对圆锥曲线统一定义的认识

刘仁道

在一次教研活动中，授课教师讲解完双曲线的第二定义后，为同学们布置了一道教材上的习题.

例1求与定点A（5，0）及定直线x=165的距离的比是5∶4的点的轨迹方程.

解设动点P（x，y），它到定点A的距离和它到定直线的距离的比为54，则动点的轨迹为双曲线，焦点在x轴上.c=5，x=165，∴a2c=165，即a2=16，∴b2=c2-a2=9，∴双曲线方程为x216-y29=1.因为刚学习双曲线的第二定义，教材中设计的题是紧靠教材，中心在原点，以坐标轴为对称轴的标准双曲线.如果把题改为：一动点到直线x=3的距离是它到定点F（4，0）的距离的12，求这个动点的轨迹方程.如果按照同样的方法解，解：由题意，动点到定点的距离与它到定直线的距离的比为2，则动点的轨迹为双曲线.c=4，x=3，∴a2c=3，即a2=12，∴b2=c2-a2=4，∴双曲线方程为x212-y24=1.那就错了.因为题中没有明确说明曲线中心的位置，仅由定点和直线不能得出c=4，a2c=3的结论，错误地按曲线中心为原点得出焦点坐标F（c，0）和准线方程为x=a2c的结论.正确的解法是：由题意设动点P（x，y）又题意得12（x-4）2+y2=|x-3|，两边平方得：x-832232-y22332=1即为所求的轨迹方程.很明显双曲线的中心不在原点.教材上的题虽然结果巧合正确，但解法是错误的，也容易给学生造成误会，除非说明了所求双曲线为标准双曲线.

椭圆、双曲线、（椭圆，双曲线的第二定义）抛物线的统一定义是在平面上，若动点M与定点F及M到一条定直线距离之比等于常数e，当e<1时，M的轨迹是椭圆;当e>1时，M的轨迹是双曲线;当e=1时，M的轨迹是抛物线.如何利用圆锥曲线的统一定义呢？为了广义地、完整地理解圆锥曲线的统一定义，现举几例说明.

例2方程（x-1）2+（y-1）2=2|x+y+2|表示的曲线是.

解由（x-1）2+（y-1）2=2|x+y+2|，∴（x-1）2+（y-1）2|x+y+2|2=22>1，点P到定点F（1，1）的距离与定直线l：x+y+2=0的距离的比值为e>1，∴点P的轨迹为双曲线.一个焦点为F（1，1），此时准线为l：x+y+2=0.

例3求经过M（1，2），以y轴为准线，离心率为12的椭圆的左顶点的轨迹方程.

解由题意知椭圆在y轴的右侧，长轴平行于x轴，设P（x，y）为椭圆的左顶点，F（x0，y0）为椭圆的左焦点，左准线为x=0，椭圆上点P（x，y），由PFd=e，∴x0-xx=12，∴x0=32x，y0=y，∴F32x，y.又∵点M（1，2）在椭圆上，∴|MF|d=e，∴1-32x2+（2-y）21=12，∴9x-232+4（y-2）2=1即为所求.

此题两次利用了椭圆的第二定义，利用统一定义要注意焦点与准线要在中心的同一侧，否则就会出现错误.

思考题：1.求经过定点M（1，2），以x轴为准线，离心率为12的椭圆下顶点的轨迹方程.

解：设椭圆下顶点P（x，y），下焦点为F，以x轴为准线由定义得PFPB=12，∴Fx，3y2，又由定义得MFMN=12，∴点P的轨迹方程为（x-1）2+32y-22=1.

例4若椭圆的中心坐标为（2，3），一个焦点坐标（4，5），离心率e=12，试求出这个椭圆的另一个焦点，准线方程，并求出这个椭圆的方程.

解中心是两焦点间线段的中点，令另一个焦点为（x1，y1），则x1+4=4，y1+5=6， ∴x1=0，y1=1，即另一个焦点为（0，1），又e=12，∴a=2c，焦点是中心与长轴端点间线段的中点，由中点公式得端点坐标为（-2，-1）及（6，7）.中心到准线的距离为a2c=（2c）2c=4c=2a，长轴的端点又是中心与准线和长轴交点间线段的中点，由中点公式得准线与长轴交点坐标为（-6，-5）及（10，11）.

由此長轴所在的直线方程为y=x+1，∴准线斜率为k=-1，即准线方程为x+y+11=0，x+y-21=0.

由椭圆的第二定义则有：（x-4）2+（y-5）2|x+y-21|2=12，化为7x2-2xy+7y2-22x-38y-113=0.

对于抛物线可以采用类似方法处理，通过上面几个例子，我们对圆锥曲线的统一定义有了全面、完整、深刻的理解，也为我们利用圆锥曲线的统一定义解题提供了思考的方法，同时弥补了教材讲得不透彻的局限.