中小学生数学创造力培养的研究述评——聚焦课堂

王萍萍，鲍建生，周 超



中小学生数学创造力培养的研究述评——聚焦课堂

王萍萍1，2，鲍建生1，周 超2

（1．华东师范大学 数学科学学院，上海 200241；2．苏州大学 数学科学学院，江苏 苏州 215006）

创造性是数学的本质．中小学生数学创造力是一种相对创造力，是与学生先前经历和与其他学历相似学生比较中表现出的创造力．数学课堂中的创造力来自于学生、教师和教学任务形成的系统中．为了发展数学创造力，学生需要深度的知识学习、发散的思维方式和创造性的人格及情感；教师需要在积极创造力教育观下进行创造性地教学，实现为创造力而教这一主题；教学任务具有挑战性、解法多而广等多种特征，恰当的教学策略才能发挥其教育功效．

数学创造力；创造性思维；创新教育；教学任务

1902年，数学家庞加莱的一份有关数学创造的调查问卷开启了数学界对创造力的关注[1]．直至今日，他的许多观点仍在创造力研究领域占一席之地．但是，在推崇创造力价值的今天，数学创造力却往往被教育者和教育研究者所忽视．Haylock和Leikin分别对国际上主流数学教育和创造力教育杂志上的文献进行梳理，时隔20年的两项调查却都反映出数学创造力研究的匮乏[2]．2010年，ICMI附属组织数学创造力和资优教育国际小组MCG（International Group for Mathematical Creativity and Giftedness）正式成立后，这种局面才有所改善．曾经一度只以专业数学家为关注对象的数学创造力研究，近些年逐渐转为聚焦课堂上的中小学生[3]．立足于每位学生都具备并能发展创造性潜能这一基本观点，研究者对数学创造力的界定、培养和评价等展开了一系列研究．与此同时，中国数学教育对发展学生的创新意识和创新能力也非常重视，《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出[4]，“数学课程要特别注重发展学生的应用意识和创新意识”，“创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”．众多研究者和一线教师就数学中的创新教育发表了自己的见解[5-9]，既有重要性的阐述，又有教学的建议，无一例外地呼吁数学教育工作者关注中小学生数学创造力的培养．

创造力是一个复杂的多面结构，提高学生的创造性潜能不是一蹴而就的，离不开学生、教师、家庭、学校，乃至整个社会的支持与不断努力，这里仅聚焦数学创造力发生发展的主阵地——数学课堂中创造力的培养．着眼于发展每位学生的数学创造性潜能，首先阐明中小学生数学创造力的具体表现（即“是什么”），再依据创造力研究领域著名的系统理论，指明课堂中数学创造力存在于学生、教师和教学任务3者构成的系统之中（即“在哪里”），并以这3者为聚焦点，评述并提炼国内外数学创造力培养的研究成果（即“如何培养”），最后提出结语和若干教学启示，以期对致力于中小学生数学创新教育的教师和研究者有所启发．

1 中小学生数学创造力是什么

创造性是数学的本质，但什么是数学创造力，学术界并没有统一而清晰的界定[10]，如庞加莱用组合和选择描述创造过程，克鲁捷茨基用思维灵活性理解数学创造力本质，Hollands用发散思维结果来刻画数学创造力，Carlton用杰出数学家的思维特征定义数学创造力．

对于数学创造力，一种观点是，只有数学家才能拥有，或者至少是数学资优生才能涉足．现代创造力教育的观点则是每一位学生都具有创造力，都能有创造性表现．研究者指出创造力是微创造力、日常创造力、专业创造力和杰出创造力的连续发展体[11]，与中小学生数学学习有关的是微创造力（对个人而言新颖的、富有意义的解释）和日常创造力（相比于他人而言新颖的、合适任务的行为、想法或产品），以区别于数学专业人员的专业创造力和伟大数学家的杰出创造力．显见，弗赖登塔尔提倡的数学学习中的“再创造”正是微创造力的表现．

Liljedahl等人对数学创造力进行了专业层面和学校层面的区分[12]．Leikin使用的另外一个二分法，即绝对创造力和相对创造力也表达了相同的意思[13]．绝对创造力指世界水平的数学发现，相对创造力是与学生先前经历和与其他学历相似学生比较中表现出的数学创造力．因此，学生的许多行为都是创造力的表现，如独立构思、解题、证明、推导公式；构建有意义的符号、标记和算法，设计问题解决方案，想出合理的评估方式；对非常规问题得出独创性解法[14]；思维灵活多样、推理过程可逆，善于提出问题，做出猜测和假设，并加以证明[15]；争取数学中优美而清晰的解释和推理[16]；识别技能领域与应用领域之间的联系，在看似不相关联的数学思维之间建立起一种联系；敢于质疑、勇于对他人见解发表不同看法[17]．可见，学生的数学创造力表现不仅包含创造性思维过程和思维结果，还包含创新意识在内的创造性人格和情感，这与创造力研究领域的3个P（process、product、person）完全吻合．

