六自由度机械臂运动学及奇异性仿真分析

袁 媛

(西安航空职业技术学院 航空维修工程学院，陕西 西安 710089)

0 引 言

串联机械臂作为现代工业中常用的机械臂，具有多自由度、多连杆的特点，被广泛应用于焊接机器人及汽车、船舶、航天等零部件的焊接及喷涂操作中[1]。

作为控制的基本问题，运动学及奇异性已经被广泛研究。安梓铭等[2]基于矢量分析方法建立了3-PRP型并联机构的运动学正逆解模型，并基于雅克比矩阵对其速度和奇异性各向同性配置进行了分析。肖永飞等[3]针对设计的一种上肢外骨骼机构进行了运动学与奇异性分析，针对机械臂在工作空间内的奇异形位提出了一种消除的方法。李瑞霞等[4]建立了六自由度机械臂的运动学坐标系，基于D-H法建立了机械臂的正运动学模型，并进行了工作空间的分析。李宪华等[5]建立了六自由度模块化机械臂的运动学模型，并对工作空间内的奇异构型进行了分析。刘梦军等[6]针对三自由度机械臂进行了运动学正逆解的推导。宋晨等[7]针对所设计的调姿机构建立了其运动学模型，并对其末端误差和误差灵敏度进行了分析。夏田等[8]研究了下肢康复机械臂的运动学模型，并进行了仿真分析。李丽等[9]分析了6R串联机械臂的正运动学模型，并进行了奇异位置分析。丁希仑等[10]对机械臂的空间位姿误差分析方法进行了总结。李志宏等[11]分析了机械臂连杆参数误差对机械臂末端位姿偏差量和末端位姿可靠性的影响。吴硕等[12]基于D-H法推导了五自由度机械臂的运动学模型。赵磊等[13]建立了平面6杆机械臂的运动学模型，并对系统中存在的几何误差对机械臂的控制精度进行了分析。葛为民等[14]通过仿真分析了机器人几何静态误差参数对末端位置误差的影响，并构建了误差参数灵敏度系数模型。张永贵等[15]基于示教器显示的机械臂的位姿建立了运动学参数未知的机械臂的逆运动学模型。王帅等[16]基于D-H法建立了六连杆机械臂的运动学模型，并基于Matlab搭建了仿真模型进行了仿真分析。

本文针对六自由度机械臂的运动分析问题，对机械臂运动学数学模型、末端位置误差、机械臂奇异形位等方面进行研究。

1 六自由度机械臂的运动学分析

1.1 正运动学分析

六自由度串联机械臂如图1所示。

图1 六自由度串联机械臂Ji—关节的转轴；θi—关节转角；Oi—关节坐标系原点

六自由度机械臂有6个旋转自由度的串联型机械臂，末端位置只与前3个驱动关节相关，后3个旋转关节的存在将提高机械臂的灵活性，使得机械臂的灵巧度更高。

为了建立其运动学模型，首先笔者基于D-H关节坐标系后置的方法建立其运动学坐标系，通过D-H法规定的两个相邻坐标系之间的变换规则，得到运动学模型的D-H参数，如表1所示。

表1 焊接机器人的D-H参数

通过相邻坐标系之间的变换矩阵式可以得到相邻关节之间的齐次坐标变换矩阵，并通过坐标系之间的变换得到机械臂末端在其自身基础坐标系下的位置向量与姿态角。相邻坐标系之间的变换矩阵如下：

i-1Ti=

(1)

将机械臂的D-H参数代入式(1)，即可求得各个关节坐标系之间的坐标转换矩阵。根据求得的相邻关节坐标系之间的坐标变换矩阵，机械臂的正向运动学模型可通过相邻坐标系变换矩阵的乘积求得：

(2)

式中：0Tn—末端坐标系到基坐标系的变换矩阵；i-1Ti—第i关节坐标系到第i-1关节的变换矩阵(i=1..,6)。

其中，各转角范围为：

为了验证建立的运动学正解模型的正确性，首先，本文借助于Matlab的机器人工具箱，搭建六自由度机械臂的机构模型，以此模型的输出作为真实的输出结果，给定运动学模型与仿真的结构模型相同的关节转角，比较得到的两种模型的输出的末端位置[px，py，pz]与姿态角[α，β，γ]，以两种模型之间的误差大小来衡量所搭建的正运动模型的正确性。其中姿态角的解析方法采用RPY解析法，由于此种方法比较成熟，笔者通过机械臂末端的姿态矩阵元素来解算末端坐标系绕3个轴线方向的旋转角度(3个姿态角)，此处不赘述。

本研究搭建的正运动模型验证模块Simulink程序如图2所示。

图2 六自由机械臂的正运动学验证模型

本研究将各个关节的转角范围赋给运动学模块与机构模块，设置仿真时间为10 s，仿真步长为0.1 s，运行仿真程序可以得到理论和实际的机械臂末端位姿误差，如图3所示。

图3 机械臂末端位置和姿态误差曲线

从图3可以看出，机械臂末端的位置和姿态与真实的相差很小，3个方向位置误差数量级都在10-13mm，3个姿态角误差数量级都在(10-14)°，由此可见，本文所搭建的运动学正解模型是正确的。

