职前数学教师数据分析教学的认知发展研究——基于贵州地方高师院校的调查与分析

任 旭，夏小刚



职前数学教师数据分析教学的认知发展研究——基于贵州地方高师院校的调查与分析

任 旭，夏小刚

（贵州师范大学 数学科学学院，贵州 贵阳 550001）

采取问卷调查、内容分析、视频分析与访谈相结合的研究方法，从数据分析的学科认知和教学设计两个方面，揭示了职前数学教师数据分析教学的认知发展现状．一方面，数据分析的学科认知大多处于多元结构和关联结构水平，同时也存在缺失数据分析的学科知识的现象．另一方面，注重教学目标、教学过程以及教学方法与策略等的设计，重视学生的数学基础，注重情境创设的经验起点和逻辑起点，但缺少发展学生的数据分析观念的意识，“指令性”教学特征明显．在此基础上，对研究结论进行了讨论，并提出了相应的教学建议．

职前数学教师；数据分析；数学教学；认知发展

1 问题提出

近些年来，PISA和TIMSS等以评估学生能力为目的的国际比较项目，引发了研究者对教师专业发展水平的关注．在这样的背景下，一些大型国际比较项目，如MT21（Mathematics Teaching in the 21st Century）、TEDS-M（Teacher Education and Development Study）、德国COACTIV（Professional Competence of Teachers，Cognitively Activating Instruction，and the Development of Students’ Mathematical Literacy）等将职前数学教师作为对象加以研究，研究内容涉及学科知识、学科教学知识等[1]．在国内，研究者也对职前教师给予了必要的关注．以“职前教师”“数学”为主题，收集2010—2017年CNKI文献106篇，发现国内相关研究涉及内容广泛，如职前数学教师的数学观、数学教学观、数学课程知识、数学学科知识、学科教学知识以及教学设计、教学技能等，且研究方法也丰富多样，如叙事研究、比较研究、访谈研究、问卷调查、课堂观察等[2-10]．但是，在诸多研究中，对接国外研究热点，以职前教师对数学核心知识理解与认识为切入点的文献仅有几篇．事实上，学科的核心知识“往往是学科内的重要思想或关键能力的中心以及联系各部分内容的纽带，能反映学科的基本问题，是使学科形成稳定的内容结构而保持不变的东西”[11]，因此，提高数学核心知识及其教学的认识对职前教师的专业发展十分重要．

数据分析是统计的核心，是数学学科核心素养的重要组成部分[12]．它能帮助人们从许多杂乱无章的数据中，通过信息的集中、萃取和提炼，找出研究对象的内在规律[13]．然而，从国内数学教学实践来看，有关数据分析的教学还存在许多困难和问题，比如虽然学生对数据收集与表示、平均数、中位数与众数的掌握不错，但他们的应用意识不强，数学分析观念薄弱．这种教学现状令人堪忧．造成这些情况的原因很多，但是教师对数据分析及其教学的认识不足是其重要成因之一[2，13]．

当前，数据分析等数学学科核心素养正面临着由理念向课堂教学的现实转化，这对数学教师提出了许多新的要求．对此，职前数学教师是否做好了准备？能否适应未来数据分析教学工作？这成为数学教师职前教育亟待关注的重要问题．

教学认知是教师对“教学目标、教学任务、学习者特点、教学方法与策略以及教学情境的分析判断”[14]．其构成包括学科知识、教学法知识、关于学生的知识和教育情境知识等要素．这些要素彼此统一，相互依附．其中，学科知识“居于基础地位”，学科教学知识对教学开展具有关键性作用[15]．基于此，拟通过问卷调查、内容分析、视频分析与访谈相结合的研究方法，从数据分析的学科认知和教学设计两个方面考察入手，研究职前数学教师数据分析教学的认知发展现状，以此管窥职前教师面向教学的数据分析知识发展的实然状态．相信，这不仅是数学学科核心素养由理念向教学现实转化的必然要求，而且对于深化数学教师职前教育具有积极意义．

2 研究设计和过程

2.1 样本

被试是246名来自贵州省贵阳市、铜仁市、黔东南和黔南地区4所高师院校数学与应用数学专业（师范）学生，其中，男生和女生分别占比48.8%和51.2%，汉族学生占比63%，其余为苗族、侗族、土家族等少数民族学生．测试前，被试正值大三下学期期末，已学完有关数学教育教学的理论知识，并接受微格教学训练，即将进入实习．

