小学生加减法口算速度和广度的发展研究

黄友初



小学生加减法口算速度和广度的发展研究

黄友初

（上海师范大学 教育学院，上海 200234）

对一~六年级学生的加减法口算速度与广度进行了测试，结果表明小学生加法与减法口算的速度和广度均存在显著性的年级差异，但并无显著的性别差异．加法和减法口算的速度和广度总体上都是随着年级的上升而提高，但增长幅度存在年级差异．小学生加法和减法口算的速度和广度都存在发展的关键期，其中二年级是口算速度发展的第一个关键期（口算广度在2以内），四年级是口算速度发展的第二个关键期（口算广度在3以内）．在口算广度方面，二年级是发展的关键期，三年级以后口算广度的增幅趋缓．

小学生；口算；口算速度；口算广度

1 问题提出

口算也称为心算，是一种十分重要和常见的运算方式，指不借助其它工具，只凭思维和语言在头脑中进行计算，并得出结果的一种计算方法[1]．口算对个体生活、学习和工作都有着重要的影响，良好的口算能力也是个体数学素养的重要表现之一．因此，学生口算能力的发展，尤其小学生口算能力的培养，受到了数学教育研究者的广泛重视．例如，教育部的《义务教育数学课程标准》，就对小学生的口算速度提出了明确的要求．在口算的研究方面，国外学者从工作记忆，口算和笔算的比较等方面对儿童口算进行了较为深入的研究；国内学者在小学生口算能力的测评、影响因素和发展等方面进行了探讨．速度是体现口算能力的重要指标，而口算速度会在很大程度上受到口算广度的影响，但是目前对口算速度和广度之间联系的研究还不多．在本世纪初期，张奇和林崇德等人就小学生加法口算的速度和广度的发展进行了研究，不仅表明小学生加法的口算速度和广度有着密切的联系，而且一~四年级学生加法口算速度和广度的增长率较高，而四~六年级的增长率较低[2]．该研究只针对加法口算，并未对减法口算进行探讨，而且随着教育改革的深入，如今小学生口算能力发展状况是否存在变化，口算速度和广度的年级和性别是否存在差异，都需要做进一步的研究．

2 理论基础

口算能力是小学生思维敏捷性的重要体现[3]，国内外学者对口算都进行了较多的研究．国内学者对小学生口算能力的研究主要可以分为两个方面：一是偏重思维的心理学倾向研究，包括对小学生口算发展现状、规律及影响因素进行测评和分析的研究．例如张奇和林崇德等人以大连市两所普通小学一~六年级学生作为被试，对小学生加法口算速度和广度的发展进行研究[4]；任毅梅就儿童心算能力与工作记忆之间的联系进行了研究[5]；刘长颖和张奇将口算时间分为运算时间和整合时间两个部分，对小学生口算时间的差异性进行研究[6]．二是偏重策略的教育学倾向研究，包括阐述口算教学的价值，调查现状，分析口算策略和错误类型，并提出相应教学建议．例如，徐斌和王梅对一年级学生20以内加减法和表内乘除法的基本口算能力进行了调查，根据调查结果，从教师教学和教材编写两个方面提出了若干建议[7]．陈丽霜和赵继源等人对小学生口算能力进行了调查，并对影响小学生口算的因素进行探讨[8]．程超和刘帆采用书面测试的方式，对小学生口算能力进行了测评，并就小学生在口算中所出现的错误类型进行了归类和分析[9]．

国外学者也十分重视小学生口算的研究，主要在口算与工作记忆，口算的策略等方面进行了较为深入的分析．例如，Wanner和Shine对小学生的口算过程进行了实验研究并对口算的信息加工过程进行探讨，提出了“加法口算广度的概念”，即将加数和被加数的位数之和作为加法的口算广度，研究发现加数和被加数的位数越多，口算就越困难[10]．此研究表明，可以将口算广度作为测量被试口算能力的一个重要指标．John和Graham对工作记忆与儿童加法心算之间的联系进行研究，首先在口算题目设计上对口算难度进行了区分，将加法口算分为进位加法与不进位加法，并对口算题目的广度进行区分，研究发现短时工作记忆的容量限制会对儿童的口算测评成绩产生重要影响[11]．Martin和Annis等人就口算和笔算的策略进行了比较，认为学生对这两种运算策略的选择上存在差异[12]．Csíkos就小学生的口算策略进行了研究，并就教师口算教学提出了若干建议[13]．

