连续复利错误面面观

一、从六个方面看所谓连续复利的错误

各种教材中关于连续复利的基本思路和叙述是[1-16]：

设本金为A0，年利率为r，则t年的本利和为

A(t)=A0(1+r)t

(1)

如果每年结算m次，每次计算利率为r/m，则有复利分期计算公式

Am(t)=A0(1+r/m)mt

(2)

令m→+∞，则得所谓连续复利计算公式

A(t)=A0ert

(3)

而把公式A=A0(1+r)t看作离散的、不连续的计算公式，一些书中还把这种方法用到了细胞分裂、树木生长、镭的衰变、化学反应和国民经济增长等事物的计算上。

1988年北京科学出版社出版的远山启的中文翻译本《通俗数学》中对由(2)推导(3)说，“当还息的次数无限增多时，其结果就是要在瞬间还利息。即连续的还利息的复利法。由此，数学家雅科布·伯努利(1654—1705)把它称为“连续复利法””[2]，就是说，这种所谓的连续复利计算存在有300多年了。

我们批驳连续复利的文章《关于所谓增长率的连续计算问题》1988年发表在《数学的实践与认识》上[13]，30年过去了，这种所谓连续复利计算仍广泛存在于经济数学[1,4,9]、工程经济学[6]、金融学[7,10]、财务管理[8]、衍生工具[11]等课程教材中，存在于b-s期权定价模型、资金流现值等公式的计算中，1997年诺贝尔经济学奖授予了b-s期权定价模型的创立和发展者，b-s期权定价模型中关于连续复利的应用自然就推进了这种错误的流传，所以就更有必要对这种方法进行一次全面的剖析。

(一)所谓的连续复利公式推导在数学上不成立

连续复利公式的推导在数学上是不存在的。

根据A(t)=A0(1+r)t，利用任何数学知识都不能推导出A(t)=A0ert。根据A(t)=A0(1+r)t推导出A(t)=A0ert，就是根据A=A0(1+r)t推导出A(t)=A0ert=A0[1+(er-1)]t，当r=100%时，就是根据A(t)=A0(1+100%)t推导出A(t)=A0et100%=A0[1+(e-1)]t=A0(1+171.828%)t，这当然是错误的。

公式(2)中的r为名义年利率，一年计算两次的半年期的名义年利率与一年计算四次的三个月期的名义年利率的含义是不同的，就是说，一年内计息次数变化，相应的名义年利率的含义也在变化，所以，对(2)求极限的过程就是不断改变r含义的过程，无论在社会科学还是自然科学中，在推导问题的过程中变换概念含义都是不允许的。

总之，所谓的连续复利公式的推导在数学上不成立。

(二)所谓连续复利在计算复利上的构成上是错误的

从公式(1)到所谓复利分期计算公式(2)的推导表面上是一步，而人的思维过程实际上有四步，而且这四步都是含糊不清的、甚至是错误的。

第一步：没有说公式(1)中的年利率r与资金连续增值规律有没有关系，没有说公式(1)能长期广泛应用是否有合理性。明确的含义反而是，公式(1)用于利息计算不是连续的、是离散的；在不到一年的时间内是不产生利息的或说是不知道按什么规律产生利息，特别明确的含义是，公式(1)中的时间变量t不能取连续实数，公式(1)中的年利率r不是资金随时间连续“利生利”的结果。

第二步：将一年分成m次计算，每经过1个1/m年资金总额都有一个增加了的值，m是任意整数，当m=365时，就说明了资金总额每天都在增长，当m=365×24×60×60时，就说明资金总额分分秒秒都在增长，实际上这就已经把利息随时间增长的计算连续化了，也只有在资金连续增值时，这种分期计算才可以进行，这就是毫无根据地、不知不觉中将离散的、不连续的公式(1)变成了资金总额或利息是连续增长的了。

第三步：每次计算的利率取为r/m，这是按利率与时间成正比计算，是一种单利思维，这就是在将一年内利息的离散计算变成连续计算的基础上，进一步改变成了按单利方式连续增长，这无疑又是一步错误思维。

第四步：将离散的、不连续的(1)式无根据地改变成按单利方法增长后，实际是在1/m年按单利计算一次得出Am(1/m)=A0(1+r/m)后就又想起来了“利生利”，按复利计算，一年计算m次，一年后的资金总量就是Am(1)=A0(1+r/m)m，t年计算mt次，这就构成了所谓的复利分期计算公式Am(t)=A0(1+r/m)mt，这是又一步的混乱思维。

在构成(2)式四步思维中，每一步的思维都是混乱甚至错误的，连续复利公式(3)就是在这样混乱、错误的基础上构成的，所以，连续复利公式(3)是不可能正确的。

(三)所谓的连续复利公式的推导在经济应用中不存在

例如，2017年秋中国银行储蓄，一年期储蓄的年利率是0.0175，半年期的(名义)年利率是0.0155，三个月期的(名义)年利率是0.0135，名义年利率rm随一年中的计息次数m增加而减小，符合银行储蓄实际应用的这一公式不是(2)式，而是