由于时间和条件所限，在样本选择上受地域的限制，但是对于研究问题的深入分析将会弥补以上不足．

2.2 研究工具

研究主要涉及测试卷、微格视频、访谈提纲等研究工具．

（1）测试卷．

问题是数学的“心脏”，数学的发展源自数学问题的衍生，因此数学教学是基于“问题解决”的教学[16]．在此意义下，数学教学的逻辑起点不是概念、原理和法则等知识本身，而是如何创设具有现实性和思考性的“问题”．基于此，首先编制了测试卷，具体包含两类问题．

第一类问题属于开放型数学问题，它们指向数据分析观念的本质理解，涉及应用数据意识、数据分析方法和数据随机性3个层面．具体地说，就是通过创设以“空气质量”为主题的问题情境，以不同城市空气质量的比较、对城市近期蓝天数的预测等数学任务，为职前教师提供过程化的问题思考空间，以此考察其在知识的内在逻辑关系上对数据分析内容的理解和把握．限于篇幅，这里呈现其中两个问题．

问题1 表1给出2017年5月5日—11日乌鲁木齐和昆明的空气质量指数和等级．这个时间段哪个城市的空气质量最好？甲认为乌鲁木齐的空气质量最好，乙认为昆明的空气质量最好．哪位同学的看法较为合理？请你运用统计知识进行分析，并简要阐述你的看法．

表1 乌鲁木齐和昆明空气质量

注：Z——空气指数，D——空气等级．Z越大表明空气质量越差．乌鲁木齐空气指数方差为144.5，昆明空气指数方差为12.5．

问题1主要考查学生运用不同数据分析方法的意识和能力．如利用表格的基本数据，可以通过空气指数的平均数、中位数、众数、方差等统计量去比较两个城市的空气质量．由于统计量的值是对样本特征的数值体现，因此，对两个城市空气质量的比较，其结果往往因数据分析方法的不同而有所差异．譬如从空气等级的优良率（昆明100%，乌鲁木齐85.7%）看，昆明的空气质量好于乌鲁木齐；从空气等级为“优”的天数（乌鲁木齐2，昆明0）看，乌鲁木齐的空气质量好于昆明．从空气指数的平均值（乌鲁木齐66.6，昆明68.3）来看，昆明的空气质量好于乌鲁木齐，等等．

问题2 通过对表2数据的分析，小阳认为乌鲁木齐市2017年的优良天数可以达到250天，但是小尼认为，不能作此推测．你如何看待他们的观点？请你结合相关的统计知识，给出你的看法．

表2 乌鲁木齐市近4年来的优良天气数

问题2主要考查学生的随机观念，即能否理解表格中数据所代表的意义，并根据数据的变化趋势做出推测．由表2可知，从2013—2016年，乌鲁木齐的空气优良天数逐年增加，因此，如果从平均增加的优良天数（22天）来看，可以认为小阳的推测具有一定合理性，即2017年乌鲁木齐的优良天数可以达到265天．然而，优良天数的增加幅度逐渐减少，如果按照这样的变化幅度，可以推测2017年的优良天数最多可以达到248天，即小尼的推测是正确的．然而，影响空气质量的因素很多，因此乌鲁木齐市2017年的优良天数能否达到250天，这是一个开放性问题，既考查了学生的随机意识，也考查了学生的综合思辨能力．

第二类问题指向数据分析的教学设计．要求被试根据前面第一类问题，设计一个关于平均数、中位数和众数知识应用的教学方案（以下称“空气质量问题”的教学方案），以此考察职前教师对数据分析教学的认识和理解，以及在此基础上反映出来的教学认识特点．

在测试卷编制过程中，一名有经验的数学教育专家和两名中学骨干教师参与了前期工作．试卷初步制定以后，邀请了部分数学教育专家、一线特级教师和市级教学名师，就测试卷的准确性和有用性进行交流和讨论．在专家意见咨询基础上，对测试卷做了进一步修订，由此形成了具有专家效度的测试工具．与此同时，随机选取50名职前教师进行前测，通过同质性检验的方法对测试卷进行信度检验，计算出Cronbach’s系数为0.831，表明试卷具有较高信度．