2 中小学生数学创造力在哪里

相比于一般创造力理论首先关注“创造力是什么”，著名创造力研究大师希斯赞特米哈伊（Csikszentmihalyi）的创造力系统模型则首先关注“创造力在哪里”的问题，为考察如何培养数学创造力提供了更广阔的视野．该模型认为创造力来自构成系统的3个要素——领域（domain）、学界（field）和个人（person）之间的互动，只能从3个要素构成的系统中观察创造力[18]．第一个要素是领域，其中包括一套符号规则和程序．数学是一个领域，更细化的代数和数论也是领域．第二个要素是学界，其中包括所有为该领域把关的专家．他们的职责是确定某个新观点或新产品是否应该纳入该领域．第三个要素是个人．如果个人的创造性产品被学界选择纳入领域，它就成为这个领域的一部分．

希斯赞特米哈伊特别关注中小学生创造力的培养，并将上述创造力系统模型应用于课堂教学之中，形成以教学材料、教师和学生为三要素的课堂创造力系统模型[19]．学生努力研习教师精心挑选的教学材料（通常以教学任务形式呈现），大胆地提出新问题或新解法．但是，光有新问题或新解法还不能称为具有创造性，因为它可能不符合数学逻辑，也可能不够新颖，此时需要教师对其进行评价，一旦教师认定它的创新价值，又认为值得以某种形式保留下来（如教师将其融入教学任务之中），那么人们就看到了数学创造力的发生．而那些被教师拒绝的新想法会随着时间流逝渐被遗忘．可见，学生作为创造的主体，教学材料（教学任务）作为学生创造的基础和契机，教师作为学生创造的引导者和把关者，一个都不能忽视．只有3方协作互动才能更有效地激发学生的数学创造潜能．

3 中小学生数学创造力如何培养

学生、教师和教学任务是课堂上数学创造力发生发展的3大要素．以下分别聚焦3者，评述并提炼各自展现最佳创造性状态的关键因素．

3.1 聚焦课堂——学生

立足于学生，深度的知识学习是基础，发散的思维方式是关键，创造性的人格和情感是保障．只有在希斯赞特米哈伊所谓的“福流状态”时创造力才可以达到高峰．

3.1.1 深度的知识学习

牛顿早有名言“如果我所见的比笛卡尔要远一点，那是因为站在了巨人的肩膀上”，大量的研究表明知识对学生数学创造性表现的重要性[20]．庞加莱和阿达玛则从数学创造机制上进行了解释．他们认为数学创造本质上就是组合和选择[21]．处理数学问题时，人利用头脑中已有的数学概念和思想形成无数个可能的组合，再在众多组合中选择少数有价值的组合．显然，头脑中拥有的数学概念和思想越多，产生的组合也越多，获得成功创造的可能性也越大．创造力研究领域有所谓的“十年法则”，即通常需要在一个领域勤奋工作及研习至少10年才可能产生真正有创意的作品．

另一方面，知识和创造力存在着所谓的张力理论，即倒U关系．学生过多的知识和操作自动化并不会带来创造性的成果，相反会损伤知识运用的灵活性，形成思维定势；这种过分强调知识和逻辑的情形，使得大脑左半球得以发展，而与创造力有关的右半球则被忽视；还容易让学生持有模式化解题的消极观念，从而阻碍想象力，限制好奇心和放手操作[22]．

相比于“量”，知识的“质”对创造起着更为关键的作用．新想法通常是概念迁移的结果，促成迁移最重要的心理机制是类比．创造性迁移需要深层关系的类比，这意味着概念的理解对创造至关重要．理解概念意味着学生必须协调概念的内在关系网络及各种运算；使各概念的内在网络间形成连结的概念体系；表征系统连同在表征方式间变换和表征方式内转化的协调；随时改正或改造上述成分使其适合实际情境[23]．理解包含着一种动态机制，可以导致更多的灵活性，也更容易迁移到新情境从而产生创造性．还有研究者认为创造本身就是理解，并且是理解的最高境界，如皮瑞—基伦理解模型的最后一个层次是“发明创造”，任伟芳等人在工具性理解、关系型理解基础上提出创新性理解[24]等．

此外，创造力研究者强调学生通过主动构建获得知识的深度理解；还非常重视知识附带的数学思想，认为它们构成了最具迁移价值的认知结构和问题解决策略，提倡聚焦方法论的教学，鼓励学生像数学家一样思考、感受和操作[25]．可见，数学“四基”是进行数学创造的基础，同时应认识到掌握“四基”的过程也正是数学创造的过程．

3.1.2 发散的思维方式

丰富的知识和深度的理解是创造力的基础，但重要的是如何利用这些知识进行数学创造，其中起关键作用的就是认知风格，即个人组织信息和加工信息的特性化和一贯化的方式．认知风格的分类和模型众多，Riding将所有的认知风格从两个维度上加以分析：整体—序列和言语—视觉[26]．以前者为特征的模型还包括聚合—发散和场独立—场依存等；后者即为克鲁捷茨基提出的分析—几何；视觉型倾向于整体型，言语型倾向于序列型．

