分析中考考点 提升解题能力

康叶红

“二次函数”是中考考查函数知识的重要载体.考查内容包括：二次函数的概念、图像和性质，用待定系数法确定二次函数的表达式，二次函数与一元二次方程的联系，用二次函数的图像和性质解决实际问题，等等.现选取2018年部分地区中考试题中一些经典问题加以剖析，旨在与同学们共同研究二次函数在中考中的考查方向，并以此感受二次函数在学习中的魅力.

考点一 二次函数的表达式

例1 （2018·山东济宁）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（-1，0），C（0，-3）.求该抛物线的解析式.

图1

【解析】已知二次函数经过不共线的3个点，求二次函数的解析式是常见问题，经常要借助“待定系数法”来解决问题.即要确定函数解析式中几个待定的系数，就相应地需要几个已知条件，并根据这些已知条件列出方程（组）求解.

方法一：

解：由函数图像经过点A（3，0），B（-1，0），C（0，-3），得到关于 a，b，c的三元一次方程

∴该抛物线的解析式是y=x2-2x-3.

方法二：

解：由点A（3，0），B（-1，0），可知点A，B是函数图像与x轴相交的两个交点，且关于抛物线的对称轴对称.

∴对称轴是过点（1，0）且与y轴平行的直线.

∴设二次函数解析式是y=a（x-1）2+k（a≠0）.根据函数图像经过A（3，0），C（0，-3）两点，得到关于a，k的二元一次方程组

∴该抛物线的解析式是y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3.

方法三：

解：由函数图像经过点A（3，0），B（-1，0），可知点A，B是函数图像与x轴相交的两个交点，所以可设二次函数解析式是y=a（x-3）（x+1）（a≠ 0）.

由函数图像经过C（0，-3），得到关于a的一元一次方程：-3a=-3，解得：a=1.

∴该抛物线的解析式是y=（x-3）（x+1），即y=x2-2x-3.

【点评】本题考查给定不共线的三点的坐标确定一个二次函数，可以通过设二次函数解析式，再用待定系数法来解决.

考点二 二次函数图像的平移

例2 （2018·江苏淮安）将二次函数y=x2-1的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是 .

【解析】二次函数y=x2-1经过点（0，-1），而点（0，-1）向上平移3个单位长度是点（0，2）.

设平移后的二次函数表达式是y=x2-1+b.

∵平移后的二次函数图像经过点（0，2），可得：b=3，

∴平移后的二次函数表达式是y=x2+2.

【点评】本题考查了二次函数图像的平移与表达式之间的关系.二次函数图像的平移的本质就是二次函数图像上的每一个点的平移.平移不改变图像的形状、大小，因此只需要通过特殊点的平移，即可求出新的函数表达式.

考点三 判断二次函数顶点的位置

例3 （2018·陕西）对于抛物线y=ax2+（2a-1）x+a-3，当x=1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（ ）.

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【解析】当x=1时，y=a+2a-1+a-3=4a-4＞0，解得a＞1，则抛物线的开口向上.

故这条抛物线的顶点必在第三象限.

【点评】本题考查了根据二次函数的性质和图像特征来确定二次函数顶点坐标的位置.以从这个顶点坐标直接判断横、纵坐标符号，从而判断顶点坐标所在象限.即根据二次函数的图像特征和性质，可分析出二次函数图像顶点的坐标特征.

考点四 二次函数的性质

例4 （2018·河北）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（-1，0），（0，3），其对称轴在y轴右侧，有下列结论：

① 抛物线经过点（1，0）.

②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根.

③-3＜a+b＜3.

其中，正确结论的个数为（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】根据题意画出草图（如图2）.

图2

①∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（-1，0），对称轴在y轴右侧，

∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标必定大于1，不可能经过（1，0），故①错误.

②过（0，2）作x轴的平行线，如图2所示，它与抛物线有两个交点，故方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根，故②正确.

③∵抛物线经过点（0，3），

∴c=3，

∴二次函数解析式是y=ax2+bx+3.

当x=1时，对应的y值为a+b+3＞0，

∴a+b＞-3.

∵抛物线经过点（-1，0），

∴a-b+c=0，∴b=a+c，

∴a+b=2a+c.

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，∴2a+c＜c，即a+b＜3.

∴-3＜a+b＜3，故③正确.

综上，正确的结论是②③两个，故选择C.

【点评】本题考查了二次函数图像的位置与系数的关系、二次函数与一元二次方程的关系、关键点的坐标特征.画出图像，结合二次函数的性质和图像特征来分析题意是解决这类问题的关键.

考点五 二次函数的实际应用

例5 （2018·甘肃兰州）某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售1件需支付给商场管理费5元.未来一个月（按30天计算），这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起，每天的单价比前一天降1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售增加2件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件.

（1）直接写出y与x之间的函数关系式.

（2）设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？

【解析】解：（1）y=2x+40.

（2）w=（2x+40）（145-80-5-x）=-2（x-20）2+3200.∵1≤x≤30且x为整数，∴x=20时，w取得最大值，最大值为3200.故第20天的利润最大，为3200元.

【点评】本题考查同学们能否在具体情境中建立二次函数模型、体会二次函数是刻画现实世界数量关系的有效模型，以及运用二次函数及其性质解决最值等实际问题的能力.