（2）微格视频．

职前教师根据自己设计的关于“空气质量问题”的教学方案，以少数同学为授课对象，在10~15分钟的时间内，尝试小型课堂教学，并将其教学过程录制下来．

（3）访谈提纲．

访谈主要涉及两方面的内容，一是关于研究对象在数学教育理论与实践方面的课程学习等基本情况；二是关于数据分析观念本质以及数据分析教学基本思想的理性认识．

2.3 数据收集与处理

2.3.1 数据收集

246名职前数学教师参与了问卷测试，测试分两个阶段：第一阶段，完成第一类测试题，时间为20分钟；第二阶段，完成第二类问题即教学设计任务，时间为50分钟．随后，在每所学校随机选取15名职前教师，要求他们一周以内录制微格教学视频．研究者收集这些教学视频作为研究样本，同时利用收集微格视频的时间进行集体访谈．访谈均被自动录音，以便转录文字后进行分析．

2.3.2 数据处理

主要采用定量与定性相结合的方法，对职前教师在测试问卷上的反应进行数据处理．同时以视频和访谈信息辅助、互证，以更好地揭示职前教师数学分析教学的认知特征．

（1）第一类测试问题数据处理．

借助比格斯（John Biggs）提出的SOLO（Structure of the Observed Learning Outcome，观察到的学习结果的结构）评价理论[17]，对职前教师有关数据分析问题的学科认知水平进行划分．以问题1为例加以阐释．

前结构水平（prestructural level）：没有解答问题，或者解答问题时逻辑错乱．

单一结构水平（unistructural level）：采用一种分析方法，且过程无误．或采用两种或两种以上的分析方法，试图得到一种结果，但存在错误．如：从空气的污染情况看，乌市有一天是“轻度污染”，故昆明空气质量较好．

抽象扩展结构水平（extended abstract level）：通过对数据分析、推理，提出具有普遍意义的猜想或推论．譬如，能认识到数据分析结果的合理性判断与人们的实践需求紧密相关，或者能提出类似的观点．

以上5个水平，在进行量化过程中，依次赋0~4分，最后采用定性分析的方法，从认知错误、数学推理等方面，分析职前教师对问题1的答题情况．

（2）第二类问题——教学设计的数据处理．

量化分析主要从教学目标、教学策略与方法、教学过程、教学评价方面，对职前教师在其中的答题情况进行定量分析，具体赋分量化见表3．

表3 “空气质量问题”教学设计量化赋分

其中，对“知识发生发展过程”的量化赋分，主要考查职前教师在设计中是否“以问题情境、概括与归纳、探究与延伸等方式构建学生的数学活动过程，反映数学知识的生成”[18]；对于数据分析素养养成的赋分，主要关注职前教师是否通过合适的问题设置，强调学生收集数据、分析数据、随机意识等素养发展．

质性分析主要根据弗朗西斯（Francis）等学者提出的课堂教学分析方法[19]，分析表现职前教师教学方法的事件（探究、指令、总结、联系等）．在此基础上，对职前教师“空气质量问题”教学设计方案进行编码和分析，并以此视频信息作为辅助资料，对职前数学教师教学特点和可辨认的模式特征进行描述．其中，“探究性”事件指的是教学聚焦开放型和思考性的问题，或者教师在教学中让学生交流讨论等，而“指令性”事件直接指向旧知回顾、知识讲解和指令性要求的教学行为或教学要求．比如在“空气质量问题”教学方案中，如果让学生针对“在5月5日—11日这个时间段乌鲁木齐和昆明哪个城市的空气质量最好”的问题进行探索和交流，其教学行为归属“探究性”事件．如果要求学生从空气质量指数的角度，回答前述空气质量问题，其教学属于“指令性”事件．

为增强数据处理的可靠性，所有数据均由两位数学教育专业博士生对同样的材料进行独立评分或分析，若分值相差1分以上或质性分析出现分歧，则合议后决定．使用SPSS19.0对数据进行分析与处理．

3 结果分析

3.1 对“空气质量问题”的分析

通过分析职前教师在空气质量问题解决中的表现，对职前教师在数据分析问题中的认知水平做了划分，见图1．

由图1可知，职前教师在解决数据分析相关问题时，其认知水平大多处于多元结构和关联结构发展水平，达到抽象拓展结构水平的人数较少．同时，可以看到在应用数据维度上的问题解决好于数据分析方法和数据随机意识，其中处于关联结构水平的人数占比45%，处于抽象拓展结构水平的占比8%．