这些风格中，发散思维对创造力尤为重要．它主要有4个特征，即流畅性、灵活性、新颖性和精致性．显然这些特征也是创造性思维的主要内容，因此，发散思维成为创造性思维最重要的成分，吉尔福特在其著名的“智力结构模型”中将发散思维视为创造力的核心．当然，创造也离不开聚合思维、批判性评价等其它复杂的工作，如Osborn-Parnes的创造性问题解决模型就很好地展示了它们之间的互动[27]（图1）．这个问题解决模型的一个显著特点是，每个步骤首先涉及一个产生很多想法的发散思维阶段，后继一个挑选最好想法并进一步探索的批判和聚合思维阶段．课程标准（2011版）指出，学生自己发现和提出问题是创新的基础，独立思考、学会思考是创新的核心，图1则可视为其更细致的解读与延伸．在创造过程中，学生只有立足于自身数学现实、生活现实和其它学科现实进行发散思维，才有可能产生异于他人的独特见解，并在此基础上结合批判和聚合思维进行有价值的创新．重视并切实落实中小学生数学学习中的发散思维训练应成为创造力培养的关键．

图1 创造性问题解决模型

此外，整体、场独立和视觉型也是有利于产生新颖和高层次洞察的认知方式，因此数学教学中应鼓励学生进行相应的思维训练：鼓励从整体上进行合情推理和猜测；鼓励独立思考、自主探究；鼓励学生进行形象思维与直观想象，这不单指静态的图形操作，更多的是头脑中高度抽象的意象的心理操作与转换，研究显示数学能力强的学生更偏向动态的空间视觉型[28]，且意象是想象力的核心，是数学家进行数学创造的本质特征之一．

需要指出的是：（1）认知风格没有好坏高低之分，具有相同能力的个体可以有不同的认知风格．尽管不同风格产生洞察的程度不同，但创造离不开发散与聚合、整体与序列、场独立与场依存、言语与视觉思维的共同合作．因此，最好的做法是，让学生在形成自己思维风格的同时，兼顾到其它思维方式，并存发展．（2）理想状态下，学生和教师风格匹配时能充分发挥该种风格的优势，但集体教学中更实际的做法是：让学生接触多种风格；理解哪种风格最适合自己在数学上的学习；体验如何将多种风格相结合，以达到最大化的学习效率和满足感．

3.1.3 创造性的人格和情感

创造性的人格是影响创造力的重要因素之一．希斯赞特米哈伊认为具有创造力的人的共同特征是充满好奇心和兴趣．此外，他们会兼具10组完全对立的性格：精力充沛而又沉静自如；聪明而又天真；兼具责任心和游戏心；幻想而又现实；内向而又外向；谦虚而又骄傲；坚强而又敏感；叛逆而又传统；热情主观而又冷静客观；开放而又敏锐．这也充分说明创造性人格的复杂性．

近年来，创造力研究领域更具包容性地关注创造性的情感．许多研究显示，积极的情感影响个人的创造过程．什么是积极的创造性情感，以下研究能给出一定的启示．

Renzulli提出天才行为的6大“认知合作性特质（co-cognitive traits）”[29]：乐观（认知、情绪、动机上的乐观和对未来成功的信念）、勇气（精神和信仰上的正直和勇敢）、对主题或学科的迷恋（热情和喜爱）、对人类关注的敏感性（利他主义和共鸣）、身体/精神的活力（领袖气质和好奇心）和对命运的感知（内控倾向、动机、意志力和自我效能）．

Mann建议在数学创造力4个成分（流畅性、灵活性、新颖性和精致性）外，添加第五个成分——打破旧习（iconoclasm），其更倾向于情感领域，是数学创造力的必要条件[30]．

Mehta对4位菲尔兹奖获得者进行深入的人物剖析，发现他们最让人印象深刻的共性是：（1）“数学无处不在”的态度．创造性成为他们难以“关掉”的思维倾向；生活中的兴趣和爱好对专业思维起到积极的影响．（2）对美学的追求．（3）数学研究中独特的个人风格．对4位数学家的刻画表明数学上的成功来自热情与游戏心，来自寻找自身领域与其它学科的联系[31]．

希斯赞特米哈伊发现，当人们处于一种所谓的“福流状态（flow）”时最具有创造性．这一巅峰状态具有以下特征：有清晰的目标；对任务高度集中注意；失去自我意识；时间感歪曲；从事任务时有持续不断的及时反馈；能力水平和任务挑战之间保持平衡；有自我控制感；活动是内部奖励的；意识的焦点仅在于活动本身，以至于行为和意识统一．可以看出，学生必须全身心投入到数学学习中，没有对数学的兴趣与爱好，没有恒心与毅力，创造性成就很难实现．同时教师的作用不容忽视，缺少教师创设的良好环境和恰当的引导与把关，学生的创造性成就也难以保证．数学教学中，教师应努力创设条件让学生体验这种高峰的“福流状态”．

