“数形结合”巧解二次函数问题

一、原题呈现

苏科版《数学》九年级下册第25页例题：

不画图像，判断二次函数y=-x2+5x-8的图像与x轴是否有公共点.

【解析】此题考查的是对二次函数的图像与x轴公共点的认识情况，涉及由函数模型到方程模型的转化.要想判断二次函数y=ax2+bx+c的图像和x轴的公共点个数，只需将这个二次函数先转化为一元二次方程ax2+bx+c=0，再根据一元二次方程的根的情况来判断即可：（1）b2-4ac＞0，一元二次方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个公共点；（2）b2-4ac=0，一元二次方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个公共点；（3）b2-4ac＜0，一元二次方程没有实数根，抛物线与x轴没有公共点.此题答案是：没有公共点.

那么除了采用“根的判别式”法判断之外，有时解方程是更加直接的方法.我们再看本页练习的第一小题：

不画图像，判断二次函数y=x2-x的图像与x轴的公共点的个数.

解法一：∵一元二次方程x2-x=0的根的判别式b2-4ac=（-1）2-4×1×0＞0，

∴方程x2-x=0有两个不相等的实数根.

∴二次函数y=x2-x的图像与x轴有两个公共点.

解法二：∵一元二次方程x2-x=0的根为x1=1，x2=0，

∴二次函数y=x2-x的图像与x轴有两个公共点.

【总结】x轴其实可以看作是直线y=0，所以要想判断二次函数y=-x2+5x-8的图像与x轴是否有公共点，其实也就是判断抛物线y=-x2+5x-8和直线y=0是否有公共点，也就是的解的情况，于是得到方程-x2+5x-8=0.从解析式入手，借助方程组倒是一个可以解决二次函数的图像和直线（一次函数）的公共点问题的通法.

二、变化延伸

教材上的例题是专家们精心琢磨的数学范例，它就像一粒种子，蕴藏着巨大的能量.近几年来，二次函数的图像与x轴的公共点个数问题成为中考的热点.而将参数引入二次函数，二次函数的图像与坐标轴、直线、线段等的公共点问题是这个例题最常见的生长方向.

延伸1

例1 已知二次函数y=kx2-2x-1的图像与x轴有两个交点，则k的取值范围为_____.

例2 若二次函数y=x2+mx+4的图像如图所示，则m的值为 .

【解析】考题中经常将二次函数的图像和x轴的公共点个数作为条件，通过文字或者图像等方式给出，要求求出参数的值或者范围.

在第一题中，由二次函数的图像与x轴有两个交点，联想到一元二次方程有两个不相等的实数根，从而列出不等式b2-4ac＞0，解出k的范围，另外，要注意二次项系数不可以为0；观察第二题的图像，不难发现抛物线与x轴只有一个公共点，可根据b2-4ac=0，计算出m的值，需要注意的是，此题还需要考虑二次函数图像的隐藏条件：对称轴在y轴的左侧.此题在考查知识的同时，还渗透着数形结合的数学思想.

解：1.∵二次函数y=kx2-2x-1的图像与x轴有两个交点，

∴一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，

∴b2-4ac＞0，

∴（-2）2-4·k·（-1）＞0，

∴k＞-1，

又∵k≠0，

∴k＞-1且k≠0.

∴m=4.延伸2例3 已知二次函数y=2（x-1）（x-m-3）（m为常数）.

（1）求证：不论m取何值，该函数的图像与x轴总有公共点.

（2）当m取何值时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方？

【解析】考题中经常出现含参的二次函数，并要求判断该函数的图像与x轴的公共点情况.这道题给出的二次函数的形式很特别，所以我们在解决问题时，既可以像往常一样，化成一般形式，从总有公共点联想到一元二次方程总有实数根，从而借助根的判别式进行判断.需要注意的是，在配方时，二次项的系数不可以直接去掉.当然，我们也可以将该二次函数转化成方程形式2（x-1）（x-m-3）=0，直接解出两个根，以根的具体形式进行讨论.

第二题主要考查了对二次函数的图像与y轴交点的认识情况，难度不大，但方法很多，既可以根据与y轴交点的横坐标特征为0，求出交点纵坐标来研究，也可以借助图像来判断m+3与0和1的大小关系，或者根据对称轴的位置求出m的范围，渗透着数形结合、分类讨论等数学思想.