Am=A0(1+rm/m)mt

(4)

在其它资金借贷涉及利息计算的工作中，借用期长短，利率的多少，计息方法都是出借方和借入方事先同意的，改变利率、改变资金的借用期、改变利率的计算方法必须经双方同意。在资金使用权转让期间即时双方同意调整一下利率，由(1)到(2)式这种推导也不存在特别的用处，(2)式表达的数值随m增大而增大，由(1)推到(2)式的计算为资金的出借方提高了收入，一般来讲，借入方是不会同意的，这种从(1)式到(2)式的计算在银行储蓄外的其它基本的生活实际中是不存在的。

在银行储蓄中，在基本的借贷关系中，由(1)式到(2)式这种计算都是不存在的，由(2)式推导连续复利公式(3)的含义也就必定不存在。

(四)普通利率本身就是资金连续地复利的结果

时间变量t以年为单位，复利公式A(t)=A0(1+r)t中的r本身就是资金随时间连续不断地“利生利”的结果。张家开了一个商店，共用资金500000元，其中有李家出的资金100000元，年末算账，除去管理、劳务、税收等各项开支外折合资金结余550000元，就是说资金增值是50000元，张家说给李家10%的利息，也就是一次还李家本息共110000元，这当然是可以的。如果张家1月末还李家本息，总额很难说超过101000元；如6个月末还你本息，总额未必能到105000元，李家在年末得到利息率10%就是资金在一年内不断被反复使用、不断增值、不断连续地“利生利”的结果，是每秒都在以比率0.00000030225%增值，不断连续地“利生利”(1+0.0000003022%)365×24×60×60=1+10%的结果。如果没有资金每分每秒的连续增值，也就不会有最终的年增值率10%，如再用所谓连续复利公式A(t)=A0ert将本利和计算成100000e0.1×1=110517元，将年利率10%改变为10.517%，这当然是错误的。

(五)是否能进行连续计算取决于事物本身特性而非数学表达式的形式

设某林场有10000立方米的林材，树木呈指数函数增长，每年林材增加10%，根据A(t)=10000(1+10%)t=10000etln(1+10%)计算得这林场1年末的林材是11000立方米，3年末的林材是13310立方米。而用所谓连续计算公式A(t)=10000e0.1t计算得1年末是A(1)=10000e0.1×1=11051.7立方米，3年末是A(3)=10000e0.1×3=13498.6立方米，这当然是错误的；设某校今年招生10000人，今后每年招生人数增加10%，随后第一年的招生数就是A(1)=10000(1+10%)1=10000e1×ln(1+10%)=11000人，第三年的招生数就是A(3)=10000(1+10%)3=10000et×ln(1+10%)=13310人，和前面树木增长问题计算方法和结果完全一样。树木是连续增长的，学校招生数不是随时间连续增长的，学校招生数只能是按年计算。这里计算树木生长问题和学校招生数的问题根本不需要分连续计算和不连续计算。

是否能进行连续计算是由事物本身特性决定的。对如上的林材生长问题，根据需要我们可计算0.7年时的林材量为A(0.7)=10000(1+10%)0.7=10000e0.7×ln(1+10%)=10689.9立方米，但我们不需要，也不能计算今后0.7年时那所学校的招生人数。

在利息类问题的计算中，是否能进行连续计算取决于具体不同情况下的约定或不同情况下的需要，应用公式A(t)=A0(1+r)t=A0etln(1+r)可选择时间变量t取连续实数或整数。一般资金总额是随时间呈指数函数A(t)=A0(1+r)t=A0etln(1+r)增值的，当知道年利率r后，可用A(t)=A0(1+r)t计算1年、2年后的资金总额。在期权定价问题中，给出年利率r后，还要考虑到如6个月、8个月时资金的价值，这就当是利用A(t)=A0(1+r)t进行连续计算的问题了，时间变量t就需要取连续实数；在银行存款采用一年定期的储蓄方式时，应用A(t)=A0(1+r)t计算t年后的本利和，t就只能取自然数。

(六)所谓的连续复利的推导并未实现连续计算复利

我们注意，(1)式A(t)=A0(1+r)t是不连续计算公式，是所谓离散的计算公式，(1)式中的t只取整数，但从(1)式到(2)Am(t)=A0(1+r/m)mt式，再到(3)A(t)=A0ert的推导中，只是把一年中的计息次数m看作变量，其余的量都没有变，就是说，其余字母A0、r、t都是作常数考虑的，从(1)式到(2)式，再到(3)的推导中，一点也没有改变时间变量t的属性，也就是说，在(1)式、(2)式和(3)中t都只取整数，在(3)式中中A(t)=A0ert，时间变量t只取整数，即这种推导并未证明出t可取任意实数，没有达到所谓连续计算复利的目标。

二、错误的连续复利能长期存在的原因

(一)思维脱离实际当是错误的连续复利能长期存在的一个原因。在此仅举一例：

在讲述由公式(1)到公式(3)的推导过程中，极少有教材讲其应用背景，2007年清华大学出版社出版的一本《金融学》中以APR表示分期计算的名义年利率，以EFF表示有效年利率，给出二者有如下关系：