3.2 聚焦课堂——教师

教师是课堂数学创造力发生的关键要素．作为学生创造力的“把关人”，一方面教师把关课堂上的教学任务及教学策略以引发学生创造性思维，另一方面把关学生的行为和成果是否具有数学上的创造性．这意味着教师要有积极的创造力教育观念和相关知识，并能结合教学内容和学生特点进行创造性地教学以实现学生创造力的提升．

3.2.1 积极的创造力教育观

就课堂实践层面来看，教师对数学创造力及其教育所持的观念会影响他们的教学实践，并通过教学任务和策略的选择、对学生的反馈、评价等形式表现出来．多国调查都反映出（职前）数学教师对创造力及创造力教育存在着狭隘观念[32-33]．如一些富有创造性的人格特征在社交上并不受教师欢迎；就数学而言，算法的获得最重要，创造力会分散精力；英语、艺术、科学提供的创造力机会比数学多得多，数学学科培养创造力非常困难；教育体制是抑制创造力发展的主要因素，却没有意识到教师也可能阻碍学生创造力的发展．在声称重视并鼓励创造性思维的课堂中，教学实践却往往忽视、甚至是阻碍创造性思维的发展．

这些研究表明许多（职前）数学教师缺乏数学创造力教育的积极观念，这也意味着在数学学科要推进创造力教育会存在许多困难．还有研究者指出教师的教学观念和方法受自己学生时代所接受的数学教育的影响，这意味着创造力教育观念和行为可以通过教师的言传身教影响到学生，这进一步凸显教师在创造力培养中的重要地位．上述调查也反映出这样一个事实，许多教师缺乏有关数学创造力评价和培养的相关知识，不能识别及恰当评价学生的数学创造性表现及倾向，也不知道如何在教学中融入创造性元素，这无疑会极大阻碍学生数学创造力的发展．为了切实保证课堂内创造力教学的实施，教师应该树立积极的创造力教育观念，并努力提高自身的创造力教学素养；师资培育部门应重视并加大这方面的投入．

3.2.2 创造性地教学

为了进行数学创造力教学，教师本身应具有创造力，这里的创造力不单是数学创造力，更重要地是教学上的创造力，即教师发挥教学上的聪明才智进行创造性地教学．

创造性地教学是教师运用富有想象力的教学方式让学生的学习更加有趣和有效．研究者给出许多创造性教学的建议[34]，如处理真实的、与日常经验有关的数学，处理具有故事背景的数学，处理角色扮演和使用想象力的数学，处理数学游戏，通过音乐和韵律学习数学，利用信息技术学习数学等．中国教师也有许多有价值的经验，有教师让学生在自学的前提下对相关数学概念的辩题展开辩论；针对学生没有机会提问或提不出问题的现状，设计“师生双向答疑卡”，并采用多种互动方式解疑[35]．这些教学的特征是采用常规课堂中不常用的教学方式，因而能引发学生的兴趣、好奇心和投入感；同时注重知识与生活及跨学科的联系，为引发学生猜想、想象和发散思维提供认知和情感方面的支持．除上述新颖教学技术和方式外，张奠宙教授提倡常规教学中创新点的设计[36]，即教师立足于知识发生发展规律和学生认知规律基础上的内容和策略的创新，更能展示教师深厚的数学功底和教学的智慧．例如，金惠萍等人注意到学生初学对数概念时容易对对数的由来产生疑惑并影响到对数理解，便创造性地在教学中融合数学史知识，再现数学家进行大数运算的困境，引导学生经历对数的发明过程，让学生以数学家的自觉真正体验和感悟数学创造[37]．需要注意的是，创造力教育中，教师创造性教学应服务于发展学生数学创造力这一主题，谨防喧宾夺主或滥用．李孝诚等人指出读懂教材、数学和学生是教师创造性教学设计的前提和基础[38]．

3.2.3 为创造力而教

创造性地教是有效的教学方式，但并不一定以发展学生创造力为目标；为创造力而教则是创造力教学的主旨，教师的一切教学行为和活动都服务于培养学生独立创造性思维和行为能力这一主题．为创造力而教的课堂中，教师的主要活动可以从以下几方面进行分析，而创造性地教则有机地融入其中．

选择任务 在多样化的集体课堂中，为了让不同学生从事不同层次和富有个性的数学创造，希斯赞特米哈伊的建议是，任务或活动必须能适合每位学生的能力，或者至少是可以改变的．

营造环境 教师要确保学生能在一种宽松的环境中独立思考、大胆质疑，得出独特的见解，并能自由地发表意见，无需担心教师的批评与责罚或同学的讥讽与嘲笑．教师营造的创造性环境应该是自由、安全、民主、合作、和谐和相互尊重的．

调控进度 创造过程经历准备期、酝酿期、明朗（顿悟）期和验证期．其中，酝酿期对获得创造性想法至关重要，大量观念的组合和选择就发生在这个时期．大量研究支持酝酿期的意识思维休息假说及遗忘固着假说．因此，教师一方面应提供富有挑战性的任务让学生体验酝酿期，另一方面应调控教学的进度，保证学生有足够的酝酿时间，如在课堂话语和活动中进行短暂的休息，让学生在一段时间内同时处理多个任务或完成长时作业等．