证明：（1）方法一：令y=0，得2（x-1）（x-m-3）=0，

整理得：2x2-2（m+4）x+2m+6=0，

∵b2-4ac=［-2（m+4）］2-4×2（2m+6）=4m2+16m+16=4（m2+4m+4）=4（m+2）2≥ 0，

2.∵二次函数y=x2+mx+4的图像与x轴只有一个公共点，

∴一元二次方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根，

∴b2-4ac=0，

∴m2-4×1×4=0，

∴m=4或-4，

∵对称轴在y轴左侧，

∴不论m取何值，该方程总有实数根，

∴不论m取何值，该函数的图像与x轴总有公共点.

方法二：令y=0，得2（x-1）（x-m-3）=0，

解这个方程得，x1=1，x2=m+3，

∴不论m取何值，该方程总有实数根，

∴不论m取何值，该函数的图像与x轴总有公共点.

解：（2）解法一：当x=0时，y=2m+6，

∴由2m+6＞0，得m＞-3，

∴m＞-3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方.

解法二：2（x-1）（x-m-3）=0的两根为x1=1，x2=m+3，

若m+3＜0，如下图，不符合题意，∴舍去.

若m+3=0，如下图，不符合题意，∴舍去.

若0＜m+3＜1，如下图，符合题意，∴-3＜m＜-2.

若m+3=1，如下图，符合题意，∴m=-2.

若m+3＞1，如下图，符合题意，∴m＞-2.

综上，m＞-3.

∴m＞-3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方.

解法三：2（x-1）（x-m-3）=0的两根为x1=1，x2=m+3，

∴该函数的对称轴是直线x=2+0.5m，

∵函数的图像与y轴的交点在x轴的上方，

∴2+0.5m＞0.5，

∴m＞-3，

∴m＞-3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方.

延伸3

例4 若函数y=x2-2x+b的图像与坐标轴有3个交点，则b的取值范围是（ ）.

A.b＜1且b≠0 B.b＞1

C.0＜b＜1 D.b＜1

【解析】根据二次函数的图像特征，它与y轴必有一个公共点.而题中y=x2-2x+b的图像与坐标轴有3个交点，也就意味着该函数图像与x轴有两个公共点，接下来可以根据二次函数所对应的一元二次方程的根的判别式Δ＞0列出不等式，求出b的范围.但是，需要注意的是，当b=0时，抛物线与x轴的交点和与y轴的交点在原点处重合，不符合题中与坐标轴有3个交点的条件，故需舍去.

解：∵函数y=x2-2x+b的图像与坐标轴有3个交点，

∴函数y=x2-2x+b的图像与x轴有两个交点，

∴一元二次方程x2-2x+b=0有两个不相等的实数根，

∴Δ＞0，

∴（-2）2-4×1·b＞0，

∴b＜1.

∵函数y=x2-2x+b的图像与坐标轴有3个交点，当b=0时，抛物线与x轴的交点和与y轴的交点在原点处重合，

∴b＜1且b≠0.

故选A.

延伸4

例5 在平面直角坐标系中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx-3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C.

（1）求点C的坐标.

（2）求抛物线的对称轴.

（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图像，求a的取值范围.

【解析】（1）（2）略.在第三题中，由于线段BC是有范围的，且与抛物线只有一个公共点，所以通过函数图像找出不等关系，运用数形结合思想，分类讨论，即可求出a的取值范围.

解：（1）∵A（-1，0），B（0，4），∴C（5，4）.

（3）∵抛物线始终经过点A（-1，0），且对称轴为直线x=1，由抛物线对称性，可知抛物线一定经过点A关于对称轴的对称点（3，0）.

∴只需对a进行分类讨论即可.

①当a＞0时，如下图，

把x=0代入抛物线解析式得y=-3a，把x=5代入抛物线解析式得y=12a.

③当抛物线顶点在线段BC上时，顶点为（1，4），如下图，

把点（1，4）代入抛物线解析式，得a=-1.

总之，要解决二次函数的图像公共点问题，我们只需抓住方程、不等式、函数之间的联系，关注二次函数的“式结构”和“形结构”，留意题中的隐含条件，就可以做到一通百通.