数形结合——目标、过程、方法

◇孙爱云

“数形结合”就是把抽象的数学语言、数学概念、数量关系与直观的图形、位置关系等结合起来，即通过“以形助数”或“以数解形”，把抽象思维与形象思维相结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。它在教学中，不仅仅是一种教学指导思想，更是我们教学的目标、过程和方法。如果在教学中运用得当，能使学生形成良好的数学意识和数学思想，为学生的终身学习和可持续发展奠定坚实的基础。

一、数形结合思想——目标

1.义务教育新课程标准明确指出：数学课程内容既要反映社会的需要和数学学科的特征，也要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结论，也包括数学结论的形成过程和数学思想方法。数学教学应根据具体的教学内容，引导学生通过实践、思考、探索、交流等一系列学习方式，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

从以上新课程标准的理念中，我们不难看出，我们的数学课堂不仅要让学生获得基本的数学知识和技能，还应该让学生感悟到基本的数学思想。因此，“数形结合”作为一种数学思想，也就成了我们课堂教学的目标之一。

2.在新课程标准中，几何直观是小学数学的十大核心概念之一。其中，对几何直观解释为：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”

几何直观教学的关键点是能够运用形象的几何图形解决复杂的数学问题，这里就蕴含了一个重要的数学思想，即数形结合思想。因此，重视发展学生的几何直观，让学生在发展几何直观的过程中感悟数形结合的数学思想，也是我们小学数学的一个重要教学目标。

二、数形结合思想——过程

1.“数形结合”在教学中，对老师来说，是一种教学指导思想，教学策略、教学方法，更是指导我们教师进行教学设计的一个过程。

例如：我们在教学11～20各数的认识这节课时，以数形结合思想为指导，设计了如下的教学过程：

（1）想一想、摆一摆，比较哪种摆法最容易看出是11根小棒。在这个环节，通过让学生把11根小棒任意摆成两堆，再讨论、比较，发现一堆10根、一堆一根最容易看出小棒的数量。

（2）比比谁的眼力好，体会“十”

多媒体出示上述图片，让学生观察，哪一堆小棒最容易看出有几根？

通过上述过程的对比、观察，学生脑海中就产生了用“十”计数的方法。

（3）动手捆一捆

让学生把十根小棒捆成一捆，以此建立“十个一是一个十”的概念。

（4）想一想、拨一拨

能用两颗珠子表示11吗？在这个过程中，启发学生可以把一颗珠子当作十、一个当作1，从而渗透位置原理。在此基础上，让学生在计算器上拨数，建立“数”与“形”的直观表象。

从上述的教学设计过程，我们可以看出，“数形结合”思想不仅是我们教学的指导思想，更贯穿于我们教学过程的每一个环节。

2.“数形结合”思想不仅体现在教学设计的过程中，也体现在学生思维生成的过程中。在实际的学习过程中，学生通过摆一摆、拼一拼、圈一圈、画一画等一系列的数学活动，去观察、思考、推理、验证，最终获得数学结论。这一系列的数学活动，都体现了学生思维活动的全过程。

例如：在学习两位数乘一位数的不进位乘法12 x 4时，我们给学生提供的图形是点子图和表格，在第一个环节，学生通过圈一圈，自主解决了这个数学问题。以下是学生的思维过程：

（1）每行12个，共4行：12+12+12+12=48

（2）从中间平均分成两份：6×4=24 24+24=48

（3）分成两部分：4×10=404×2=840+8=48

上述学生圈一圈的过程展现了不同的思维方式。在此基础上，继续让学生根据老师提供的图形进行探究。

这个环节是通过让学生观察点子图与表格、竖式对应，探究出它们之间的关系，弄懂竖式的计算道理。

在以上两个环节的基础上，让学生根据下面的图示探究两三位数成一位数的竖式计算方法，构建数学模型。

整个教学环节的设计，都体现了学生思维生成的过程。在这个过程的每一个环节，也都贯穿了“数形结合”的思想，因此，数形结合也体现学生的思维过程。

三、数形结合思想——方法

在我们小学数学中，数形结合思想既是一个重要的数学思想，更是我们在教学实践过程中经常用到的一个非常有效的方法。它能将数和形有机结合起来，将抽象的问题直观化，内隐的东西外在化，从而让我们的教学活动变得更加丰富多彩，简单明了。例如：

1.观察下面的图形，找出规律，当有n个正方形时，需要多少根小棒？

学生刚开始接触到这样的题目，觉得无从下手，如果我们引导学生动手摆一摆，或者动笔画一画，先让学生从一个正方形摆起，或者画起，然后依次向后增添。当学生摆完第一个正方形，接着摆第二个、第三个的时候，马上就能发现其中蕴含的规律：第一个正方形用四根小棒，以后每增加一个，添上三根小棒即可。继而以这个规律为起点，探索这个规律的其他表现形式。用数形结合的思想来解决这个问题，不仅降低了题目本身的难度，满足了不同程度的学生对数学的需求，也有效地激发了学生学习数学的兴趣。

2.小朋友们排成一排去做操，小明前面有8个人，后面有5个人，一共有几个小朋友去做操？

在处理这道题目的时候，我引导学生用自己喜欢的方式画出来，收到了良好的效果。

3.二年级学生学完钟表之后，让他们自己设计一些钟表，并画出来。学生对这样的教学活动兴致盎然，通过画画，不仅学到了知识，更加深了对钟表的认识，提高了学习兴趣。

综上所述，“数形结合”不仅是一种重要的数学思想，更是我们的教学目标、过程和方法。因此，我们数学教师要从学生发展的全局着眼，从具体的教学过程入手，有目的、有计划地渗透，使数形结合思想始终贯穿在我们的数学教学之中去。