引导创造 课堂创造力大多基于对话中突现的新想法和类推，许多研究探讨教师如何在对话中引发学生进行创造．波利亚的“怎样解题”表就是著名的引导数学创造的启发法．Sheffield在其基础上建立起一个非线性的启发式模型[39]，引导学生在5种活动（联系、探索、交流、评价、创造）间交错往复，像数学家一样进行数学创造．英国的“可能性思维”教学也强调创造性对话，它本质上是以多种方式来询问“如果…将怎么样”，涉及到提出问题、发挥想象力和两者之间的互动[40]．类似启发法还有陈龙安的启发式提问法、CREATE技法和SCAMPER技法等．需要指出的是，教师引导的目的是让学生养成发散思维习惯，掌握重要数学思想和一般性创造技法，使之成为数学创造的有力工具．

评价创造 按照希斯赞特米哈伊的观点，教师握着学生创造力的“生杀大权”，这意味着教师正确识别并积极评价学生的创造性行为和倾向对学生展现创造力至关重要．目前常用的创造力评价方法有自我评价、同伴提名、个性测量、发散思维测试和历史回溯等．已有的一些心理学量表提供了较好的参考，但就数学教学而言，教师仍应掌握基本的评价原理和方法并进行创造性的应用．

教师在创造力教育中发挥着极为重要的作用．相应地，创造力教育对教师也提出相当高的要求．要能胜任创造力的引导者和把关人，数学教师一方面需要在实践中不断深化创造力教育观念，另一方面需要不断丰富数学创造力教学的实践性知识，切实将创造力培养融入教学中．

3.3 聚焦课堂——教学任务

教学任务是数学教学的载体，学生的学习很大程度上受任务的影响．在创造性数学课堂中，教师选择的任务类型及教学策略不仅影响学生如何感知数学这门创造性学科，还影响学生数学创造性潜能的发展．

3.3.1 有利的任务类型

首先关注这些任务具备的“期望性”特征．由于创造力通常通过流畅性、灵活性和新颖性来鉴定，因此任务必须能发展学生这3方面的表现[41]．任务对于解决方案有着最少的提示，问题难度合适并能引发所有学生创造力的提升[42]．任务具有多种解法或多种思路，且不应是数学上简单无意义的[43]．挑战性是这些任务的核心特征，但挑战性和高难度是一个微妙的概念，特别是在多样化班级中，这些任务的答案范围一定要宽广而发散，要让水平相对较低的学生也能有所创造．任务还应该能引发学生兴趣，鼓励学生在原题基础上进一步探究，并能带动思维和学习风格的发展[44]．

对于具体的创造性任务类型，研究者也给出多种建议，如再定义、问题提出和问题解决任务[45]，数学建模任务[46-47]和寻找数学模式的任务[48]等．特别地，Pehkonen等人提倡问题解决任务应有多种不同的方式，包括日本的开放题、英国的探究性问题、荷兰的现实主义数学和PME讨论组提出的多种开放题型，如探究、现实生活情境、项目、问题领域（或问题串）、不带问题的问题和问题变式（“如果…怎么样”）等[49]，这里将问题提出纳入问题解决之中．林崇德教授应用自编应用题发展小学生的数学创造力取得了良好成效[50]．钱从新指出推广与引申型任务是培养学生创新能力的有效途径[51]．多解法任务似乎成为这些任务的共同属性[52]．

有研究调查（职前）教师在数学创造力课堂中如何选择教学任务[53-54]，结果显示他们会兼顾认知和非认知因素考虑课堂上的任务类型，但对任务的创造性教育价值的理解含糊不清．同时，在职教师在任务选择上更趋技能与算法，创造力教学观更趋狭隘．如果学校数学教育以创造力为教育目标的话，加强教师的创造力教育素养迫在眉睫．

3.3.2 恰当的实施策略

Stein等人指出教学任务要能充分发挥其教育价值，还需要教师使用恰当的教学策略．他们提出若干保持和降低教学任务高认知要求的教学策略[55]，这些策略对于创造型教学任务的实施同样具有指导意义．

研究者提出许多创造力教育的一般性教学建议，如创建安全环境、给予酝酿时间、提倡多解法，等等，这些对于数学创造力教育具有重要的指导价值，但还需要挖掘更多落实于数学任务实施中的策略．

Lev-Zamir[56]等人观察两位教师的课堂教学，尽管教学任务相似（本质上都是“鸡兔同笼”问题），但由于教师不同的教学策略，其带给学生的数学创造体验完全不同（详见表1）．

表1 两位教师教学策略对比

显然，B教师的课堂更有利于学生创造力的培养．特别地，B教师关于对话交流的做法值得推荐．学生分享自己的独创性观点和洞察，不仅可以组织、巩固和反思自身的数学思维，还可以启发其他学生进行创造性思维．交流是数学创造的重要渠道和特征．

