通过图1可知，此时游击队无法取得战斗胜利，先讨论两种情况，一种为从战斗开始时游击队和正规军便合作，此时λ=0.1，另一种为当游击队部队规模为初始规模的0.5倍时游击队和正规军开始合作，此时λ=0。使用Matlab对以上两种情况进行数值模拟仿真。

图2 λ=0.1时第一阶段作战结果图

图3 λ=0.1时第二阶段作战结果图

图2 和图3分表示在游击队未损伤时即作战开始时游击队便和正规军合作的作战结果，从模拟的结果可知，在t=1.4时第一阶段结束，与游击队合作的正规军被消灭，此时剩余两方在战场上，使用经典Lanchester混合战模型，在t=10时，正规军被消灭，游击队胜利。在使用合作策略的情况下，游击队取得了在无策略情况无法取得的胜利。

图4 λ=0时第一阶段未合作时作战结果图

图5 λ=0时第一阶段合作时作战结果图

图6 λ=0时第二阶段作战结果图

图4 表示游击队和正规军未合作时的三方战斗结果，在时，游击队规模为初始规模的0.5倍，此时游击队与正规军合作，不信任因子。图5表示游击队与正规军合作后的三方作战结果在时，与游击队合作的正规军被消灭，此时三方作战转化为两方作战，适用Lanchester混合战模型。图6表示第二阶段的作战结果，当时游击队的部队规模趋于0，此时认为游击队被消灭，战斗结束，正规军获得胜利。虽然游击队与正规军进行合作，但由于合作时间选择失误，导致在第一阶段结束时较强正规军损失较少使得游击队在第二阶段被正规军消灭，说明合作的时机选定很重要，根据多次仿真模拟得到当游击队损耗为初始规模的0.6倍时与正规军合作，此时，在第二阶段与正规军同时被消灭，此条件为合作策略下游击队获得三方作战胜利的临界条件。仿真结果如图7、图8和图9所示。

图7 临界条件下合作第一阶段未合作时作战结果图

图8 临界条件下合作第一阶段合作时作战结果图

图9 临界条件下合作第二阶段作战结果图

游击队若想最终取得三方作战胜利则必须在其部队规模被消耗为初始规模的0.6倍前与较弱正规军合作，超过临界点合作虽然不信任因子较低，但较强正规军在前期作战保存了大量的部队导致最后战斗无法胜利。

5 结语

对于传统两方作战，三方作战相对来说更加复杂，结果更难预测，本文建立的三方作战模型在不考虑自然环境、士气、信息、网络等因素的影响下，根据参战部队的性质确定模型的具体形式，引入兵力分配系数明确参战三方的各自的兵力分配情况，使得模型的计算结果可以更加贴合实际情况。同时，考虑了基于混合战的三方作战中有游击队和较弱正规军合作的情况，引入不信任因子，并求得了临界条件，宏观地预测了战争的最终结果。并且将三方作战模型推广到多方作战，建立多方Lanchester作战模型，对于解决多方作战问题有一定的指导意义。