面向控制的固冲发动机建模技术研究

2018-12-26宋少倩陈新民韩英宏

导弹与航天运载技术 2018年6期

宋少倩，陈新民，卢鑫，刘娟，韩英宏

（中国运载火箭技术研究院，北京，100076）

0 引言

固体火箭冲压发动机（以下简称固冲发动机）与固体火箭发动机相比具有比冲高且推力连续可调的优点，采用固冲发动机的导弹通常以推力控制为手段实现导弹速度的主动控制，从而获得更远射程等更优性能。固冲发动机作为导弹速度控制的控制对象，其模型的准确性是掌握固冲发动机特性、设计高效合理的控制方法及提高控制品质的基础，从而发挥固冲发动机的最佳性能，实现导弹总体最优性能。

针对流量可调的发动机，国内外开展了不同精度和复杂程度的发动机模型研究。文献[1]针对某航空涡轴发动机的调节器需求，分别开展了调节器的静态特性和动态特性模型研究，并利用试验数据进行验证；文献[2]和文献[3]对固冲发动机的负调特性进行了机理分析，给出了发生原因和影响因素，但其对模型的假设约束过强；文献[4]给出了一种喷气发动机的离线模型和在线模型的建模方法，对于固冲发动机建模有一定借鉴意义。目前，用于导弹速度控制的固冲发动机建模方法相对较少，本文主要针对该问题进行研究。

本文立足固冲发动机工作原理，从控制系统设计与仿真需求角度出发开展面向控制的固冲发动机建模技术研究，包括固冲发动机稳态性能模型和动态特性模型的建立。本文所提出的稳态性能模型设计方法，可使固冲发动机性能与总体、环境参数有效解耦，提高各系统研制效率。本文采用Jacobian线性化法[5]所建立的线性变参数（Linear Parameter Varying，LPV）模型可以较好地反映固冲发动机的动态特性，同时便于工程上采用经典控制理论对控制对象进行综合与分析。

1 稳态性能建模

固冲发动机的稳态性能是指发动机在不同空气来流和燃气流量组合下的推力特性 F和喘振裕度δ，其中喘振裕度用来表征进气道是否处于稳定工作状态，计算公式为

式中 m˙5为喷管出口截面的燃气质量流量； V5为喷管出口燃气流速； m˙K为来流空气质量流量； VH为来流在发动机推力矢量方向的分量速度；p5为喷管出口压强；pH为环境压强；A5为出口面积；p0为进气道来流静压；p2为进气道出口静压； pin为进气道最大反压比。

由式（1）、式（2）可知，固冲发动机的稳态性能计算较为复杂，除与发动机自身参数有关外，还与来流参数密切相关，如不同飞行状态下的空气密度、压强等。通常将固冲发动机稳态性能直接表示为高度、马赫数、攻角、侧滑角和燃气流量的函数，即F =f(H,M a ,α ,β, m ˙f0)，将大气模型包含在稳态性能中。这种传统建模方式使固冲发动机性能与大气环境紧密耦合，不利于固冲发动机性能偏差组成的识别，在大气环境模型复杂的情况下，该方式使得固冲发动机性能建模更为繁琐，增大了控制系统对固冲发动机稳态性能、导弹性能分析及评估的难度。

本文从控制系统设计与仿真角度提出一种新的稳态性能接口方法，将大气模型和飞行状态从固冲发动机推力性能中剥离，即表示为F= q S·Cp(P,T,M a,α,β,m ˙f0) ，其中：q为来流动压，S为参考面积，pC为推力系数，如图1所示。该稳态性能建模方法可使动力系统与总体参数、环境解耦，使得固冲发动机性能物理概念更加清晰，且不损失性能模型的精度，有利于控制系统的分析、设计与仿真，有利于导弹系统的工程研制。

图1 稳态性能接口示意Fig.1 Schematic Diagram of Steady Characteristics Interface

2 动态特性建模

固冲发动机动态特性是指发动机从接收燃气流量指令到产生推力的响应特性，其组成如图2所示。

图2 固冲发动机模型框图Fig.2 Block Diagram of Solid Ducted Rocket Model

固冲发动机的工作原理是首先根据离线经验公式将燃气流量指令换算成压强指令，然后比较燃气发生器内实际压强与目标压强，驱动燃气发生器调节阀的开度，改变喷管喉部面积，调节燃气流量大小，从而达到调节推力的目的。

根据组成结构将固冲发动机分为流量调节装置和补燃室两大部分。补燃室的燃烧特性相对缓慢，一般根据试验数据用一阶惯性环节FG描述。流量调节装置是反映了燃气流量的响应特性，其组成环节多且动态过程复杂，需重点研究。

2.1 非线性微分方程

流量调节装置由燃气流量控制器、调节阀、燃气发生器和燃气流量输出4部分组成。

燃气流量控制器的功能是将燃气流量指令转换为压强指令，同时根据压强指令和反馈压强的差值输出执行机构的角度指令，数学公式如下：

式中rcP为压强指令；rP为燃气发生器内压强；fcm˙为燃气流量指令；Pρ为推进剂密度；bA为药柱截面积；a为燃速系数；0T为推进剂初温；τ为推进剂燃速温度敏感系数；cθ为伺服阀转角；n为燃速压强指数。

调节阀的功能是响应控制器给出的角度指令，实现调节阀开度调节，用二阶传递函数sfG 表示其动态特性。

燃气发生器是流量调节装置的核心部件，该系统是一个充满高温高压燃气、可积累工质质量和热量的容器。在建模过程中假设：a）燃气发生器内的气体参数处处相等；b）燃气服从理想气体状态方程；c）燃气发生器内温度保持不变。流量调节装置的非线性微分方程为[6]