有研究者提倡课堂教学中运用直觉和数学美学启发学生进行创造性思维．张昆提倡教师在解题教学中对任务的数学化信息进行审美意向的过滤与引导，让学生凭借数学的对称美、和谐美与奇异美产生数学直觉与启发，进而探寻问题本质，挖掘“真知”[57]．赵思林等人提倡通过培养学生的数学直觉发展创造力，并提炼出培养数学直觉的若干策略，如优化认知结构，创设直觉思维场情境（问题情境、直观情境、审美情境等），训练直觉思维方法（观察法、联想法、归纳法、类比法、猜想法、估算法等），开发元直觉思维，等等[58]．

Chiu以中国台湾3位教师的教学为例，将数学教学分为3种类型[59]：自由型、推理型和技巧型，并指出自由型教学是创造性问题（有多种或发散性解法）最合适的教学方法．自由型强调宽松的环境和学生的自我调节，鼓励学生想象，提倡不同的解法和数学创造，在基本理解概念后高效地从事自由化问题．推理型倾向于通过挑战性或脚手架式问题强化关键概念的理解，各种类型问题都能转变为一种推理型问题．技能型通过提供解法窍门，强调得到正确答案，基本不关注操作背后的概念．显见，技能型教学尽管为学生创造了成功体验，但其与创造力的“福流状态”截然不同，不利于概念的理解和思维的培养，有碍创造力的发展．与自由型教学相比，推理型教学的一些教学策略值得思考．首先，推理型教学频繁搭建思维脚手架，留给学生自由探究、产生独创性想法的空间较少，降低了挑战性任务的教学功效．其次，推理型教学忽视知识在现实问题中的理解，这显然是偏颇的．弗赖登塔尔指出数学的教育内容来自于现实世界，学习“现实的数学”内容，才能掌握比较完整的数学体系，更有利于创造性地应用数学知识于现实．

4 结语与启示

（1）中小学生数学创造力的培养需协调好学生、教师和教学任务三要素．

数学创造力发生发展于学生、教师和教学任务3者的互动中．一方面，创造力教学应该立足每一个成分，努力实现其最佳的创造性状态；另一方面，应该认识到3者是不可割裂的创造力整体，当3者以某种状态同时呈现时，其结果往往就是创造力的展现．希斯赞特米哈伊以“福流状态”定义这个创造力的高峰状态，侧重描绘个人体验；Renzulli则从整体教学角度将其称为“理想的学习行为”[60]．

（2）中小学生数学创造力的培养需兼顾学生的创造性思维和人格发展．

现代创造力研究表明，创造过程不是一个简单的、单一的心理过程．从发现问题、获得知识、收集相关信息，到酝酿、产生想法、组合想法、选择最优想法，最后外化想法，每一个步骤都离不开创造者的辛勤工作．在此过程中，创造性思维贯穿始终，它是产生创造的关键与核心；而创造性的人格和情感也不容忽视，它是激发学生创造热情并能坚持不懈的重要动力和源泉．林崇德教授曾提出创造性人才=创造性思维+创造性人格[61]，说明创造力的培养要兼顾思维和人格两方面．

（3）中小学生数学创造力的培养需提升教师数学创造力及创造力教学能力．

数学创造力教育中，教师的作用至关重要．一方面，拥有高水平数学创造力的教师能为学生树立创造的榜样，其创造性思维、态度、人格和情感等都会对学生产生积极影响；另一方面，拥有高水平创造力教学能力的教师能识别学生的创造性行为，设计合适的教学任务引发学生的创造性思维，并能创造性地使用教学方法和手段，有效地培养学生的创造力．有研究者在师资培训课程中关注（职前）教师上述两方面的发展，如Shriki在其“数学方法论”课程中，让17位职前教师参与6周的几何概念发明和性质挖掘活动，通过发展职前数学教师自身的数学创造力来提升他们对数学创造力的感知能力，并深化他们的数学和创造力教学知识[62]．喻平教授将教师的教学分为基本型、智慧型和创新型3个层次，它们分别依托于教师不同层次的知识和能力，这为培养教师的创造力教学能力提供了一种途径[63]．但总体而言，国内外创造力师资培育课题还有待深入探究．

[1] SRIRAMAN B. The characteristics of mathematical creativity [J]. ZDM, 2009, 41 (1): 13-27.

[2] LEIKIN R, PITTA-PANTAZI D. Creativity and mathematics education: the state of the art [J]. ZDM, 2013, 45 (2): 159-166.

[3] SINGER F M. Problem posing and modification as a criterion of mathematical creativity [C] // PYTLAK M. Proceedings of CERME7. Poland: CERME7, 2011: 1 133-1 142.

[4] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012：5．

[5] 李正银．数学与创新教育[J]．数学教育学报，2002，11（1）：46-47．

[6] 汤慧龙．关于数学创新性教育的另一种思考[J]．数学教育学报，2011，20（3）：17-18．

[7] 汪秉彝，吕传汉．创新与中小学数学教育[J]．数学教育学报，2000，9（4）：34-37．

[8] 周建勋．寻找实施数学创新教育的基点[J]．数学教育学报，2001，10（4）：85-87．

[9] 季素月．创新意识的培养与数学学习环境的重建[J]．数学教育学报，2001，10（4）：21-24．

[10]  MANN E L. Creativity: the essence of mathematics [J]. Journal for the Education of the Gifted, 2006, 30 (30): 236-260.