图1 职前教师对数据分析问题的认知发展水平

为便于分析，把职前教师解决数据分析问题中出现的认知错误类型分成两类：本原性错误和非本原性错误．前者主要包括数学概念理解错误和数学推理错误，而后者主要指计算错误、表征错误等不涉及数据分析本质属性的错误．从3个问题的答题情况看，存在认知错误的答卷占比46.67%，其中86.36%的认知错误属于本原性认知错误，以问题1为例，具体分析见表4．

表4 问题1的认知错误情况分析

在本原性错误中，近20%的错误为概念理解性错误，近80%的错误为数学推理错误．就数学推理错误进行了访谈，结果发现：职前教师之所以认为昆明空气质量好，是因为主观上认为昆明是全国有名的空气质量好城市，加之计算平均数时发现两者之间差异不大，所以就忽略这种差异，于是“想当然”地推理出“心中的答案”．

3.2 对“空气质量问题”教学设计方案的分析

前面根据教学目标、教学过程、教学策略、评价意识等要素确立了教学设计方案的量化赋分规则，据此对职前教师的教学设计方案进行分析（见表5）．

由表5可见，近六成的教学设计处于基础层级，其关注点主要聚焦在教学目标的明确、教学过程的清晰、教学策略的合理等方面，只有近四成的职前教师在教学设计中关注了知识构建和学生数据分析观念的发展．

表5 教学方案设计得分

对“空气质量问题”的教学设计方案及部分模拟教学视频的分析表明，尽管不同职前教师的教学认知具有差异性，但从中可以辨认出能够刻画职前教师群体认知特点的、能反映其教学方法认知的教学“模式”．

弗朗西斯（Francis）等学者曾通过分析表现教师教学方法的事件，对教师的教学特点和可辨认的模式特征进行描述[18]．类似地，研究者把职前教师的教学“模式”定义为：在教学设计及其模拟教学活动中重复出现的，共同构成其教学方法认识特点的可辨认的特征．根据弗朗西斯等学者提出的“指令性的或者传授式的教学”与“探究式教学”的事件的分类标准，从探究、指令、总结、联系等方面，对职前教师的教学设计方案及微格视频进行分析，得到4类较为明显的教学“模式”（见图2），每种教学“模式”的人数分布情况见表6．

图2 职前教师4类教学“模式”

表6 4类教学“模式”人数分布

从表6可知，在教学设计方案及其模拟教学活动中，近三分之二的职前教师表现出明显“指令性”教学特征．譬如在知识回顾中提出何谓平均数、中位数、众数的问题，然后介绍3种统计量的求法，要求学生根据“空气质量问题”求出3种统计量，最后根据统计量回答两个城市的空气质量问题．只有不到三分之一的教学方案及模拟教学，体现了“探究性”教学的基本特征，具体表现为：注重对“空气质量问题”的分析，注重引导学生对已有空气指标、空气等级等条件信息与所求问题之间的关系的思考，注重分析不同数据分析方法对空气质量问题判断的影响等．

3.3 “空气质量问题”与其教学设计方案的成绩之间的相关性

表7显示了职前教师在“空气质量问题”与其教学设计方案的成绩之间的关系．对于职前数学教师来说，“空气质量问题”各小题与其教学设计方案的成绩之间均具有较高的正相关性（<0.05），这表明职前教师在教学设计方案上得到的分数越高，其在“空气质量问题”中的得分也越高．从而，在一定程度上支持了这样的假设，即教学设计方案较好的职前教师，其对教学设计内容的数学本质的把握也较好．

表7 “空气质量问题”与其教学设计方案的成绩之间的相关系数

4 讨论与结论

4.1 讨论

上述结果与章勤琼等研究者所作的相关研究[19]具有很大的相似性．就后者而言，其研究结果表明：职前教师对于未来从教的中小学数学知识的认知错误较为普遍，他们不仅缺乏对数学概念的深入理解，而且缺少对学生学习过程和数学思考的关注．两项研究有诸多不同：前者关注的是基于初中数据分析的教学认知，研究对象为数学师范专业师范生．后者聚焦的是小学在职教师的数学本体性知识，研究对象除了数学师范专业学生，还包括小学数学教育专业学生；前者地处西部经济社会发展相对滞后的贵州，后者来自东部经济社会发展较为发达的温州．但是两者结论的相似，说明在中国数学教师的职前培养中，专业学习中的知识拓展，并未加深其对中小学数学知识的认识和理解，加上缺少课程改革及中小学数学教学的实践参与，其教学的认识视角十分受限．

