如何正确求解分式方程的增根和无解

2018-12-28刘顺林

数码设计 2018年5期

刘顺林*

（四川省攀枝花市米易县第一初级中学校，四川攀枝花，617000）

引言

我从事初中教学19年来每次上到曾根与无解时，学生一到这里错误率大大增加，所以查阅了相关资料，写一点点经验交流与大家共勉。

（1）在复习分式方程这一节时学生对分式方程的增根与无解概念混淆，分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念,学生在学习分式方程后,常常会对这两个概念混淆不清,认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事,事实上并非如此，解分式方程一般都要去分母化为整式方程，而整式方程只有：有解与无解二种情况。当整式方程无解时，那么原来的分式方程也一定无解。当整式方程有解时，原来的分式方程就不一定也有解，因为分式方程有产生增根的可能，若整式方程的解代入原分式方程的所有分母中，只要有一个分母为零，这个整式方程的解就不是原分式方程的根，它是一个增根。若整式方程的解代入原分式方程的所有分母中全不为零，这个整式方程的解才是原分式方程的解。若整式方程的所有解都不是原分式方程的根（即都是增根），这时才能说此分式方程无解。无解与增根的关系不太大，有增根不一定无解，无解也不一定是因为有了增根才无解的。

（2）解题前首先理解“曾根”和“无解”不是一回事：分式方程的曾根是由于把分式方程化成整式方程时，无形中去掉了原分式方程中分母不为零的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围。这样，整式方程的根可能使分式方程的分母为零，分式方程将失去意义。因此，这个根虽然是变形后整式方程的根，但不是原分式方程的根，这种根就是分式方程的曾根。可见曾根不是原分式方程的根，但却是分式方程去分母后所得的整式方程的根。而发生非常无解要分为两种情况：一是原分式方程化为整式方程后，该整式方程无解；二是分式方程去分母后所得的整式方程有解，但该解却是分式方程的曾根。

1 分式方程曾根

这类题的解题思路为：

①将原方程化为整式方程（两边同乘以最简公分母）；

②确定增根（题目已知或使分母为零的未知数的值）；

③将增根代入变形后的整式方程，求出未知数的值；

例1：若分式方程有曾根x=-1，求k的值。

【解】：方程两边同 x（x+1）（x-1），得（k-1）x-（x+1）=(k-5)(x+1) 3x=k-4曾根为x=-1

例2：若方程关于x的方程会产生有增根，则m的值为？

【解】：方程两边乘(x+2)(x-2) 约去分母得 2(x+2)+mx=3(x-2)整理得(m-1)x=-10。原方程有增根(x+2)(x-2)= 0即 x=2或 x=-2，把 x=2 代入(m-1)x=-10，解得m=-4，x=-2代入(m-1)x=-10m=6，解得m=-4或m=6当m=-4或m=6，方程会产生曾根。

例1有曾根为x=-1把分式方程化为整式方程后直接把曾根代入求出k的值，而例2则分式方程化为整式方程确定曾根的值再代入进行计算。