[11]  KAUFMAN J C, BEGHETTO R A. Beyond big and little: the four c model of creativity [J]. Review of General Psychology, 2009, 13 (1): 1-12.

[12]  LILJEDAHL P, SRIRAMAN B. Musings on mathematical creativity [J]. For the Learning of Mathematics, 2006, 26 (1): 17-19.

[13]  LEIKIN R, LEV M. The connection between mathematical creativity and high ability in mathematics [C] // UBUZ B. Proceedings of the 8th congress of the european society for research in mathematics education. Ankara, Turkey: Middle East Technical University, 2013: 1 204-1 213.

[14]  BODEN M A. Creative mind: myths and mechanisms [J]. Behavioral & Brain Sciences, 1994, 17 (3): 519-531.

[15] 董奇．儿童创造力发展心理学[M]．杭州：浙江教育出版社，1993：50．

[16]  SHEFFIELD L J. Questioning mathematical creativity——Questions may be the answers [M] // LEIKIN R. Creativity in mathematics and the education of gifted students. Haifa, Israel: Sense Publishers, 2009: 87-100.

[17] 罗新兵，罗增儒．数学创新能力的涵义与评价[J]．数学教育学报，2004，13（2）：82-84．

[18]  CSIKSZENTMIHALYI M．创造力：心流与创新心理学[M]．杭州：浙江人民出版社，2015：6．

[19]  CSIKSZENTMIHALYI M. The systems model of creativity [M]. Netherlands: Springer, 2014: 166.

[20]  MANN E L. Mathematical creativity and school mathematics: indicators of mathematical creativity in middle school students [D]. Connecticut: University of Connecticut, 2005: 14.

[21] 张楚廷．数学与创造[M]．大连：大连理工大学出版社，2016：28．

[22]  KATTOU M, KONTOYIANNI K, PITTA-PANTAZI D, et al. Connecting mathematical creativity to mathematical ability [J]. ZDM, 2013, 45(2): 167-181.

[23] 鲍建生，周超．数学学习的心理基础与过程[M]．上海：上海教育出版社，2009：129．

[24] 任伟芳，偶伟国，龚辉，等．“工具性理解”“关系型理解”和“创新性理解”[J]．数学教育学报，2014，23（4）：69-73．

[25]  SAWYER R K．创造性：人类创新的科学[M]．上海：华东师范大学出版社，2013：34．

[26]  RIDING R J. On the nature of cognitive style [J]. Educational Psychology, 1997, 17 (1-2): 29-49.

[27] 陈龙安．创造性思维与教学[M]．北京：中国轻工业出版社，1999：62．

[28] 鲍旭辉．客体——空间表象和言语认知风格模型及其测量[J]．心理科学进展，2012，20（4）：523-531．

[29]  RENZULLI J S. Expanding the conception of giftedness to include co-cognitive traits and to promote social capital [J]. Phi Delta Kappan, 2002, 84 (1): 33-58.

[30]  MANN E L, CHAMBERLIN S A, GRAEFE A K. The prominence of affect in creativity: expanding the conception of creativity in mathematical problem solving [M] // LEIKIN R. Creativity and giftedness. Switzerland: Springer International Publishing, 2017: 57-73.

[31]  MEHTA R. Creativity in mathematics and beyond——learning from fields medal winners [J]. Tech Trends, 2016, 60 (1): 1-5.

[32]  LEIKIN R, SUBOTNIK R, PITTA-PANTAZI D, et al. Teachers’ views on creativity in mathematics education: an international survey [J]. ZDM, 2013, 45 (2): 309-324.

[33] BOLDEN D S. Pre-service primary teachers’ conceptions of creativity in mathematics [J]. Educational Studies in Mathematics, 2010, 73 (2): 143-157.

[34]  POUND L, LEE T. Teaching mathematics creatively [M]. London and New York: Routledge Taylor & Francis Group, 2011: 51-86.

[35] 史根东，傅道春．教师创新行为案例与评议[M]．北京：中国科学技术出版社，1999：243．

[36] 张奠宙，崔雪芳．常规数学教学中创新点的设计[J]．教育科学研究，2006（1）：32-34．

[37] 金惠萍，王芳．HPM视角下的对数概念教学[J]．教育研究与评论，2014（9）：28-34．

[38] 李孝诚，綦春霞．从“为创新设计教学”到“为教学设计创新”[J]．数学教育学报，2012，21（2）：90-94．

[39]  SHEFFIELD L J. Creativity and school mathematics: some modest observations [J]. ZDM, 2013, 45 (2): 325-332.

[40]  BEGHETTO R A，KAUFMAN J C．培养学生的创造力[M]．上海：华东师范大学出版社，2014：271．

[41]  SILVER E A. Fostering creativity through instruction rich in mathematical problem solving and problem posing [J]. ZDM, 1997, 29 (3): 75-80.

