空间向量外积在立体几何中的应用

诸葛得莉

【摘要】文章结合学生在立体几何中求解平面法向量的相关现状，通过一节课探讨了空间向量外积在立体几何中的操作可行性及教学中有效输入与输出的重要性，从而减少立体几何中的代数运算，提高学生的做题速度和准确率，解决立体几何中求解平面法向量烦琐的难点。

【关键词】高中数学;空间向量外积;平面法向量;输入与输出

一、引言

2017年版《普通高中数学课程标准》（以下简称《标准》）明确提出了六大核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学学科核心素养既相互独立，又相互交融，是一个有机的整体，具体到空间立体几何内容上，主要体现在数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等方面。立体几何是高中数学的重点内容，是考查空间想象能力的重要载体，每年高考必考一道大题，分值12分。应用空间向量外积法求解平面法向量避免空间向量内积法的三元一次方程的求解过程中的风险，达到避繁就简的功效[1]。近几年，越来越多的一线教师开始在立体几何的教学中拓展空间向量的外积求解立体几何的空间角等问题，解决了立体几何中平面法向量求解的烦琐问题[2]。

二、有关定义与公式

（一）空间向量外积（叉积）的概念

1.定义：记，称为与的外积（叉积）.

其中，向量的模（可由坐标运算证明）;向量的方向使且，符合右手螺旋法则.

2.运算规律：（1）（由定义验证）;（2）（由坐标运算验证）;（3）（由定义验证）.

3.空间向量外积（叉积）几何意义： 的面积（由坐标运算验证）.

（二）空间向量外积（叉积）坐标运算

设，，则.

（三）空间向量外积（叉积）的应用

1.的面积;

2.与为平面内两个不共线向量，则为平面的法向量;

3.;

4.三向量，，的混合积，则三向量，，共面.

（证明略）。

三、输入与输出教学模式课题分析

空间向量外积的引入，为求解平面法向量提供了新的几何视角，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。本文以人教A版选修2-1第三章第二节立体几何中的向量方法为例，具体解读空间向量外积在求解平面法向量中的应用。

[教学过程]

1.复习上节课内容——空间向量的外积，引出平面法向量的另一种求法。

上節课学生已经学习了空间向量外积的定义及运算公式，本节课上课前5分钟师生共同复习空间向量外积的有关内容，旨在让学生快速进入课堂。

设计意图：在复习部分，通过让学生回顾空间向量外积的相关知识，直接把学生带入到本节课的教学中，为本节课的教学内容——空间向量外积在立体几何中的应用做准备。

2.抛出问题，引出本节课的重点内容。

[教学片断]

师：上节课已经学习了空间向量外积的定义及运算，请问，空间向量外积能解决什么问题？

生1：求三角形的面积。

生2：平面的法向量。

生3：我想起了，立体几何大题第二问一般求解线面角和二面角的有关问题，关键在于求平面的法向量。如果会用空间向量外积求平面的法向量，步骤很少，应该能很快算完。

生4：那不见得，我认为空间向量内积求解也很快啊，就是麻烦点而已。

生5：谁说的，我就认为外积法更快一点。只要知道平面上两个不共线向量的坐标，求解马上就得到结果。如果你用内积法来做，你还要设平面法向量的坐标，然后列一个三元一次方程组求解，请问你要算到什么时候？

生4：但是这个公式我记不住啊。那高考错了我大概要损失6分了，6分排名就掉六千了呀，那我不亏死？

……

师：同学们分析得都有道理，两种方法都可以算平面的法向量，我们把这两种方法分别称为内积法和外积法。我们平时做题的时候用哪种方法更好呢？下面我们就实验下到底哪种方法更适合我们。班级兴趣小组有4组，每组5人（高二开学就已经分好每个小组的组员，其中每组的情况差不多），组长分配好组员用哪种方法，或者组员自己挑选方法计算，然后统计好每个人用的时间，再在组内自己对下答案。现在大家就比赛下！（老师利用PPT放映试题。）

例1：已知三点，，.求：平面的法向量.