1+EFF=(1+APR/m)m

然后以银行提供A、B、C三个贷款产品的例子接着的叙述是：

表5-1 年度百分率(APR)与有效年利率(EFF)

“运用上述公式，我们计算A、B、C三个贷款产品的有效年利率。计算结果见表5-1。从表5-1中我们看到，C产品的有效年利率最低，即该种贷款对借款人而言成本最低，所以应当选择C产品。

当每年计息次数m趋向于无穷大时，即连续不断地进行复利时(连续金融概念)，有：

(5-6)”[7]。

这里存在的问题，一是1+EFF=(1+APR/m)m中分期计算的名义年利率APR的是不是随一年中的计算次数m变化？如果不变，则表5-1的应用举例与这个公式不符；如果变化，则这个公式与推导连续复利公式(3)的(2)式Am(t)=A0(1+r/m)m不符。所谓复利分期计算公式(2)与表5-1 的应用是脱离的：二是，银行给出A、B、C三个贷款产品是针对了不同用款人的需要，人们在选择某种产品时，并不是把一年时间的有效年利率的大小作为唯一标准，还要考虑自己用款的时间。比如说，张某需用6个月的贷款，就应当选择B产品了。该书不分情况地认为“应当选择C产品”，也是一种脱离实际生活的思维。

(二)盲目崇信权威当是错误的连续复利能长期存在的又一重要原因。

这种所谓连续复利计算由数学大家提出，在多门课程中流传，也就产生了对这种连续复利的牵强的解释和矛盾的应用。

2009年化学工业出版社出版的《应用数学》在推导出(3)时说：

“采取连续复利，则t年后本息合计A(t)=A0ert

等式两边微分，得到dA(t)/dt=rA0ert=rA(t)

这表明利率连续复合时，总金额增长速度和本金数额成正比”[9]。

实际上，只根据t取自然数的约定，从(1)式我们即可求得资金A(t)任何一年的增长量为：

A(n+1)-A(n)=A0(1+r)n+1-A0(1+r)n=A0(1+r)n·(1+r)-A0(1+r)n=A0(1+r)n·(1+r-1)=A(n)·r

这就同样有结论“总金额增长速度和本金数额成正比”。 由于盲信连续复利的正确性，于是就产生了对这种连续复利意义特别牵强的解释。

2011年中国人民大学出版社出版的《微积分教程》中有例题：

“设今年我国国民生产总值为A0，又设年平均增长率为10%，求10年后的国民生产总值A。

解 由于国民生产总值不是到年底才增长，而是每日每时增长的，因此有A=A0ert，

本例中，r=0.1，t=10，故

A=A0e0.1×10=A0e=2.7183A0

即10年后的国民生产总值为今年的2.7183倍，若按公式A=A0(1+r)t，计算，则A=2.593A0，这个结果不如上面的结果精确。”[12]

这实际上是一道中小学的数学题，答案只能有A0(1+10%)10=2.5937A0，得出任何与此不同的答案都是错误的。这里的例题给的答案与极限的应用矛盾，与中小学的数学知识矛盾，产生这错误的原因也当是盲信权威、盲信所谓连续复利法的结果。

三、结论

(一)不论是对连续计算问题还是不连续计算问题，对于呈指数函数变化的量都可用A(t)=A0(1+r)t=A0etln(1+r)计算。A(t)=A0(1+r)t与A(t)=A0eat=A0etln(1+r)等价。

由(1)推导(2)再到(3)这种连续复利计算是错误的，国内外教材中关于它的解释都是错误的。A(t)=A0(1+r)t与A(t)=A0ert是不等的指数函数，用任何知识都不能从一个推出另一个。

(二) 对于国民经济增长问题，有时需要计算例如0.5年、0.8年的国民经济量，这时的时间变量取非整数值；计算随时间连续产生的资金流的现值或终值，需要计算资金连续的复利，这时时间变量要取连续实数；期权定价类问题中，也常常要计算资金在几个月内增值的情况，这时，时间变量要取非整数值。这些计算中，当给出年利率或年增长率后，不论是单独计算，还是作为构成其它公式、模型的基础，都只能用公式A(t)=A0(1+r)t计算，用另外的所谓连续复利公式A(t)=A0ert计算都是错误的。在b-s期权定价模型中也用到这种连续复利[15]，因创立和发展了b-s期权定价模型，1997年诺贝尔经济学奖授予了罗伯特·莫顿和迈伦·斯科尔斯，这说明，1997年诺贝尔经济学奖评委会没有看到这种连续复利构成的错误，这种连续复利的错误也就随着b-s期权定价模型的广泛使用而更广泛的流传了。

总之，根据(1)得到(2)式，再推导出(3)式这种连续复利的讲法和用法都是错误的，这一错误流传时间很久了。

(河北广播电视大学，河北 石家庄 050071)