关节式同步带减速机械臂精度分析与优化研究*

夏 力，罗路平，徐 琦

(浙江工业大学 浙江省特种装备制造与先进加工技术重点实验室，浙江 杭州 310014)

0 引 言

随着我国工业自动化的发展，装备生产线对机械臂的需求日益增多。机械臂的运动精度及可靠性直接决定了整条生产线的性能。而在实际工作中，机械臂存在许多类型的不确定性误差，会引起机械臂精度低、可靠性差、制造成本高等问题。常见的误差影响因素主要有杆件形变、运动副间隙、磨损等[1]。在机械臂研制过程中，对其影响因素进行分析优化，能有效地提高其精度及可靠性。

运动精度是反映机械臂性能的一个重要指标，运动精度可靠性是指机械臂在规定的使用条件下和规定的使用期限中，精确、及时、协调地完成规定机械动作的能力[2]。近年来，运动精度可靠性受到了国内外学者的广泛关注:LIU G F, WU J[3]针对潜艇蓄电池日常维护困难的问题，对蓄电池设计的维修设备进行了运动精度分析，从传输误差的原因出发，对其进行了理论分析、数值计算和实验分析;XIE Z[4]通过对6自由度机械臂进行运动学和动力学分析，建立运动方程,给出了基于运动参数的精度可靠性分析结果;刘恩等[5]通过建立含加工和装配的尺寸误差和间隙误差的运动误差模型，结合可靠性理论，对铆接机械手运动精度可靠性进行了分析；刘桂峰等[6]通过分析误差产生原因，针对潜艇蓄电池保养机械臂进行了运动精度分析；张永文[7]通过对运动副间隙进行建模，对含间隙可控喷涂机械臂动态特性及运动可靠性进行了分析。以上研究均以简单机械臂或者刚性机械臂作为研究对象，对可靠性的影响因素考虑较少，无法详尽阐述机械臂可靠性的变化机理;同时，针对的大部分是理想状态下的模型，不能如实反映对实际的工程状况，难以为机械臂后续任务规划提供理论支撑。

本文将以关节式同步带减速机械臂为研究对象，针对运动过程中刚柔耦合特性，综合考虑杆长、间隙和同步带柔性等因素建立可靠性模型；通过机械臂实验平台获取相应参数的可靠性数据，并运用一阶二次矩法求解；将模型求解得到的可靠性指标与实验获得的可靠性指标对比以验证模型准确性；基于灵敏度分析对机械臂精度进行可靠性优化，以确定机械臂精度参数。

1 机械臂末端误差模型

关节式同步带机械臂运动示意图如图1所示。

图1 机械臂运动示意图

该机械臂为串联二自由度机械臂，其最主要的特征是运用同步带进行减速传动。同步带在传动过程中，无滑动，能保证恒定的传动比，预紧力小[8]。在实际使用中，有许多因素会影响同步带的传动可靠性，如同步带的弹性伸长、带轮传动的多边形效应、带轮的偏心等等。除此之外，机械臂大臂小臂受到加工误差、受载变形的影响、关节处受到关节间隙的影响，都会对机械臂的末端位姿造成影响。

理想状态下运动学和动力学方程建立如下：

(1)

1.1 杆长模型的构建

在工程应用中，机械臂大臂和小臂的实际长度主要受制造加工误差和受载后变形量的影响，所以在对机械臂误差进行分析时，必须将杆长的变化考虑在内。

实际杆长L为：

L=L0+ΔL

(2)

式中：L0—初始杆长；ΔL—杆长形变量。

根据文献[9-10]，在考虑初始杆长时将其加工误差默认为服从正态分布。因此，由中心极限定理可得到初始杆长的分布为：

(3)

(4)

(5)

式中：L0—加工得到的杆件初始长度；uL0—加工得到的杆件尺寸均值；σL0—加工得到的杆件尺寸标准差。

对关节式同步带减速机械臂进行分析，将其等效成截面形状规则的杆件，可利用材料力学相关原理计算，由胡克定律知：

(6)

式中：FN—杆件在定位时刻的轴向拉力或压力；E—材料的弹性模量；A—杆件的横截面积。

对于杆件的变形量ΔL的标准差σΔL可以表示为：

(7)

因此，变形量ΔL服从以下分布：

(8)

由上述分析可得因此实际杆长的分布为：

uL=uL0+uΔL

(9)

(10)

即：

(11)

1.2 关节间隙的碰撞力模型的构建

关节间隙是影响机械臂可靠性的重要因素。在机械臂的分析中，对间隙的处理方式主要有无质量连杆方法、弹簧-阻尼法和动量交换法。

关节式同步带减速机械臂正常运转过程中，由于关节间隙的存在，轴与轴承接触碰撞过程中会产生接触碰撞力Fc，关节间隙模型如图2所示。

图2 关节间隙模型

该接触力由两部分组成：分别是切向摩擦力Ft和法向碰撞力Fn，两力正交。故本研究采用Lankarani-Ni-

kravesh接触力模型和Coloumb摩擦力模型进行求解[11-12]：

(12)