[42]  CHING T P. An experiment to discover mathematical talent in a primary school in Kampong Air [J]. ZDM, 1997, 29 (3): 94-96.

[43]  HAYLOCK D. Recognizing mathematical creativity in schoolchildren [J]. ZDM, 1997, 29 (3): 68-74.

[44]  HERSHKOVITZ S. Mathematical creativity and giftedness in elementary school: task and teacher promoting creativity for all [M] // LEIKIN R. Creativity in Mathematics and the education of gifted students. Haifa, Israel: Sense Publishers, 2009: 255-269.

[45]  HAYLOCK D W. A framework for assessing mathematical creativity in schoolchildren [J]. Educational Studies in Mathematics, 1987, 18 (1): 59-74.

[46]  SUN H K, KIM S. The effects of mathematical modeling on creative production ability and self-directed learning attitude [J]. Asia Pacific Education Review, 2010, 11 (2): 109-120.

[47] 张景斌．中学数学建模活动为中学生创造发展空间[J]．数学教育学报，2001，10（1）：11-15．

[48]  VALE I. Pattern problem solving tasks as a mean to foster creativity in mathematics [C] // TSO T Y. Proceedings of the 36th Conference of PME. Taiwan: PME, 2012: 171-178.

[49]  PEHKONEN E. The state-of-art in mathematical creativity [J]. ZDM, 1997, 29 (3): 63-67.

[50] 林崇德．自编应用题在培养小学儿童思维能力中的作用[J]．心理科学，1984（1）：16-24．

[51] 钱从新．运用推广与引申的方法培养学生的创新能力[J]．数学教育学报，2003，12（1）：97-99．

[52]  LEIKIN R, BERMAN A, KOICHU B. Creativity in mathematics and the education of gifted students [M]. Netherlands: Sense Publishers, 2009: 129-145.

[53]  LEVENSON E. Tasks that may occasion mathematical creativity: teachers’ choices [J]. Journal of Mathematics Teacher Education, 2013, 16 (4): 269-291.

[54]  DESLI D, ZIOGA M. Looking for creativity in primary school mathematical tasks [C] // KRAINER K. Proceedings of CERME9. Prague, Czech Republic: CERME9, 2015: 989-995.

[55]  STEIN M K．实施初中数学课程标准的教学案例[M]．上海：上海教育出版社，2001：21．

[56] LEV-ZAMIR H, LEIKIN R. Saying versus doing: teachers’ conceptions of creativity in elementary mathematics teaching [J]. ZDM, 2013, 45 (2): 295-308.

[57] 张昆．数学解题教学设计的创新实践研究——基于“美学”的视点[J]．数学教育学报，2015，24（5）：41-45．

[58] 赵思林．试论数学直觉思维的培养策略[J]．数学教育学报，2010，19（1）：23-26．

[59]  CHIU M S. approaches to the teaching of creative and non-creative mathematical problems [J]. International Journal of Science and Mathematics Education, 2009, 7 (1): 55-79.

[60]  RENZULLI J S. Applying gifted education pedagogy to total talent development for all students [J]. Theory into Practice, 2005, 44 (2): 80-89.

[61] 林崇德．创造性人才·创造性教育·创造性学习[J]．中国教育学刊，2000（1）：5-8．

[62]  SHRIKI A. Working like real mathematicians: developing prospective teachers’ awareness of mathematical creativity through generating new concepts [J]. Educational Studies in Mathematics, 2010, 73 (2): 159-179.

[63] 喻平．数学教学的三种水平及其理论分析[J]．课程·教材·教法，2012，32（1）：63-69．

Review of the Research on Cultivating Primary and Middle School Students’ Mathematical Creativity——Focusing on Classroom

WANG Ping-ping1, 2, BAO Jian-sheng1, ZHOU Chao2

(1. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. Mathematics Science College, Soochow University, Jiangsu Suzhou 215006, China)

Creativity was the essence of mathematics. Mathematical creativity in primary and middle school students was relative, which exhibited when evaluated in relation to their previous experiences and to the performance of other students who had similar educational histories. Creativity in the classroom existed in the system of students, the teacher and teaching tasks. For cultivating mathematical creativity, students needed deep learning of knowledge, divergent thinking and creative personalities and emotions; the teacher needed to have positive conceptions of creativity education, and to teach creatively to achieve the theme of teaching for creativity; tasks were always challenging and had multiple and wide-range solutions, and need to be taught with appropriate strategies.

mathematical creativity; creative thinking; creativity education; teaching tasks

G420

A

1004–9894（2018）06–0022–07

王萍萍，鲍建生，周超．中小学生数学创造力培养的研究述评——聚焦课堂[J]．数学教育学报，2018，27（6）：22-28．

2018–06–24

上海市教育科学研究重大项目——中小学数学教材的有效设计（D1508）

王萍萍（1981—），女，江苏苏州人，华东师范大学博士生，苏州大学讲师，主要从事中小学生数学教育研究．

[责任编校：周学智、张楠]