一些含5阶群的生成关系

李德乐 林立

【摘要】本文通过群的同构分类的观点，分析了60阶以下5阶群的生成关系。

【关键词】有限群 同构分类 生成关系

【Abstract】In this thesis， we concretely analyze the generated relations by isomorphic classification of finite groups of lower orders（less than 61 orders ）.

【Keywords】Finite group；Isomorphic classification；Generated relations

【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）46-0112-02

引理1：（p，p ，pq结构）1.G的阶是p，是循环群，且a =1。

2.G的阶是p ，

1）循环群，a =1，

2）初等交换群，a =b =1，ab=ba.

3.G的阶是pq，

1）循环群，a =1，

2）非交换群，a =b =1，a ba=ba ，r ≡1（mod q），r≠1，p|q-1.

引理2：（p 阶群结构定理）p 阶群必交换，或者是p 阶循环群或者是（p，p）型初等交换群。

当n=5时，G为循环群。

当n=10，15，25，35，55时，G为交换群。

引理3：（p q阶群结构）设G是p q阶有限群，p ，q是素数，P∈Sylp（G），Q∈Sylp（G），

1）若p>q则P？茳G，

2）若p

当n=20=2 ×5时

G=

G=

G=（Frobenius-群），

G=（二面体群），

G=（广义四元群），

当n=50=5 ×2时，

G=

G=

G=，

G=（二面体群），

G=

当n=45=3 ×5时，

G=

G=

引理4：（pqr阶群结构）设G是pqr阶有限群，p，q，r是素数，且p

G′是G换位子群，|G′|=qr，则（1）不属于G′的元均为p阶元，（2）若M是G的极小生成集，|M∩G′|=？覫，则|M|=2。

当n=30=2×3×5时，

G=

G=

G=，

G=，

引理5：（p q群（p

当n=40=2 ×5时

G=

G=

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

引理6：（60阶群结构）设G是60阶有限群，P是Sylp5（G），

若P正规，则G有11种互不同构的类型，若P不正规则群G？艿A5。

当n=60=2 ×3×5时

G=

G=

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

參考文献：

[1]李德乐，曾吉文.《低阶群的特征标表 》，厦门大学，2008年6月

[2]贺艳妮，魏贵民.《若干低阶群的特征标表》，成都理工大学，2011年5月

[3]陈松良，欧阳建新，李惊雷.《论60阶群的构造》，2012年3月第34卷第2期