综上，尽管对小学生的口算已有了一定的研究，但在以下两个方面还缺乏较为深入的探讨：（1）小学生各年级口算发展情况如何，是否存在发展的关键期？（2）小学生口算速度和广度在发展上存在怎样的联系，是否存在性别差异？下文将以加法和减法的口算为例，对这两个问题进行探索．

3 研究方法与对象

3.1 研究对象

随机选取浙江某市一所普通小学一~六年级小学生共120名，每个年级20名，男女生各10名．这些学生都只接受了正常的数学教学和基本的口算训练，并未经过特殊口算技巧或能力的培训．

3.2 实验材料

自编不进位加法和不退位减法口算题2套和进位加法和退位减法口算题2套．即，1套一位数加一~八位数口算题各8道，共64道；1套一~八位数减一位数口算题各8道，共64道；1套一位数加一~八位数口算题各8道，共64道（只进一位）；1套二~八位数减一位数口算题各8道，共56道（只退一位）．

3.3 实验程序

目前，国内学者对于口算测试的形式大致分为两类：一是听觉形式，采用口问口答的方式进行测试；另一种是视觉形式，采用纸质的口算题进行测试．前者全部需要心算，而后者不能排除被测试者采用简单的笔算或记号作为辅助，虽然前者在测量上需要花费测试者更多的精力，但是更能体现口算的本质内涵．因此，研究采用后一种测量形式．口算速度和口算广度的操作定义和测量指标，将参照张奇和林崇德等人的研究成果．

依次进行不进位加法和不退位减法口算测试、进位加法和退位减法口算测试．程序方法一致，下面以不进位加法和不退位减法口算测试程序为例进行说明．

口算以“听题”的方式进行，当主试口述完测试题后，另一名主试马上开始用秒表计时，被试同时开始口算，待被试准确说出口算结果时停止计时．

实验按照一位数加一位数、一位数加两位数、一位数加三位数……依次进行．主试以每隔0.8~1秒读一个数字的速度进行口述，被试在一组中回答正确题目达到3，则该组测试完成，进入下一组测试；若在一组测试中答对正确题数未能达到3，则认为未能完成该组测试，测试结束．将被试在所完成的最后一组测试中，测试题加数和被加数的位数之和，作为被试不进位加法的口算广度．而对每组中3次正确测试的时间（以秒为单位）进行计算，将均值和标准差，作为被试在每组的口算速度．每套口算测试题测试结束后，测试对象有3分钟的休息时间，再进行下一套测试．

实验全程进行录音，首先由研究者亲自进行数据处理，然后由两位教育学硕士研究生根据录音对被试的口算速度和广度进行计算，最后对测评结果进行三角检验．

4 研究结果与分析

4.1 口算速度分析

由于在测试中，小学一年级被试学生加减法口算广度的最大值为3，根据统一性的比较原则，在口算速度的统计分析中仅选取各年级的被试学生在“一位数加一位数”、“一位数加两位数”、“一位数减一位数”和“两位数减一位数”这4类口算广度在3以内（含）口算类型的测评数据进行分析．

4.1.1 加法口算速度分析

在不进位加法和进位加法的口算测试中，各年级被测所用时间的平均值和标准差如表1所示．为了便于分．析，分别以add11、add12、jadd11、jadd12表示“一位数加一位数”、“一位数加两位数不进位加法”、“一位数加一位数进位加法”和“一位数加两位数进位加法”．

表1 各年级被试加法口算所用时间的平均值及标准差

为了分析小学生加法口算速度发展的年级差异和性别差异，以4种加法的口算时间为因变量，以年级和性别为自变量，进行多元方差分析（MANOVA）．结果表明，各年级4种加法口算所用时间均存在显著的年级差异，但没有显著的性别差异．具体结果如下：add11，年级间差异显著（=106.7，<0.001），性别间差异不显著（=2.92，=0.091）；add12，年级间差异显著（=104，<0.001），性别间差异不显著（=2.265，=0.0.136）；jadd11，年级间差异显著（=136.5，<0.001），性别间差异不显著（=0.002，=0.966）；jadd12，年级间差异显著（=96.23，<0.001），性别间差异不显著（=0.54，=0.46）．与张奇和林崇德等人的研究结果相比，在不进位加法方面，口算速度有所降低；在进位加法方面，口算速度有所提高．这说明，近十多年来学生的抽象思维能力有所提升．