1.2 逆运动学模型验证

基于运动学正解模型，通过等式两侧同时乘以矩阵逆阵及对应元素相等可以求得所对应的运动学逆解，即在给定末端位姿的条件下可以得到对应的关节转角。本研究以关节1为例，首先给定机械臂的末端位姿矩阵如下：

(3)

根据运动学正解模型可以建立等式如下：

(4)

因等号两侧矩阵对应元素相等，可以求得关节1转角θ1的解析式如下:

θ1=atan(py/px)

(5)

求得的其余关节转角为：

其中：

与运动学正解类似，本研究搭建机构仿真模型作为实际输出，通过给定机械臂仿真结构的转角，然后测量机械臂仿真模型末端的位置向量与姿态矩阵，并将位置向量和姿态矩阵组合成为机械臂末端的齐次矩阵作为运动学逆解模型的输入，最终通过比较仿真机构的输入角度与运动学逆解得到的关节转角，以验证运行学逆解模型的正确性。搭建的运动学逆解的仿真验证程序如图4所示。

本研究设置仿真时间为10 s，仿真步长为0.1 s，运行仿真程序可以得到仿真机构模型的输入角度和运动学逆解得到的关节转角误差，如图5所示。

图4 六自由机械臂的逆运动学验证模型

图5 机械臂运动学逆解转角误差

从图5中可以看出：两种模型的转角相差很小，关节转角误差数量级都在(10-11)°，由此可见，本文所搭建的运动学逆解模型是正确的。

2 实验及结果分析

2.1 机械臂末端位置误差分析

位置误差敏感方向分布图如图6所示。

首先本研究在机械臂初始位置状态下，给每个关节转角赋加[-0.5,0.5]°的转角误差范围，仿真分析此时的机械臂末端位置误差。从图6中可以看出，此时的末端误差在x和z方向的变化区间为[-5,5] mm，在y方向的变化区间为[-2,2] mm。从结果中可以看出，关节的转角误差对机械臂末端x和z方向的位置误差影响比较接近，而且误差要明显大于y轴方向。

为了分析末端位置误差对各个关节转角误差的敏感方向，笔者依次在各关节转角的基础上加0.5°的误差。由于机械臂末端的位置只与前3个关节相关，本研究分析机械臂的末端误差时只考虑前3个关节的转角误差。从图6中可以看出，对于θ1的误差影响来说，在x轴方向零位附近时，x方向为θ1误差敏感方向，在y轴附近时y方向为误差敏感方向，全域空间内在三轴方向上的最大误差为e1=[4.36,4.36,0] mm，θ1对机械臂末端的z方向位置无影响；对于θ2的误差影响来说，在全域空间内z方向为θ2误差敏感方向全域空间内在三轴方向上的最大误差为e2=[-4.36,4.36,4.36] mm；对于θ3的误差来说，在x轴方向零位附近时，y方向为θ3误差敏感方向，在y轴方向零位附近时，x方向为θ3误差敏感方向，在全域空间内的其他位置，3个方向上的误差比较接近全域空间内在三轴方向上的最大误差为e3=[1.75,1.75,1.75] mm。

图6 位置误差敏感方向分布图

2.2 多自由度机械臂奇异性分析

机械臂的奇异性是机械臂工作时一个潜在的不安因素。根据之前推导的正确的机械臂正运动学模型，由于机械臂六个关节全为旋转关节，本研究利用旋转关节雅可比矩阵求取方法可求得机械臂末端运动与单个关节之间的映射矩阵如下：

Ji=[(p×n)z(p×o)z(p×a)znzozaz]

(7)

式中：P—第i个关节坐标系到机械臂末端坐标系之间的位置向量；n—第i个关节坐标系到机械臂末端坐标系之间的姿态矩阵第一列向量；o—第i个关节坐标系到机械臂末端坐标系之间的姿态矩阵第二列向量；a—第i个关节坐标系到机械臂末端坐标系之间的姿态矩阵第一列向量。

末端的雅可比矩阵如下:

J=[J1J2J3J4J5J6]

(8)

在推导的雅可比矩阵的基础上，本研究通过编写M文件计算全域空间内的奇异点，即雅可比矩阵行列式的值为零的位姿点。首先将关节转角空间离散成多组散点，其次计算每组转角情况下对应的雅可比行列式的值，最后判断在该组关节转角情况下的行列式值是否为零，若为零则该组转角对应的位姿点即为奇异点，若非零则该组转角即为非奇异点。

通过运行M文件可以得到机械臂的奇异点主要集中在两个位置：(1)θ3=π/2，其余关节转角不管处于何值，此时机械臂都是奇异形位，此时机械臂处于关节转角的极限位置奇异；(2)θ4=θ5=θ6=0，末端的3个旋转自由度处于初始位置，此时不管前3个控制机械臂末端位置的关节角度为何值，机械臂都处于奇异形位，这种情况也属于极限位置奇异。在这两个位置时不管其余关节转角为何值，此时机械臂都处于极限位置奇异。

3 结束语

通过对六自由度机械臂的结构分析，本研究基于D-H法建立了机械臂的正运动学模型与逆运动学模型，搭建了机构的仿真模型，仿真结果显示，所建立的运动学模型是正确的。

基于运动学模型，推导了机械臂运动学雅可比矩阵，通过仿真分析了工作空间内机械臂的奇异形位，结果显示，机械臂存在两个位置的奇异形位，并且都属于极限位置奇异。