数学的学科认知是数学教学的根本．职前教师“空气质量问题”与其教学设计方案的成绩之间具有较高的相关性，这表明数据分析的学科认知对其教学认知具有影响和制约作用．这一研究结论与已有的关于初任数学教师的一些发现十分相似，如黄燕的研究[20]发现，多数初任数学教师对数学学科性质的认识多有偏颇，他们不仅“重”数学的工具性，“轻”数学的思想和方法，而且很少从数学教育的新理念和新思想去思考和设计教学．因此，提高职前教师数学教学认知发展水平，其意义不言而喻．基于此，在未来的研究中，应进一步探究数据分析的学科认知对其教学认知的作用机制，构建职前教师数据分析教学认知发展的测评模型，在此基础上研究数学教师职前教育中的教学认知发展对其职后教育教学实践的影响．

为了更好地揭示职前教师数学分析教学的认知特征，在分析相关测试问卷的同时，辅以视频分析和访谈研究的方法．在对近四分之一职前教师所录制的小型课堂教学模拟视频的分析中，发现了一个值得关注的现象：部分教学方案虽然表现出“探究性”教学特征，但是在教学模拟过程中，“探究性”常常被职前教师以自问自答的提问方式遮蔽．譬如，职前教师A在“空气质量问题”教学方案中，所设计的“5月5日—11日乌鲁木齐和昆明哪个城市空气质量最好”的问题，意在通过学生的探索和交流，帮助学生加深对平均数、众数等统计量的认识．但是在教学模拟中，对该问题的教学不知不觉地变成了执教者的自我解答．这表明，部分职前教师的教学行为与教学认知存在一定的偏差．究其成因，主要涉及教学模拟环境的制约（如“学生”角色的扮演者均为其同学）以及教学认识如何与教学实践结合的复杂抉择等因素．可见，让职前数学教师尽早走进中小学实践，以增进对课程改革和课堂教学的认识与思考，进而获得更多有利于完善数学教学认知的直接经验，这对于职前教师教学认知与实践的有效结合，具有重要意义．

4.2 结论

以问卷调查、内容分析与视频分析和访谈研究相结合的方法，从数据分析的学科认知和教学设计两个方面，揭示了职前数学教师数据分析教学的认知发展现状：一方面，数据分析的学科认知大多处于多元结构和关联结构水平，同时，也存在缺失数据分析的学科知识的现象，其中，既有概念理解和数据推理等本源性错误，也有数据计算、数据表征等非本源性错误；另一方面，注重数据分析教学目标、教学过程以及教学方法与策略等基本环节的设计，重视学生的数学基础以及旧知的复习与回顾，注重情境创设的经验起点和逻辑起点，但缺少发展学生数据分析观念的意识，“指令性”教学特征较为明显．可见，职前教师数据分析教学的认知发展状况与其作为未来教师应具有的学科知识水平相比，还存在较大差距．

5 建议与思考

通过对职前数学教师的访谈可知，影响其数据分析教学认知的因素很多，归纳起来主要有内在因素和外在因素．

教学问题意识是另一个重要的内在因素．事实上，那些没有教学问题意识，或者教学问题意识薄弱的职前教师，他们在“空气质量问题”的教学设计中，大多缺少对知识的“发问”和“追问”，更难以透过教学现象认清教学本质．然而，那些具有教学问题意识的职前教师，他们不仅善于思考教学中的诸多问题，譬如如何设置情境以引入知识，如何通过问题的设计突出重点、突破难点，如何合理地安排各个教学环节等，而且善于寻求对教学问题的解决方法．

外在因素数是影响职前教师数学认知的外部环境因素，其中，影响最大的是其专业学习中的课堂教学环境．众所周知，中国数学教育注重学生“双基”的发展．然而，在数学教师的职前教育中，由于人才培养大多偏重“学术性”，教师普遍关注数学知识的系统性、逻辑性和结构性，忽视知识的发生、发展过程，由此导致知识本位的数学课堂教学产生．在这样的教学环境影响下，不少职前教师在设计数据分析的教学方案时，过于注重对问题的讲解和解题训练．知识因此被僵化，失去活性．