为分析各年级加法口算速度的差异性，采用Student-Newman-Keuls（简称SNK）检验方法，以<0.05显著性差异为依据，根据组间及组内变异的具体情况将其分为5个等级，等级越高，代表口算时间越短，即速度越快，具体如表2所示．

表2 4种加法口算时间等级分类

由此可看出，不进位加法的两种口算在各年级的等级是一致的，其中一年级，二年级，三、四年级，五、六年级分别处于不同等级，而且他们之间都存在统计学上的显著差异性．但是，三年级和四年级，五年级和六年级之间则不存在显著性差异，其中五和六年级等级最高，为IV级．在进位加法的jadd11中，一年级，二年级，三年级，四年级，五、六年级之间存在差异性．其中五年级和六年级处于最高等级，为V级．在jadd12中，一年级，二、三年级，四年级，五、六年级之间存在差异性．其中五、六年级处于同一等级且等级最高，为IV级．在加法的4种口算速度测评中，一年级均为最低等级，为I级．

为了解小学生加法口算速度在各年级的增长幅度大小，采用相邻年级时间的递减率来进行表示和分析．其中递减率=（高一年级的口算平均时间/低一年级的口算平均时间-1）×100%，结果如表3所示．

表3 加法口算时间年级递减率

注：“-”表示口算时间减少，以下同．

由表3可以看出，在不进位加法中，add11口算速度增长最快的为一~二年级，其次是二~三年级，再其次是四~五年级，口算速度增长最慢的是五~六年级，其次是三~四年级．add12口算速度增长最快的为四~五年级，其次是一~二年级，再其次为二~三年级，增长速度最慢的是三~四年级，几乎是持平的．

在进位加法中，jadd11口算速度增长最快的为二~三年级，其次是一~二年级，再其次是四~五年级，口算速度增长最慢的是五~六年级，其实是三~四年级．jadd12口算速度增长最快为是四~五年级，其次是二~三年级，增长最为缓慢的是五~六年级，其次是三~四年级．

4.1.2 减法口算速度分析

各年级学生退位减法和不退位减法在口算速度上的平均用时和标准差如表4所示，其中“1-1不退位”表示“一位数减一位数不退位减法”，“2-1不退位”表示“两位数减一位数的不退位减法”，“2-1退位”表示“两位数减一位数的退位减法”．

表4 3种减法口算时间的平均值及标准差

以上述3种减法口算时间为因变量，以年级和性别为自变量，进行多元方差分析，结果表明各年级小学生这3种减法口算时间均存在显著的年级差异，而且除了1-1不退位以外，其它两类减法不存在显著的性别差异．具体结果如下：1-1不退位，年级间差异显著（=129.17，<0.001），性别间差异显著（=4.125，=0.045）；2-1不退位，年级间差异显著（=73.32，<0.001），性别间差异不显著（=0.971，=0.327）；2-1退位，年级间差异显著（=83.49，<0.001），性别间差异不显著（=0.315，=0.576）．

为分析各年级加法减法速度的差异性，采用SNK方法，以<0.05显著性差异为依据，根据组间及组内变异的具体情况将其分为5个等级，等级越高，代表口算时间越短，即速度越快，具体如表5所示．

表5 3种口算减法时间分类

从上表可看出，在1-1不退位中，一年级，二年级，三年级，四年级，五、六年级，他们之间存在差异性．其中五、六年级处于同一级别，且为最高级V级．在2-1不退位中，一年级，二年级，三、四年级，五、六年级，他们之间存在差异性．其中五、六年级处于同一级别，且为最高级IV级．在2-1退位中，6个年级所处的等级较其他两种减法大致有所降低，一年级，二、三、四年级，五、六年级之间存在差异性．其中五、六年级处于同一级别，且等级最高为III级．在减法的3种口算速度测评中，一年级均为最低等级，为I级．