1.2.1 法向碰撞力模型

本研究采用摩擦模型来描述轴与轴承之间的法向碰撞力，表达式为：

(13)

1.2.2 切向摩擦力模型

间隙的存在会使得机械臂在转动时产生摩擦力，摩擦力对机械臂的运动特性有影响，因此在建立含关节间隙机械臂的动力学方程时必须考虑摩擦力。本文中轴与轴承之间没有润滑，是干摩擦，笔者使用Coulomb摩擦模型来描述副元素之间的摩擦力，轴与轴承切向接触摩擦力为：

(14)

式中：f—摩擦系数；σ—sign(vt)，关于vt的符号函数；Ct—切向阻尼系数。

在计算摩擦力时通常忽略切向阻尼，这时有：

Ft=-fσFn

(15)

1.3 同步带动力学模型的构建

同步带的传动误差主要包含同步带弹性变形和齿带轮传动的多边形效应、齿带轮的偏心等[13-14]。在同步带减速机械臂中，关节处减速皮带过多，得到的方程过于复杂，故本研究将模型进行简化，主要考虑关节处的同步带组。同步带Vogit模型如图3所示。

图3 同步带Vogit模型

在同步带分析中，本研究将同步带离散为具有一定数量的具有质量、惯量的单元，通过弹簧阻尼将相邻两个带单元联结。同步带离散化模型如图4所示。

图4 同步带离散化模型

本研究将同步带离散化，分成n个离散系统单元组成的系统，其中每块代表一个同步带离散系统单元。根据力的平衡方程，在输送带切向有等式：

(16)

上述同步带系统离散动态模型方程用矩阵的形式可表示为：

(17)

1.4 机械臂误差模型的构建

面对关节式同步带减速机械臂这一复杂系统，普通的刚性动力学模型已经不能满足其特征描述的要求，故笔者采用柔性动力学对其刚柔混合的动态特性进行描述。将前面得到的实际杆长模型、关节间隙力学模型和同步带柔性动力学模型进行耦合，得到耦合柔性多体动力学模型[15]。

根据多体理论，将式(11，12，17)代入式(1)中，得出含杆长误差、关节间隙和同步带柔性耦合的动力学方程为:

(18)

本研究采用D-H法对机械臂进行运动学分析，可得到机械臂末端的运动显示方程为：

(19)

式中：L1，L2—机械臂大臂和小臂的杆长；θ1，θ2—机械臂大臂和小臂的转角。

本研究将实际杆长模型、关节间隙力学模型和同步带柔性耦合的动力学模型式(18)和机械臂运动显式方程式(19)联立在一起，可以得到机械臂误差模型：

(20)

2 机械臂末端精度可靠性分析

2.1 机械臂末端精度极限状态函数

设δi为机械臂末端在X，Y轴上的最大误差，则其可靠性极限状态函数为：

Gi(X,Y)=δi-Ei(X,Y)

(21)

式中：δi—X、Y轴的许用误差；Ei(X,Y)—X、Y轴的误差值。

由式(20)可知，当机械臂末端位置坐标X、Y已知时，极限状态函数中变量为：

2.2 基于一次二阶矩的可靠性分析方法

目前，可靠性研究方法主要有蒙特卡洛法[14]，模糊集法[16]。蒙特卡洛法计算量较大，模糊集对变量的假设适用于模糊不确定性的场合，针对机械臂运动过程中的随机不确定性变量，笔者使用一阶二次矩法对运动精度可靠性进行研究[17]。

假设各变量默认为服从正态分布，本研究使用一阶二次矩方法进行可靠性分析，机械臂的运动精度可靠性分析流程如图5所示。

图5 可靠性分析流程图

Δqi=qo-qi

(22)

(23)

(24)

根据实验获取考虑间隙与同步带柔性机械臂的参数误差统计分布值，即可计算出机械臂运动参数误差的均值和方差：

(25)

(26)

基于实验结果，根据式(25，26)可以计算得到任意时刻机械臂任意输出的运动参数误差的均值和方差。

设δi为机械臂末端在X、Y轴上的最大误差，则其可靠性极限方程为：

Gi(X,Y)=δi-Ei(X,Y)

(27)

本研究设定各参数初值，在Matlab中编写程序，将变量代入程序开始进行迭代计算；当新一代的数值不满足判定条件时，继续进行迭代计算，直到其满足判定条件，终止程序，获得可靠度数据β值；将可靠性数据β值代入标准正态分布表中，查表可得其可靠度。

2.3 实验平台的搭建

为了对机械臂的末端精度可靠性进行研究，本文搭建了实验平台，对大臂小臂的角度和角速度和末端误差进行测量，如图6所示。

图6 安装传感器机械臂图

实际机械臂选择在大臂和小臂的驱动电机处进行传感器的安装，在机械臂运动的终点在X、Y方向安装百分表，测得其末端误差。根据其数据精度和安装方式，选用上海开地公司的德国CARLEN绝对值编码器，其采集精度为0.02°。