基于此，特提出如下建议：

（1）在数学教师的职前教育中，应通过构建教学问题系统，优化“认知逻辑”，克服知识本位教学观对数据分析学科认识的不利影响．

即按照数据分析教学的内在结构及教学知识的形成规律，结合职前教师的认知特点，由专业教师编制一系列教学问题，以帮助职前教师解决在数据分析的学科认识、相关统计概念的理解以及数据推理中存在的诸多问题，进而优化“认知逻辑”，增强其对数据分析教学意义的认识和实践能力，等等．

（2）在数学教师的职前教育中，应通过处方式教学活动的开展，深化数据分析教学认识．

教学认知的内核在于教学思考，教学思考的对象是教学问题．研究表明，职前教师数据分析教学认知中显现的特点及存在的问题，反映出职前教师教学问题意识有明显差异．为此，应通过处方式教学活动的开展，帮助职前教师学会两种本领——教学的“临床诊断”和“开处方”的本领．其中，“临床诊断”式教学就是通过教学问题的构建，使他们在教学问题的思考中，学会向“知识”提问，向“教学”提问．譬如：如果说问题是数学的心脏，那么推动数据分析的基本想法是什么？数据分析的基本思想是什么？你在后续的教学设计中是否用到这种思想？你是如何运用的呢？通过对数据分析观念与统计观念的比较，你能发现两者有何差异吗？简要阐述你的看法．上述问题的设计主要基于职前教师数据分析教学认知中的问题，因此，容易引发职前教师的认知冲突，使其对数据分析教学形成内在的认知矛盾，从而激发其对数据分析教学的问题意识．

“开处方”式教学的重点在于教学问题的解决，即通过教学问题解决的程式，发展职前教师积极的教学思维．为此，可以通过课题研究型教学问题的解决，发展职前教师对学科本质、学生主体以及学习方式的思考．进一步地，通过引导职前教师对中小学数学课堂环境的观察和发现，从中梳理并确立相关的教学研究课题，进而设计和解决研究课题．譬如，不少教师常常有这样的教学困惑：概率是研究随机现象的，小学和初中的概率教学中都组织学生掷硬币和摸球，为什么在统计教学中还要提出数据的随机性呢？这是一个典型的研究型教学问题．对此问题的解决，无疑可以增进职前教师对数据分析教学意义的认识，从中领悟数据分析数学教学的真谛，进而发展数学教学的认识和实践能力．

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A Study of Pre-Service Mathematics Teachers’ Teaching Data Analysis on Cognitive Development——The Investigation and Analysis of Guizhou Local Normal Universities

REN Xu, XIA Xiao-gang

(School of Mathematics Science, Guizhou Normal University, Guizhou Guiyang 550001, China)

The instruments of research were the questionnaires, content analysis, video analysis and individual interview used the study for revealing the cognitive development of data analysis teaching of pre-service mathematics teachers, included two aspects on data analysis of subject cognition and teaching cognition. The status quo showed data analysis had a relatively low level of cognitive development on subjects and lack of knowledge of relevant disciplines in data analysis; although it focused on the basic aspects of designing data analysis in teaching, it lacked the awareness of developing student data analysis in concepts. Teaching “mandatory” featured more obvious. On this basis, the paper analyzed the main factors restricting the cognition of pre-service mathematics teachers’ data analysis and put forward corresponding countermeasures.

pre-service mathematics teacher; data analysis; mathematics teaching; cognitive development

G642

A

1004–9894（2018）06–0082–06

任旭，夏小刚．职前数学教师数据分析教学的认知发展研究基于贵州地方高师院校的调查与分析[J]．数学教育学报，2018，27（6）：82-87．

2018–06–05

国家社会科学基金教育学西部项目——面向核心素养的数学问题情境教学测评模型研究（XHA180286）；贵州师范大学教学内容和课程体系改革重点项目——面向核心素养的师范生“问题探究”教学的实践范式研究；贵州师范大学研究生创新基金项目——面向核心素养的问题情境教学耦合性评价研究（YC[2017]034）

任旭（1990—），女，湖南永州人，博士生，主要从事数学教育研究．夏小刚为本文通讯作者．

[责任编校：周学智、陈隽]