为进一步了解小学生减法口算速度在各年级的增长幅度，采用相邻年级时间的递减率来进行表示和分析，结果如表6所示．

表6 减法口算时间年级递减率

从上面可以看出，在1-1不退位中，口算速度增长最快的为二~三年级，其次是三~四年级，口算速度增长最慢的是五~六年级．在2-1不退位中，口算速度增长最快的是四~五年级，其次是二~三年级，增长速度最为缓慢的是五~六年级，其次是三~四年级．在2-1退位中，口算速度增长最快的是四~五年级，其次是二~三年级，增长最为缓慢的是三~四年级．

4.1.3 加法和减法口算速度发展趋势分析

为了更直观的表现小学生口算速度发展的趋势，以年级为横坐标，速度为纵坐标，对加法和减法共7种口算速度的年级发展趋势折线图进行分析，具体情况如图1所示．

图1 口算时间年级间比较

从图1可看出，小学生口算速度发展随着年级的增长而提高，其中一~三年级学生口算所需时间较长，口算速度较慢，但增长的幅度较大，四~五年级也是小学生口算速度增幅较大的一个时期．而三~四年级，以及五~六年级的学生口算速度增长速度较为缓慢．小学生的加法口算速度普遍快于减法口算速度，其中add11速度最快，2-1退位最慢，这种现象在低年级表现的尤为突出，这也表明了口算速度与口算难度有直接的联系．但是，各种形式的口算速度在五、六年级都趋于接近，这说明随着生理的发展，思维逐渐成熟，小学生口算能力在六年级趋于一定的稳定性．

从图1还可看出，加法口算和减法口算的发展趋势较为一致．在这7种口算中，add12、jadd12、2-1退位、2-1不退位这4种广度为3类型的加减法口算，学生在四~五年级的口算速度发展最快；而口算广度为2的3种口算类型中，add11和jadd11在一~三年级发展最快，1-1不退位在二~三年级发展最快．由此可说明，小学二年级和四年级是口算速度发展的关键期，其中口算广度为2的发展关键期在二年级，而口算广度为3的发展关键期在四年级．

4.2 口算广度分析

4.2.1 加法口算广度分析

在口算广度的测量中，各年级学生加法口算广度的平均值和标准差见表7．

表7 小学生被试加法口算广度的平均值及标准差

由此可看出，小学生口算广度大致上是随着年级的增加而增加．以加法口算广度为因变量，以年级和性别为自变量，进行多元方差分析．结果表明，小学生加法口算年级差异显著，但没有显著的性别差异．具体为：不进位加法口算广度的年级差异显著（=52.77，<0.001），性别差异不显著（=6.16，=0.05）；进位加法广度的年级差异显著（=40.18，<0.001），性别差异不显著（=1.28，=0.26）．与文[2]的研究结果相比，除了在进位加法中6年级的口算广度较高，其它的广度都较低．这说明了，这十多年来学生的工作记忆能力有所降低，这或许与目前的课程标准中对识记性的要求有所降低有关．

为分析各年级加法口算广度的差异性，采用SNK方法，以<0.05显著性差异为依据，根据组间及组内变异的具体情况将其分为5个等级，等级越高代表口算广度值越大，具体见表8．

表8 各年级加法口算广度分类

由表8可看出，在不进位加法的口算广度中，一年级，二年级，三、四年级，五年级，六年级间存在统计学意义上的差异（=52.77，<0.001）．其中六年级广度最强，为V级．在进位加法的口算广度中，一年级，二年级，三、四、五年级，六年级间存在显著差异，其中六年级加法口算广度最强，为IV级．在这两种加法中，一年级的等级均为最低，为I级．

为了解小学生加法口算广度发展的情况，将测评结果计算出各年级的加法口算广度的增长率．计算公式为：增长率=（高一年级的口算广度/低一年级的口算广度-1）×100%，计算结果见表9．

表9 加法口算广度各年级增长率

由表9可看出，在不进位加法和进位加法的口算广度中，二、三年级均增长最快，三、四年级均增长最慢．

4.2.2 减法口算广度发展实验结果及分析

各年级减法口算广度的平均值和标准差见表10．

表10 小学生减法口算广度均值及标准差

以不退位减法和退位加法口算广度为因变量，以年级和性别为自变量，进行多元方差分析．结果表明，小学生减法口算广度存在显著的年级差异，但性别差异并不显著．其中，不退位减法年级间差异显著（=40.92，<0.001），性别间差异不显著（=1.86，=0.18）．退位减法，年级间差异显著（=83.83，<0.001），性别间差异不显著（=1.14，=0.29）．此外，六年级学生的标准差较大，说明六年级学生在减法的口算广度中存在较大差异．