答案：，（0 -1，1 -0，-1 -1）=（-1，1，-2），则.

（求平面的法向量除了用外，还可以用或者等。）

小组1：组内3个成员利用内积法分别花了3、4、3分钟算得正确答案，其他两人利用外积法分别花了1、2分钟算得正确答案。我们组内成员认为利用外积法求解平面法向量更省时间，更方便。

小组2：我是利用内积法算的，花了4分钟算出正确答案，我美丽的同桌利用外积法4分钟算得正确答案，其他同学我还没有来得及作对比。但是我认为两种方法都差不多，看自己的熟练程度吧。

小组3：我们小组刚刚全部都是利用外积法来求平面法向量，都是2分钟算完，且都是正确的。算完后，我们环顾四周，发现很多人还在计算。

小组4：我们小组情况还不错。每个人都是选择自己喜欢的方法，有2人选择内积法计算，3人选择外积法计算，且都是正确的。然后统计时间发现内积法算得更快一点。

生1：我是这么认为的，如果计算能力较强的同学用外积法解决立体几何中平面的法向量更省时间，心服口服了，以后考试我就用这种方法了，我又可以省下几分钟做其他大题了。

生2：我也决定用外积法来求平面的法向量，既快又准确……

生3：我不是很熟练，计算又不是很好，又害怕记错公式，我觉得我还是用内积法求平面的法向量更稳妥。

生4：外积法求平面法向量会用了肯定很省时间。高考中如果选择、填空题当中要利用平面的法向量去求解一些问题，我用内积法去求那不是很慢吗？本来高考的时间就远远不够用，那我如果用内积法计算不是得不偿失？

生5：那可不见得。我利用内积法求平面法向量更快更省时间呢……

师：老师拓展外积法求解平面的法向量并不是要求你们就一定要用这种方法求平面的法向量。大家要根据自己的实际情况选择解题的方法。

设计意图：在本阶段，一方面，从讨论的话题过渡到做题上，并且让学生小组讨论，每组发表自己的看法，尤其让学生明白做题时一定要根据自己的实际情况选择正确的解题方法，把重心放在结果上;另一方面，学生通过小组合作学习、自主探究，发挥主观能动性，在快乐中学习，增强了学习数学的兴趣。

3.学生做题，总结方法。

[教学片段]

师：现在有内积法和外积法可以求平面的法向量，希望每个同学都能根据自己的实际情况选择做题方法。说得再多都没有用，手底下见真章，大家练习2017年全国I卷理科第18道大题，检验下是否已经掌握解题方法。要求：自己统计你做完这道题花的时间。（教师利用PPT放映例2。）

例2：（2017年·课标全国I卷理科数学）在四棱锥中，，且.

（1）证明：平面平面;

（2）若，，求二面角的余弦值.

设计意图：在本阶段，课堂讨论的方法过渡到做高考題上，让学生体验高考题的难易程度。然后通过结构性的提问，引导学生进行思考，找出自己的做题方法，并且把本节课所学内容变为己用。让学生一步一步掌握方法，降低计算难度，学生的做题输出更容易些。

四、结语

从学生的课堂表现及课后作业来看，学生能够快速利用外积法解出立体几何中空间角的问题，达到本节课的教学目标。学生在课堂上积极活跃，师生互动良好，说明只有新知识的输入，才有学生的输出，才能让学生更愉快地学习，从而体现出教师输入的重要性。在引导过程中，教学环节紧凑，以学生合作交流为主，讲练结合，使教学目标的实现水到渠成。有效的教学需要教师的足够输入，才能帮助学生搭建知识的框架，让学生更有信心去学习。

【参考文献】

[1]林自强.探讨外积法在求解平面法向量中的应用[J].数学学习与研究，2012（07）：99.

[2]葛炳芳.英语阅读教学中的读写整合：铺垫与输出[M].杭州：浙江大学出版社，2017.