数学教学中的发散思维培养

敬久旺

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）44-0146-01

发散思维又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维，是指大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维模式，它表现为思维视野广阔和多维发散状，发散思维培养就是要克服头脑中某种已设置好的僵化的思维框框，引导学生从新的方向来思索问题的过程，注重强调多角度、多方面，而在数学教学中一题多解就很奏效。

一、复数的绝对值

教材上对于复数z的|Z|的定义是从向量出发，首先引入z与向量的对应，即以坐标原点o为起点，z所对应的点为终点的向量为z对应的向量，此向量的长度（模）称为z的模，记为 |Z|。对于之前没有接触复数的学生，模的概念确实是与向量有关的。但是，事实上z是一个数，|Z|本身用的是数的绝对值的符号，完全可以让学生回顾绝对值的概念，以-3的绝对值、a的绝对值等于多少引发学生思考。关于|a|等于多少，多数学生会回答要分情况讨论。但答案却可以用a到坐标原点的距离一言以蔽之。这个时候，|Z|就一目了然了，因为之前已建立了z与点的对应。

二、两个复数之间的距离

一方面可以用模来定义。首先根据向量减法的三角形法则得到z1-z2所对应的向量，此向量恰好等于由z2指向被减数z1的向量，因此向量的长度即为z1到 z2的距离。但另一方面，用绝对值表示两点（数）之间的距离早在初中数学中就有，往往容易被学生忽视，教学中应该提及，以让学生多角度去思考，多发挥联想发散其思维。比如以负三到五之间的距离、实数a到b之间的距离等于多少向学生提问。关于实数a到b之间的距离，部分学生初反应肯定会一脸茫然，但立即应该都能够和减法的绝对值建立联系。

三、证明圆是轴对称图形

在人民教育出版社出版的义务教育教科书（教育部2013审定）九年级数学上册课本中，有这样的一道命题（81页）：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上。笔者曾就此问题专门调查询问了一些大学生和一些正在读初三的中学生。多数大学生证明的思路和教科书上不一致，他们都是根据命题的直接逻辑，先找到圆上任意一点A，再找到此点关于直径所在直线（对称轴）的对称点B，最后证明B点也在圆上。笔者试图提问除此方法以外还能怎么证明，学生险入沉思。又给出提示能不能想办法把A与B点都先认定在圆上然后寻求证明，即便这样还是只有部分学生才豁然明白。因为对称点本身是唯一的，先找到圆上的任意一点A和圆上与A有关的另外一点B，只要能够证明B点就是A点的对称点就可以了，教科书的处理是很好的。

四、未定式的极限

在高等数学中，运用洛必达法则求极限是常见的问题。比如求 问题。一种办法是设f（x）=（cos ）3，根据导数的定义有：

f′（x）=3（cos ）2（-sin ） ，显然，导函数f′（x）在x=0处没有函数值，故f′（0）不存在，也即极限 不存在。

另外一种办法是选择适当的等价无穷小做替换，

两种方法大相径庭，仔细分析，好像两种思路都无懈可击，那么问题出在哪里呢？再细细考究，原来解法1中“显然，导函数f′（x）在x=0处没有函数值，故f′（0）不存在”是武断的，是不显然的事情。同济大学第五版高等数学教材上讲，“显然，函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）就是导函数f′（x）在点x=x0处的函数值”。按此，确实可以得出解法1中的结论。但是，不能忽略的是，教材此处提到的导函数是先前定义在开区间上的，对于闭区间的端点，结论不再是“显然”的事情，解法1犯了断章取义的错误。当然，解法2是正确的。学高等数学首先要把概念理解好，知道一些概念之间的相互联系与区别，适时地举出一些错误的例子让学生讨论，进而达到灵活运用所学知识的目的。

五、中心极限定理

在中心极限定理的教学活动中，教师除了要充分列举较多的常见例子使学生明确所学知识的应用价值。比如研究我国人寿保险公司的农村老年人寿保险项目，鼓励学生运用中心极限定理研究，假设我国13亿人口中的9亿为农村人口，计算保险公司业务收益率。又如在一地区，有五千人参加保险公司推出的一种项目，每年每个人交两百元。若保险人在某个年龄段之内死亡，家属将获得1万元。而往年统计得出的数据显示，此种保险人年死亡率为1.7%，求解1年之内保险公司此项保险的亏损概率有多大？此实例可有效调动学生的学习兴趣，因此，通过运用中心极限定理建立数学模型引导学生多方面思考问题的效果将十分突出。若得出的概率较大，则说明不利开展此类项目，若亏本概率在合理范围之内则说明此项目在该地区可以推行。此问题解决之后，进一步设问，如：若保险公司每年固定收入為300万，每年需要付出的赔付金额为160万，而参保的5000位人中的每一位所在家庭均有可能成为获赔方，相当于存在5000个随机试验，而影响保险人死亡的因子是多样的，它们共同作用导致死亡这一结果，然后求解各个因子作用下保险人死亡的概率和保险公司的赔付率。通过运用所学知识解决此类问题也大大加强了学生的知识运用能力，也为学生面向银行等金融机构就业强化了知识的运用能力，可谓一举多得。

创新思维与创造性活动相关联，是多种思维活动的统一，但其中发散思维和灵感起着重要作用，发散思维是创造性思维的核心成分。训练人的发散思维能力是培养创造力的一种方法。发散思维能使问题最终产生多种参考答案而不是唯一标准的结论，因而容易形成有创见性质的新观念，数学教学中应该多加以研究。