编码器参数如表1所示。

表1 编码器参数

数据采集系统的设计主要根据编码器的信号进行设计，根据表1可知：编码器的信号为SSI信号，通过其配套的角度显示器将信号处理成RS232信号，再通过U-PORT串口数据线将信号导入计算机，使用AccessPort软件进行信号的接收，最后使用Matlab进行数据处理。

数据采集系统如图7所示。

图7 数据采集系统

2.4 实验结果分析

根据文献[18]可知，在实验次数为100组时能较好地反映数据情况，故笔者对机械臂重复进行100组实验，得到大臂和小臂的角度、角速度以及末端误差等数据。首先根据误差模型运用一阶二次矩方法求解可靠度，再通过末端误差根据概率的知识对其进行末端精度可靠度指标求解，可靠度如表2所示。

表2 模型计算和实验下的机械臂末端精度可靠度

通过对表2模型进行分析可知：模型计算和实验状态下Y轴末端精度可靠性要略高于X轴，并且误差模型计算得出的X、Y轴可靠度均大于实验末端误差直接测量所得的可靠度；X轴方向的可靠度相对误差为0.19%，Y轴方向的可靠度相对误差为0.32%，这主要是由于实验平台的搭建过程存在一定的装配误差、制造误差以及电机本身的运动误差。

3 精度可靠性灵敏度分析及优化

3.1 精度可靠性灵敏度分析

由于所有变量的分布类型、分布参数都将对可靠度的灵敏程度产生影响，本研究通过可靠性灵敏度分析确定各误差的分布参数灵敏度程度。笔者用直接微分法进行灵敏度分析。

对极限状态函数分别对各变量进行偏导可得：

(28)

并对可靠度灵敏度进行归一化处理，得到对应灵敏度系数：

(29)

对各个变量进行偏导求得灵敏度系数，如表3所示。

表3 X、Y轴方向误差源灵敏度系数

3.2 精度可靠性优化

基于误差灵敏度的分析结果，本研究对精度分配进行优化设计。

3.2.1 优化目标

以降低制造成本为目标，本研究建立机械臂精度分配优化模型[19]:

(30)

式中:x—各项误差源的误差值(半公差带的宽度)，x={xi}；αi—公差特征指数，取αi=2；ki—各设计变量的成本权重系数；λi—将转角误差纲量同一化为线误差纲量的系数。

在设计阶段，常常还不能定出制造成本的精确数值，但是可以定性估计，本研究以灵敏度系数为成本权重系数。

3.2.2 约束条件

根据极限思想并结合导轨精度等级情况，本研究以超精密精度等级的半公差带带宽(xi-min)为下限，以精度设计要求的最大值为上限对单个误差源取值:

(31)

3.2.3 基于Matlab遗传算法的精度优化

本研究采用Matlab中Optimization Tool工具包对机械臂进行优化，在该工具包中选择Genetic Algorithm进行精度分配优化，配置参数:初始种群数为100，适应度尺度按适应度排序并进行迭代，然后杂交为启发式算法，杂交概率0.8，迁移为forward，突变选择默认。精度分配优化结果如表4所示。

表4 优化后的各参数分布均值

在所有变量中，大臂和小臂的角速度和转角取值得到不同程度放大，说明按照优化前的精度分配偏于保守;精度优化后，总体上，灵敏度系数较大的误差变量得到不同程度的控制，灵敏度系数较小的误差因素被适当的放大，符合精度分配的思想。

本研究将优化前、后的精度分配值代入到误差模型以及成本模型进行计算，得出优化前后可靠度和成本对比如表5所示。

表5 优化前后可靠度和成本对比

由表5可知：优化后，机械臂的末端X轴和Y轴的精度可靠度达到了99.71%和99.78%，提升了机械臂的总体精度;与传统的经验设计相比，成本由优化设计前的205.163减至147.869，降低了27.92%；由此可见：该方法在不仅提升了机械臂末端精度可靠度，还有效地降低了制造成本。

4 结束语

(1)根据机械臂杆长、关节间隙和同步带柔性3种误差影响因素，本文分别对其建立了实际杆长模型、关节间隙碰撞力学模型和同步带动力学模型，并结合多体柔体动力学理论，建立了耦合柔体动力学模型；

(2)在动力学模型的基础上，结合机械臂运动学方程推导出机械臂末端误差方程，建立了关节式同步带减速机械臂精度可靠性模型；

(3)通过实验平台获取相应的可靠性数据，并运用一阶二次矩法进行可靠性分析，分析结果表明：未优化前X轴和Y轴可靠度基于模型计算和实验测试的相对误差为0.16%和0.32%，验证了可靠性模型的准确性；

(4)对机械臂可靠性模型进行了灵敏度分析，大臂和小臂加速度为主要误差因素，基于分析结果建立了机械臂制造成本为优化目标的精度分配优化模型，利用Matlab软件中遗传算法进行精度分配优化设计，结果表明：机械臂经过优化后，X、Y轴可靠度分别从97.05%和97.38%提高至99.71%和99.78%，且与经验设计相比，制造成本降低了27.92%，为机械臂的加工制造提供了依据。