为分析各年级减法口算广度的差异性，采用SNK方法，以<0.05显著性差异为依据，根据组间及组内变异的具体情况将其分为5个等级，具体见表11．

由表11可看出，在不退位减法的口算广度中，一年级，二年级，三、四年级，五年级、六年级之间存在统计学上的显著差异，其中六年级的减法口算广度最强，为V级．在退位减法在口算广度中，一年级、二年级、三、四、五年级、六年级之间存在统计学上的显著差异，六年级的减法口算广度最强，为IV级；一年级减法广度最低，为I级．

表11 各年级减法口算广度分类

为更清楚的了解小学生减法口算广度发展具体的情况，采用增长率对减法口算广度进行分析，结果见表12．

表12 减法口算广度年级间增长率

由此可看出，在不退位减法和退位减法的口算广度中，都是二~三年级增长最快，三~四年级增长最慢．

4.2.3 加法和减法口算广度发展趋势分析

为了更直观的表现小学生口算速度发展的趋势，以年级为横坐标，广度为纵坐标，对4种口算（不进位加法、进位加法、不退位减法、退位减法）广度的发展趋势折线图进行分析，具体如图2所示．

图2 口算广度年级间比较折线图

从图2可看出，小学生口算广度随着年级的增长而提高，其中一~三年级学生口算广度增长较快，而三~四年级学生口算广度的增长较慢．在四种运算形式口算广度的测评结果中，不进位加法的测评值最高，退位减法最低，这说明了口算广度和口算的难度有着密切的联系．测评结果还发现，这4种口算类型的口算广度在二年级都获得了较快的发展，这表明二年级是口算广度发展的关键期．自三年级后，各种口算类型的广度发展都有所放缓，这或许和人的记忆力具有一定的稳定性有关．

5 结论与启示

5.1 结论

5.1.1 加法和减法口算速度发展的异同点

小学生加法和减法口算速度的发展趋势上较为一致，都是随着年级的增长，口算速度得到提高，并在高年级逐渐趋于稳定．其中，口算广度为2的加法和减法的口算速度在二~三年级增长幅度最快，口算广度为3的加法和减法的口算速度在四~五年级增幅最大．因此，二年级和四年级是小学生口算速度发展的关键期．

5.1.2 口算速度和广度之间的联系

尽管口算的难度会影响口算广度，但小学生口算广度的发展趋势较为一致，都是随着年级的增加而增大．其中，二年级口算广度增幅最大，进入三年级后，口算广度增幅较慢．这表明，二年级是小学生口算广度发展的关键期．在发展趋势方面，小学生的口算速度和口算广度在年级间都存在显著性差异，在性别间不存在统计学上显著性差异．因此，可认为口算速度和口算广度的发展存在较强的相关性，不仅发展趋势相同，发展关键期也类似．

5.2 启示

5.2.1 重视关键期的口算教育

朱智贤和林崇德研究表明，每个心理过程或个性特征都要经过几次大的飞跃或质变，称为发展的关键期，重视关键期的教育可以让学生发展事半功倍[14]．研究发现，小学二年级和四年级是口算发展的关键期，学生在此期间口算速度发展最快．因此，这两个年龄段的教师应该重视学生口算能力的培养，创造条件，让学生的口算速度和广度得到更好的发展．

5.2.2 正确认识口算的内涵和价值

与张奇和林崇德等人的研究结果相比，小学生在加法口算速度方面表现稍好，尤其是在进位加法部分；在口算广度方面则表现稍差，尤其是在低年级阶段．这说明经过了十多年时间，同类学生的抽象性思维有所提升，但是工作记忆能力有所降低．这种现象或许和部分教师对口算内涵和价值的认识存在偏差有关．口算是数学学习的基础，对学生的抽象思维发展也有着重要的价值，已有的研究表明了小学生的口算能力对他们其它形式计算的能力有着重要的影响[15]，这要求教师要高度重视学生口算能力的培养和训练．诚然大量的机械化训练不可取，也不符合教育规律，但是在口算能力的发展中，一定强度的训练是十分必要的，不能片面认为素质教育就是“减负”，而应认识到一些数学技能的获得和抽象思维能力的提升，是必须经历一定量的训练才能积累而成．因此，教师只有从根本上认识到口算对学生数学学科素养发展的价值，才能准确把握口算能力发展规律．不仅需要掌握口算的本真意义、理解口算的价值、加强口算的教学研究[16]，还需要教师在教学实践中，根据学生的实际，变化教学和训练的方式，激发学生的口算学习兴趣，引导学生对口算策略进行归纳，从而更好地促进学生口算速度和广度的发展．