式中rV为自由容积；*rC为特征速度；rAt为喉部面积；X为药柱消耗肉厚；R为特征速度。

燃气流量计算模块的功能是根据燃气发生器当前压强计算燃气流量响应值，具体如下：

2.2 线性变参数模型的建立

对于较复杂的非线性微分方程，很难得到其解析解。LPV模型通过描述非线性系统的一系列局部特性，利用状态或输入的小扰动，使其能够解析求解而又具有必要的工程精度。同时，相对于传统线性模型，LPV模型的优点在于可以运用线性系统理论的方法进行变增益控制器的设计，其增益随着调度参数的变化而变化，而调度参数的变化能够体现出系统的非线性和时变性，能够保证参数在较大范围内剧烈变化时系统的全局稳定性[7]。

建立LPV模型的方法有：Jacobian线性化法、状态变化法和函数替代法，其中Jacobian线性化法是应用最普遍的一种方法[5]。本文采用Jacobian线性化法建立固冲发动机的LPV模型。设某非线性微分方程组为

式中 x为系统状态；u为系统输入信号；z为所控制的误差信号；y为输入到控制系统的测量输出信号；w为外部调参信号或者外来信号如参考信号；v通常指干扰和噪声输入信号。

根据非线性系统的时变特性，选择调参变量θ，在一个多胞集合 Θ 内，即 θ∈ C o (Θ)，为事先未知但可测量和估计的矢量参数。

栅格化参数空间，可得式（6）的一系列平衡点xe(θ)， ve(θ)， ue(θ)和 we(θ)满足：

则，式（6）可写成如下的LPV模型：

式（7）中系统状态矩阵为方程偏导数在平衡点处的值，例如：

燃气流量发生器的动态特性是指其在控制作用下的运动特性。在导弹飞行过程中，固冲发动机并非仅在一个状态点工作，而是在飞行包线下状态量变化范围内工作的。在整个飞行包线内建立燃气流量的LPV模型可以提高其与非线性模型的匹配度，为LPV鲁棒控制器的设计奠定基础。

根据 LPV理论和固冲发动机的非线性微分方程知，燃气流量调节装置是一个三阶三元微分方程，控制器为前置的输入方程，燃气流量计算模块为输出方程，状态量为燃气发生器内压强、自由容积和药柱长度，输入量为伺服阀角度，输出量为燃气流量。

选取微分方程的状态变量[PrVrX]为调参变量，并求解式（8），可得燃气发生器稳态时飞行包线内不同状态量组合下的伺服阀角度值θtrim。

当燃气发生器药柱为端面燃烧药柱，药柱燃烧面积保持不变时，即(X)为定值，则配平角度θtrim仅与压强有关，如图3所示。

图3 配平角度随燃气发生器压强的变化曲线Fig.3 Relationship between Trim Angle and the Pressure of Gas Generator

由图3可知，燃气室内压强越大时所需的角度越大，对应的伺服阀开度越小。

在平衡点处对式（3）～（5）进行泰勒展开，去掉高次项，可得流量调节装置的LPV模型为

则，在每一个固定点trimθ，式（9）描述了式（3）～（5）在该点的局部特性。

2.3 传递函数的综合与分析

燃气流量装置在产生燃气流量的过程中，其状态参数均是随时间变化的，因此，LPV模型总是变系数线性微分方程组。采用系数“冻结”法[8]，将某时刻的LPV模型变为常系数线性系统进行分析和综合，从而可运用线性系统理论了解燃气流量的动态特性。

将某一时刻的燃气发生器 LPV模型进行拉氏变换，其输入方程为

图4 固冲发动机控制框示意Fig.4 Control Diagram of Solid Ducted Rocket

推导可得燃气流量调节装置的传递函数如下式：

式中 K为增益； z1， z2为零点； p1， p2为两个实数极点； p3， p4为两个复数极点组成的二阶振荡环节系数。其中仅为负值，因此存在一个位于右半平面的零点，燃气流量调节特性具有非最小相位的特点，如不稳定特性及负调特性等。

给定幅值为0.5°的伺服阀角度阶跃信号，不同自由容积和压强下的燃气流量响应如图5和图6所示。

图5 不同自由容积下的燃气流量曲线Fig.5 Gas Flow Rate for Different Free Volume

图6 不同压强下的燃气流量响应曲线Fig.6 Gas Flow Rate for Different Pressure

由图5、图6可知，燃气流量随着自由容积的增大燃气流量的响应越慢，负调量越大；随着压强的升高，燃气流量的响应越快，负调量越大。因此，在导弹飞行末段，燃气发生器内自由容积大，燃气流量的调节特性较差，不利于速度控制的精确控制。

燃气流量负调特性的物理机理为：燃气流量的调节是通过燃气发生器内压强变化调节推进剂的燃速来实现的，推进剂的燃烧是一个化学过程，变化较慢，而随压强指令变化的伺服调节阀响应较快，两者响应速度的不匹配导致其负调特性现象的存在。即当燃气流量指令增大时，调节阀角度增大（开度变小），此时燃气发生器内压强增大，以促进推进剂的燃烧，从而缓慢地增大燃气流量，但调节阀的响应很快，角度增大的瞬间燃气流量先是减小的。因此，增大燃气流量的响应过程是先减小后增大的负调特性。