浅谈几何画板中圆锥曲线的绘制原理

于然 赵世恩 马雯

【摘要】圆锥曲线就其内容本身，是平面解析几何的核心内容，也是连接初等数学和高等数学的桥梁，学好圆锥曲线相关知识，可以为进一步学习高等数学打下坚实的基础.这部分内容的学习主要注意以下两点：一是掌握圆锥曲线的方程及其各个参数的含义;二是了解圆锥曲线轨迹的形成过程.对于这两点，几何画板的动态性和直观性不仅可以很好地帮助学生理解和掌握这部分知识，而且可以使学生对几何的学习产生强烈的兴趣.本文根据圆锥曲线的几种定义，在几何画板中用动态效果展示了椭圆、双曲线以及抛物线的绘制方法、相关原理以及绘制过程.

【关键词】几何画板;椭圆;双曲线;抛物线

中学数学分为代数、几何两大模块，其中几何模块为大部分学生的重点和难点.而几何中圆锥曲线所占比例较重，尤以点的轨迹问题最为抽象难懂，同时也是高考的必考知识点.如何学好和教好这个知识点，成为学生与教师共同面对的问题.

随着信息技术的发展，现代技术在教学中的应用无疑是教学改革中的一个热点，是教育现代化的一个重要标志.运用多媒体技术来进一步补充和完善传统教学模式，可以拓宽数学课堂的教学形式，改变以往单一的教学手段，使数学问题更加形象化，更贴近生活.

几何画板就是一个很好的数学辅助工具，具有直观性和动态性，可以很好地实现数与形的结合，随时看到各种情况下的数量关系及其变化，把数和形的潜在关系及其变化动态的显现出来.教师在圆锥曲线课堂教学的过程中可以挖掘教材，充分利用几何画板动态性、直观性的表现力，在概念、公式、参数的教学中设计研究性课题，使学生了解应用几何画板研究圆锥曲线问题的基本过程.

一、几何画板中椭圆的绘制

我们利用几何画板绘制椭圆的理论基础就是椭圆的几种等价定义.

方法一根据椭圆的第一定义，平面上到两点的距离之和为定值的点的轨迹叫作椭圆.

我们知道，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆.因此，将“两点距离之和为定值”的“两点”分别构造为同一个圆的圆心和圆周上任意一点，即将“定值”转化为圆的半径，是根据第一定义绘制椭圆轨迹的关键.

具体步骤如下：

1.任意做一条线段，使它的长度为2a;

2.以点F1为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点P，在圆内任取一点F2;

3.构造线段PF1和线段PF2;

4.构造PF2的中点，过中点作线段PF2的垂线，与线段PF1交于点M;

5.连接线段MF2，并追踪点M;

6.选中点P，单击<编辑/操作类按钮/动画>选项，在画板中出现“动画点”按钮;

7.单击“动画点”按钮，就会逐渐显现椭圆的轨迹，实现动态演示轨迹形成的过程（如图1）.

其中，两定点F1，F2为椭圆的焦点，两焦点之间的距离F1F2=2c为椭圆的焦距，椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦A1A2=2a为长轴，椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦B1B2=2b为短轴.

椭圆参数方程的推导过程中，点M的横坐标与点A的横坐标相同，纵坐标与点B的纵坐标相同，为了建立点A和点B的坐标之间的联系，引进了参数θ，参数θ的几何意义是半径OA的旋转角∠AON（注意：不是OM的旋转角）.

具体的步骤如下;

1.打开一个新画板，建立直角坐标系，单击<绘图/网格样式/方形网格>选项，隐藏单位点;

2.以坐标原点O为圆心，分别以a，b（a>b>0）为半径画两个圆;

3.在大圆上任取一点A，构造线段OA，与小圆交于点B，线段OA与x轴形成夹角θ，θ∈[0，2π）;

4.过点A作直线AN垂直于x轴，垂足为点N;

5.过点B作直线BM垂直于直线AN，垂足为点M，追踪点M;

6.选中点A，单击<编辑/操作类按钮/动画>选项，在画板中出现“动画点”按钮;

7.单击“动画点”按钮，就会逐渐显现椭圆的轨迹（如图2），实现动态演示轨迹形成的过程.

二、几何画板中双曲线的绘制

根据双曲线的第一定义，平面上到两点的距离之差为定值的点的轨迹叫作双曲线.双曲线与椭圆的第一定义中都出现“定值”一词，在椭圆的绘制中，我们借助圆的性质解决了“定值”的问题，这种方法在绘制双曲线时同样适用，即把“两点距离之差为定值”的“两点”分别构造为同一个圆的圆心和圆周上任意一点，仍然是将“定值”转化成了圆的半径.

具体的步骤如下：

1.打开一个新画板，建立直角坐标系，单击〈绘图/网格样式/方形网格〉选项，隐藏单位点;

2.在x轴上取两点F1，F2，使得OF1=OF2，用它们作为两个焦点;

3.在图形外作一条线段，使得它的长度为2a（2a<|F1F2|）;

4.以F1為圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点P;

5.连接PF1，PF2，作PF2的中垂线与直线PF1交于点M，连接MF2;

6.选中点M，单击〈显示/追踪交点〉选项，追踪点M;

7.选中点P，单击〈编辑/操作类按钮/动画〉选项，在画板中出现“动画点”按钮;

8.单击“动画点”按钮，就会逐渐显现双曲线轨迹（如图4）.

其中，点O是双曲线的中心，点F1和点F2分别为双曲线的左、右焦点，F1F2之间的距离为焦距2c，点M是双曲线上的任意一点，当点M运动到x轴上时，点P也在x轴上，点M与双曲线的顶点A2重合，所以双曲线的实轴长是A1A2=A2F1-A2F2=A2F1-A2P=PF1=2a.

三、几何画板中抛物线的绘制

根据抛物线的第一定义，平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的集合叫作抛物线.

不变量：到一个定点的距离和到一条定直线的距离相等.r=KA=dP1l=P1F.

具体步骤如下：

1.打开一个新画板，选择线段工具，在画板上画任意线段KF，并构造KF的中点O;

2.过点K作线段KF的垂线l，过点K和点F作射线m;

3.在射线m上任取一点A，过点A作射线m的垂线n;

4.以点F为圆心，线段KA为半径作圆，交垂线n于点P1和点P2，则点P1和点P2到点F和直线l的距离相等，追踪点P1，P2;

5.选中点A，单击〈编辑/操作类按钮/动画〉选项，在画板中出现“動画点”按钮;

6.单击“动画点”按钮，就会逐渐显现抛物线的轨迹，实现动态演示轨迹形成的过程.

四、教学建议

随着信息技术的发展，现代技术在教学中的应用无疑是教学改革中的一个热点，是教育现代化的一个重要标志.充分运用现代教育技术辅助课堂教学，不仅能增大课堂容量、优化教学结构，而且能增强学生的学习兴趣，激发学生的探究精神.运用多媒体技术可以拓宽数学课堂的教学形式，改变以往单一的教学手段，使数学问题更加形象化，更贴近生活，为数学教育开辟了更为广阔的天地.

保持几何关系是几何画板的精髓.在画板中的几何图形无论如何变化，它们之间所具有的几何关系都不变.这恰恰是几何学的实质，即在不断变化的几何图形中研究不变的几何规律.因此，在以学生为主体的课堂中，在几何画板的平台上，学生可以任意拖动图形，观察图形，猜测并验证数学命题.在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，深化学生对知识的理解和掌握.几何画板为学生创造了一个进行“几何实验”的环境，有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性，充分体现了现代教学的思想.

通过对本专题的学习，学生将掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力.

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