[1] SOWDER J. Mental computation and number comparison: their roles in the development of number sense and computational estimation [C] // HEIBERT, BEHR. Research agenda for mathematics education: number concepts and operations in the middle grades. Hillsdale, NJ: Lawrence, Erlbaum & Reston, 1988: 192-197.

[2] 张奇，林崇德，赵冬梅，等．小学生加法口算速度和广度的发展研究[J]．心理发展与教育，2002（1）：16-21．

[3] 林崇德．学习与发展[M]．北京：北京师范大学出版社，1999：224-226．

[4] 张奇，林崇德，赵冬梅，等．小学生口算能力的发展研究[J]．心理科学，2004，27（3）：519-523．

[5] 任毅梅．儿童心算能力与工作记忆发展的实验研究[D]．天津：天津师范大学，2000：7-25．

[6] 刘长颖，张奇．小学生加法口算时间的差异性研究[J]．辽宁师范大学学报（社会科学版），2006，29（3）：53-55．

[7] 徐斌，王梅．一年级新入学儿童20以内加减法基本口算能力调查报告[J]．数学教育学报，2010，19（4）：49-53．

[8] 陈丽霜，赵继源，魏思晴．小学生数学计算能力的调查研究——以心算、口算能力为例[J]．教育与教学研究，2015，29（6）：101-105．

[9] 程超，刘帆．小学生口算能力实证研究[J]．湖南第一师范学院学报，2016，16（1）：7-11．

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[11]  JOHN W ADAMS, GRAHAM J HITCH. Working memory and children’s mental addition [J]. Journal of Experiment Child Psychology, 1997 (67): 21-38.

[12]  MARTIN R C, ANNIS S M, DARLING, L Z, et al. Loss of calculation abilities in patients with mild and moderate alzheimer disease [J]. Archives of Neurology, 2003 (60): 1 585-1 589.

[13]  CSIKOS C. Strategies and performance in elementary students’ three-digit mental addition [J]. Education Study Math, 2016 (91): 123-139.

[14] 朱智贤，林崇德．思惟发展心理学[M]．北京：北京师范大学出版社，1986：135-141．

[15] 王林．农村小学三年级学生数的基本计算能力调查与分析[J]．数学教育学报，2010，19（2）：58-61．

[16] 吴晓红，谢明初．口算的本真意义及其在小学数学教学中的异化[J]．数学教育学报，2005，14（2）：83-85．

The Developmental Study of the Speeds and Spans of Mental Addition and Subtraction of Pupils

HUANG You-chu

(College of Education, Shanghai Normal University, Shanghai 200234, China)

The experiment investigated the development of the speeds and spans of mental addition and subtraction of 120 primary school students. Results showed that there are significant grade differences in the speed and span of pupils’ mental addition and subtraction of mental arithmetic, but there was no significant gender differences. In general, the speed and span of the development of the pupils increased with grade increasing, but the growth rate was different in different grades. Grade 2 was the critical period for the 2 span of mental arithmetic speed of development. Grade 4 was the critical period for the 3 span of mental arithmetic speed of development. Grade 2 was the critical period for the development the span of mental arithmetic. After grade 3, the span of mental arithmetic increased slowly.

pupil; mental arithmetic; speed; span

G623.5

A

1004–9894（2018）06–0017–05

黄友初．小学生加减法口算速度和广度的发展研究[J]．数学教育学报，2018，27（6）：17-21．

2018–06–18

国家社科基金教育学一般课题——中学生学科核心素养的评价研究（BHA170150）

黄友初（1978—），男，浙江温州人，教授，博士，博士生导师，主要从事数学课程与教学论研究

[责任编校：陈隽、陈汉君]